お遊び問題です。お気軽にお答えください。(でも、すごく難しいです)

郵便局が扱うExpackの大きさは25cmx34cmでした。これで送れる最大の容量をお答えください。またそれと同体積の金塊の価格をお答えください。条件としては、①25x34は内寸と考え、上の貼りシロは2cm余裕が取れそうです。紙袋は立体的な変形はできますが、伸びないとします。切り込みを入れたり破いたり造り変えたりしては駄目です。また貼りシロ2cm以内で必ず蓋をできなければいけません。(Expackの規定)②金の比重は19.3g/cm^3、③金相場は1gで2900円とします。
答えはA:最大容積 xxcm^3 B:金として重量 xxkgxxxg(g未満はで4捨5入)C:金価格でxx円 ・・・・重要なのはAで必須です。
回答は一人1回、開いた回答(他人の答え)のパクリは0点です。

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2009/07/14 00:39:23
  • 終了:2009/07/19 22:33:21

ベストアンサー

id:ardarim No.2

ardarim回答回数897ベストアンサー獲得回数1452009/07/15 02:12:56

ポイント100pt

あくまで理論上の話ですが…

封筒の厚さをx[cm]とすると、短辺は(25-x)[cm]、長辺を(34-x)[cm]となります。

体積をyと考えると、

y=x(25-x)(34-x)

=x3-59x2+850x

となります。

これは原点を通る右上がりの三次方程式です。


極値を求めるため微分して、

3x2-118x+850=0

この二次方程式の解は解の公式より

x=(118±√((-118)2-4*3*850))/(2*3)

=(118±√(13924-10200))/6

=(118±√3724)/6

計算して、

x=9.495902465 または x=29.83743087

x=9.495902465 の時、y=3607.625512

x=29.83743087 の時、y=-600.8106974

となります。


0≦x≦25の条件より、厚さを約9.5cmとした時、短辺=約15.5cm、長辺=約24.5cm、体積=約3607.6cm3となり、体積最大になります。

id:Moonbal_Sunbal

コメントにオープン不要と書かれて居られましたが、私の求めていたのはあなたのような回答です。

doumoto さんの回答は郵便局側の規定であり、参考にはなりましたが、・・・面白みは少ない。

私もあなたの回答のように皆に分かる形で理論的に解きたかったのですが、とりあえず適当な数値を掘り込んでもっともらしい値を出したのですが。

続きはコメント欄で。

2009/07/15 19:05:33

その他の回答(1件)

id:doumoto No.1

どうもと回答回数497ベストアンサー獲得回数372009/07/14 01:37:01

ポイント10pt

Aは1,472cm3で、B、28.4キロ、C、価格8,238万でどうですか?(´ー`)y-~~。

http://d.hatena.ne.jp/doublet/20070612#p2

つーか、規約で貴金属は送れないし、この例のように切り貼りはNGなので、たぶん公式で発表されたと思われる容積、1,472cm3が無難に送れる最大容積かと。

id:Moonbal_Sunbal

ありがとうございました。AはExpackの規約を満たしての最大容量の問題でしたが、ご紹介のURLの中では1472cm3は軽く越してましたね(3000cm3近く有りましたね)B:C:はその体積の金の重量と価格でしたが。Expackで送ったらということではないのです。ややこしい設定ですみませんでした。

2009/07/14 04:09:04
id:ardarim No.2

ardarim回答回数897ベストアンサー獲得回数1452009/07/15 02:12:56ここでベストアンサー

ポイント100pt

あくまで理論上の話ですが…

封筒の厚さをx[cm]とすると、短辺は(25-x)[cm]、長辺を(34-x)[cm]となります。

体積をyと考えると、

y=x(25-x)(34-x)

=x3-59x2+850x

となります。

これは原点を通る右上がりの三次方程式です。


極値を求めるため微分して、

3x2-118x+850=0

この二次方程式の解は解の公式より

x=(118±√((-118)2-4*3*850))/(2*3)

=(118±√(13924-10200))/6

=(118±√3724)/6

計算して、

x=9.495902465 または x=29.83743087

x=9.495902465 の時、y=3607.625512

x=29.83743087 の時、y=-600.8106974

となります。


0≦x≦25の条件より、厚さを約9.5cmとした時、短辺=約15.5cm、長辺=約24.5cm、体積=約3607.6cm3となり、体積最大になります。

id:Moonbal_Sunbal

コメントにオープン不要と書かれて居られましたが、私の求めていたのはあなたのような回答です。

doumoto さんの回答は郵便局側の規定であり、参考にはなりましたが、・・・面白みは少ない。

私もあなたの回答のように皆に分かる形で理論的に解きたかったのですが、とりあえず適当な数値を掘り込んでもっともらしい値を出したのですが。

続きはコメント欄で。

2009/07/15 19:05:33
  • id:Moonbal_Sunbal
    Moonbal_Sunbal 2009/07/14 15:51:00
    doumotoさん、1472cm3というのは幅34cm高さ25cmの紙封筒を厚さ2cmにしたときの容積ですね。23x32x2=1472となりますから。
    このように直方体にした時の最大は貼りしろ余裕を使わなかったとき
    12.5x12.5x21.5=3359.375cm3、貼りしろ余裕2cm使った場合13x13x21=3549となります。金(貴金属)が送れるかは別の話と考えてください。(ただ、重さと金額を知りたかっただけですから)、金額的にはダイヤモンドを入れるとか、重量的には白金などの方が重いと思いますが、郵便法の保障金額(保障しない)や重量制限の問題だと思います。毒物、危険物、生体など(犯罪的用途)送ってはならないのとは別次元の規制だと思いますので、実際にExpackで送れるかを問題にしているのではありません。
    ところで、私が難しいと書いたのは、明らかに上記で書いた3549cm3より容積が大きくなる方法はありそうですが、計算式が分からないということです。(円周が52cmの円筒にすれば上記よりは大きくなりそう、また、それが最大かも不明)

    これから回答いただく方々
    そういう視点で問題Aを解いていただければありがたいです。
  • id:Moonbal_Sunbal
    Moonbal_Sunbal 2009/07/15 00:37:42
    一応直方体をキャラメル包みでのこの辺りが最大容積になるのではないかと思える数値が出ました。
    貼りシロ2cmを使わなかった場合、深さ=15.5、厚さ=9.5、幅=24.5で容積=3607.625です。
    貼りシロ2cmを使った場合、深さ=16.265、厚さ=9.735、幅=24.265で容積=3842.14640375となりました、これより大きい容積が取れる場合を発見された方は、深さ、厚さ、幅、容積をお教えください。尚、円筒形にして、両端の耳(角)まで利用すると、半径8.2803で体積4291.9268になりそうです。
    あなたの考えた答えをお待ちしています。
  • id:ardarim
    すみません...

    錆び付いた頭をフル回転して数学を思い出してるうちに答えが出てしまっていたようです。
    上と同じ答え(容積=3607.625)なのでオープン不要です...
  • id:Moonbal_Sunbal
    Moonbal_Sunbal 2009/07/15 19:44:16
    ardarimさん、回答の返信の続きです。
    はじめは、doumotoさんの添付のURLのようにあの封筒に30kgのものが入るかという疑問でしたが(それで比重の重い「金」を例に出し、ついでに金額も・金は規定で送れないと指摘をうけましたが)本来は最大容量が目的です。(URLの中で30キロのものを入れれば封筒が破れると心配がありましたが、内容物を荷造りテープなどでしっかり固定・一体化していれば、その外装である封筒が郵送中破れても、それは郵便局の責任範囲だと、つまらない思いをしました)
    はじめは周長が一定で面積が最大の4角形は「正方形」との思い込みで12.5x12.5x21.5で計算しましたが、計算をしてみると15.5x9.5x24.5あたりに最大値があることが分かりびっくりしました。
    やはり誤った思い込みでやってはいけないことを思い知らされました。そして円柱形+両耳も最大になるかももっと正確に計算すべき、さらに最大になる図形(封筒を切らず・組み立てなおさず・ふたが閉まるという条件で)を探そうとおもいます。
    また、Expackの25x34の封筒は横長(開口部が長辺)になりますが、多くの封筒は縦長なので、これも、ardarimさんが示された「チャンとした解き方」で最大容量を計算してみたいと思います。それがナンヤネンといわないでください。質問の始めに書いたように「お遊び」です、単なる興味です。
    ほぼ、私の求める回答は頂いたと思っていますが、モット私の思いもしない回答が有るかも知れませんので、もうしばらく開けておきます。


  • id:Moonbal_Sunbal
    Moonbal_Sunbal 2009/07/15 19:56:40
    ツマラン考え・・・浮かびました。
    封筒が25x34だから紙面積は1700cm^2となりこれと同じ表面積の球は半径11.634くらい、体積6590cm^3くらい ですのでこの体積を越すことはない!!といえますね。
  • id:sapon
    おもしろいですね!!おもわず僕も錆び付いた頭をフル回転して考えようといろいろやってみましたが、結局挫折しました。

    円周が25 x 2 + 2cmの円筒形、プラス、耳の部分、というところまでは、
    僕も同じ考えでした。円筒形部分の半径は(25x2+2)/3.14/2=8.2803で、
    長さをLとして、最終的にLの長さの関数として全体の体積を記述し、
    このLを0~34x2-8.2803x4まで変化させて、この体積の変化を見て、
    その最大値ををとれば、ほんとに最大の値が出るかなぁ・・・と考えました。

    円筒部分の体積は3.14 x 8.2803^2 x Lですぐに出ますが、問題は「耳」の部分ですよね。

    これが正しいかどうかはよくわからないのですが、この部分のかたちは、
    円筒部分の半径8.2803の円から、最後の「端」の長さ25cmの線の部分
    まで、連続的に変化していき、この部分の断面は、半径rの円とこれに
    接してExpackの長辺の端とを結ぶような紡錘形になる「はず」で、

    この紡錘形の面積を計算するのに、Expackの上下の端と、その中心で
    これに垂直な線とで、この紡錘形を4分割し、その1/4の部分だけを
    考えると、半径rで角度αの扇形と、底辺の長さがrで、この対側の角が
    αの直角三角形とに分割されます。
    そこで、この面積Sは、

    S=3.14xr^2xα/360 + r/tanα x r /2 ・・・①

    の式で表される「はず」です。

    一方、Expackは「延びない」設定なので、この断面積において、
    紡錘形の外周もまた、25 x 2 + 2cmに保たれるはずなので、

    2 x 3.14 x r x α/360 + r/tanα = (25 x 2 + 2)/4 ・・・②

    の関係が成り立つはず。

    上の①の式を変形していくと、

    S=( 2 x 3.14 x r x α/360 + r/tanα ) x r / 2

    となり、結局はS = (25 x 2 + 2)/4 x r /2

    S = 52/8 x r = 6.5 r
    ということになるでしょうか・・・

    紡錘形全体の面積はこの4倍なので、26rになります。

    挫折したのはここからで、長さLの円筒形と、Expackの短辺の端との
    間の距離をXとしたとき、Expackの短辺の端と先に面積を計算した
    紡錘形の断面との距離をxとして、変数xを0からXまで変化させたときの
    26rの積分値がこの「耳」の体積になると思うのですが、このXの計算
    がうまくいかないのです・・・
    この、Expackの長辺に平行なExpackの中央部での断面を考えたとき、
    この部分(たぶん6角形になるはず)の外周もまた、34 x 2になるので、
    このあたりから計算できそうな気がするのですが・・・

    ちょっと時間切れ、アウトです。誰か教えてください。
    上記の部分も、いろいろ考え違いや計算間違いがあるかもしれません。

  • id:Moonbal_Sunbal
    Moonbal_Sunbal 2009/07/18 00:02:15
    Saponさんありがとうございます。私の考えた形状が最大か、また計算が正しいかは検証をしていただきたいと思います(特に近年、計算能力が弱くなりまして)
    一応、2cmの余裕が取れる方でやってみます。
    >>>上端を封をして、両端を開けた紙で筒を作りますと、r=(25*2+2)/(2π)=8.28の円筒ができます。
    そして{0からπの}2連のサイン曲線の折り目を(つまり直線部分は2πr分)つけます。つまりおっぱい型というかmマークのような。そして折り目に沿って内側(つまり円筒中心側)に織り込むとぴたっと隙間無く塞がります。それを円筒の両端に作ります。それを再びテープなどで貼り合せます。<<<・・・ここで>>>から<<<は仮想記述です。実際は両端を切り開くこと間無く、再びテープで貼るという操作はしません。そのままできます。つまり平面の紙を伸び縮みさせる事無く立体変形できる「可展面」になっているわけです。
    そしてこの両端の耳部分(2*2)と中心部分の長さの比ですが、耳部分の長さ(耳の高さ?)は半径の半分です。両方で半径分。中心部の長さは34-rとなり体積はπ*r^2*(34-r)です。
    さて、私が難しいだろうと言った(思った)のは両端の耳(2つづつ)の体積です。この形がどんな形になるかは容易でした。半径rの円筒が直交したとき一方の円筒が一方の円筒の削られた形になります。そこで直交重なり部Vの体積を求めることにしました。半径r長さ2rの2本が交わった部分のみの体積は2*πr*2r-2*Vとなり、耳部分の体積はその1/4です。ということはVを求めればいいことがわかりました。Vはどういう形状かといえば円筒を円筒で切り取った形ですから、球は前から見ても横から見ても「上から見ても」・どの水平断面も円ですが、Vの形状は前と横からは円ですが「上から見れば」・水平断面は正方形なのです。ということは体積は4/3πr^3(球の体積)*4r^2(正方形の面積)/(π*r^2(円の面積))となります。V=16/3r^3です。((4πr^3)-2*16/3r^3)/4=(π-8/3)*r^3
    それで全体は(π-8/3)*2*r^3+πr^2*(34-r)となる。封筒の高さをrに変換して、幅を34のまま残した変な式ですが。式は計算間違いがあるかもしれませんが、考えは上記の通りです。尚、表面積は(25*2+2)*34*2=1768で元の封筒から全く変化はありません。






  • id:Moonbal_Sunbal
    Moonbal_Sunbal 2009/07/18 00:45:03
    円筒形端部は 前から見て 】 上から見て ▲  横から見て ○ の形をしています。
    ちなみに、高さHと幅Wの同じ封筒の場合、キャラメル包みのとき、立方体に組み立てるより、深さ=封筒幅:H*2/3=W*2/3,
    厚み:H*1/3の立方体を半分に切った形が最大容積になるようです。(15cm角の封筒ならば、縦・横10cm、高さ(厚み)5cmということです。
  • id:Moonbal_Sunbal
    Moonbal_Sunbal 2009/07/19 22:31:18
    どうやら長々と私が書いた形状も最大でなさそうです。両端に角(耳)が2本づつは間違いないだろうと思われますが、円筒形から角に至る面は境目(稜)の無い曲面になりそうです。どんな局面かと申しますと、伸び縮みのしない容易に曲面になりうる素材、雨傘を入れる袋のような物を膨らませた時の端の形状です。
    そこで思いついた方法です。算式解法しか馴染みの無い人には理解し難いかも知れませんがインチキでもトリックでもありません。(この袋は幅12cmです、長さはかなり長い(80cmくらい有るので)ので12/26*34=15.69cmのところでシーラーで封をして注射器などで(空気を完全に抜きながら)水を入れる。満杯になったところの水の体積が正解の最大値です。ただしこの袋も少し伸びますので「見極めが難しい」。それで(26/12)^3=11.17倍すれば正解がでる・・・という解法考えられます。理論上は正しく最大値が出ます。ただし形状の式が判ってもかなり難しい計算になるでしょう。
    ちなみに、私もいろいろ考えまして、断面をひし形や平行四辺形、楕円形を考えましたが、いずれも前出よりも小さいだろうと考えられたことと、計算式が立てられなかったので、計算してません。
    形状がわかって計算するのならば何とか式を引き出す方向に向かえるのですが、形状から考えるとなると、・・・難しい。

    もうこの辺で、終了したいと思います。終了後も上記で算出した値より大きい場合(算出方法も合わせて)お知らせください。納得がいけばポイントを送ります。

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません