【数学の公式】で、あなたの好きな公式を教えて下さい。また、裏技的な公式や自分で導いた人が知らない公式などもあったら教えて下さい。ただし、必須条件として、数式はTeXの記法を使用して下さい。

 それから、LaTeXソースを編集するのに、いつも、あなたが使っているエディタなども紹介して貰えたら有難いです。

※参考URL
●数式の表示について - はてなダイアリー日記
>[tex:e^{i\pi} = -1]
http://d.hatena.ne.jp/hatenadiary/20031010/1065776577

回答の条件
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  • 登録:2009/08/05 14:08:10
  • 終了:2009/08/11 18:18:02

ベストアンサー

id:ymlab No.1

ymlab回答回数506ベストアンサー獲得回数332009/08/05 18:12:51

ポイント50pt

私が好きな数学公式は大数の法則の

\lim_{n\to \infty} P(|\bar{X_{n}}-\mu|\geq \epsilon)=0

です。

URIが必須でしたので、それの証明をした時のサイトです。

http://ymlabo.ddo.jp/~ymlab/wiki/index.php?%B3%CE%CE%A8%CF%C0-%C...

チェビシェフの法則がにていることから、上手に証明できる様子に感動しました。

数学に限らずに言えば、電磁気学から、量子力学に導入されるところで、

マックスウェル方程式から、シュレディンガー方程式に変わっていくところが

「ををを、すげー!」

と思いました。

マックスウェル方程式

\nabla \cdot B = 0

\nabla \times E + \frac{\partial B} {\partial t} = \mathbf{0}

\nabla \cdot D = {\rho}

\nabla \times H - \frac{\partial D}{\partial t} = i

です。

シュレディンガー方程式

i\hbar\frac{\partial{}}{\partial{}t}|\psi(t)\rangle=\hat{H}|\psi(t)\rangle

です。

あと、好きというか、個人的に卒業研究で難儀させられて思い入れの深い式が、

ベーテブロッホ方程式です。

放射線が進むときのエネルギーの損失を求めます。

- \frac{dE}{dx} = \frac{4 \pi}{m_e c^2} \cdot \frac{nz^2}{\beta^2} \cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \cdot \left[\ln \left(\frac{2m_e c^2 \beta^2}{I \cdot (1-\beta^2)}\right) - \beta^2\right ]

こうして書いてみて、気がついたのですが、私は、公式そのものが好きと言うよりも、式変形が好きみたいです・・。

LaTeX使っておらず、pLatexを使っています。

[今現在も!]

LaTeXを編集するためにいつも使っているのは、

学生時代は、LASER5 Linux + Xemacs だったのですが、

今は、

Windows Vista + gVim for Windows になっています。

[Windowsで、Xemacsを入れるのはMeadow と聞いたのですが、

なんか使いにくかったのでVimに切り替えました。

id:rsc96074

回答ありがとうございます。大数の法則の公式もかっこいいですよね。

話は変わりますが、やはり、[]が乱れますよね。

それから、LaTeXじゃなくても、はてなの回答に使えるものなら自由にどうぞ。

2009/08/05 18:35:04

その他の回答(5件)

id:ymlab No.1

ymlab回答回数506ベストアンサー獲得回数332009/08/05 18:12:51ここでベストアンサー

ポイント50pt

私が好きな数学公式は大数の法則の

\lim_{n\to \infty} P(|\bar{X_{n}}-\mu|\geq \epsilon)=0

です。

URIが必須でしたので、それの証明をした時のサイトです。

http://ymlabo.ddo.jp/~ymlab/wiki/index.php?%B3%CE%CE%A8%CF%C0-%C...

チェビシェフの法則がにていることから、上手に証明できる様子に感動しました。

数学に限らずに言えば、電磁気学から、量子力学に導入されるところで、

マックスウェル方程式から、シュレディンガー方程式に変わっていくところが

「ををを、すげー!」

と思いました。

マックスウェル方程式

\nabla \cdot B = 0

\nabla \times E + \frac{\partial B} {\partial t} = \mathbf{0}

\nabla \cdot D = {\rho}

\nabla \times H - \frac{\partial D}{\partial t} = i

です。

シュレディンガー方程式

i\hbar\frac{\partial{}}{\partial{}t}|\psi(t)\rangle=\hat{H}|\psi(t)\rangle

です。

あと、好きというか、個人的に卒業研究で難儀させられて思い入れの深い式が、

ベーテブロッホ方程式です。

放射線が進むときのエネルギーの損失を求めます。

- \frac{dE}{dx} = \frac{4 \pi}{m_e c^2} \cdot \frac{nz^2}{\beta^2} \cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \cdot \left[\ln \left(\frac{2m_e c^2 \beta^2}{I \cdot (1-\beta^2)}\right) - \beta^2\right ]

こうして書いてみて、気がついたのですが、私は、公式そのものが好きと言うよりも、式変形が好きみたいです・・。

LaTeX使っておらず、pLatexを使っています。

[今現在も!]

LaTeXを編集するためにいつも使っているのは、

学生時代は、LASER5 Linux + Xemacs だったのですが、

今は、

Windows Vista + gVim for Windows になっています。

[Windowsで、Xemacsを入れるのはMeadow と聞いたのですが、

なんか使いにくかったのでVimに切り替えました。

id:rsc96074

回答ありがとうございます。大数の法則の公式もかっこいいですよね。

話は変わりますが、やはり、[]が乱れますよね。

それから、LaTeXじゃなくても、はてなの回答に使えるものなら自由にどうぞ。

2009/08/05 18:35:04
id:kn1967a No.2

kn1967a回答回数356ベストアンサー獲得回数72009/08/05 21:14:10

id:rsc96074

回答ありがとうございます。物理じゃなくて数学の公式だったのですが、これより、数学以外の公式も良しと変更します。とにかく、Texの記法を使ってください。それから、式だけじゃなくてコメントも付いているとポイントの配分が大きくなります。(^_^;

2009/08/05 22:04:29
id:Mathusala No.3

サディア・ラボン回答回数259ベストアンサー獲得回数42009/08/06 00:48:07

ポイント20pt

ケプラーの第三の法則。

Aは軌道半径。

Tは公転周期。

A3=T2


http://www.astrophotoclub.com/tenmonyougo/s141.htm


昔は数学が嫌いでしたが、

関数電卓が机の引き出しの奥から出て来た時、

この式を知っていたので、

漫画や映画に出る、架空の惑星の軌道を片っ端から計算しました。

作品によって、でたらめだったり、ちゃんと考えて作ってたり足りしました。

id:rsc96074

回答ありがとうございます。ケプラーの第三法則も単純ですけど美しいですよね。惑星の距離の計算なら、経験則かなんかですが、ボーデの法則というのがあります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%86%E3%82%A...

2009/08/06 01:25:51
id:uwitenpen No.4

uwitenpen回答回数6ベストアンサー獲得回数12009/08/06 12:33:47

ポイント20pt

他の方と比べると見劣りするかもしれませんが、留数定理を。aは閉曲線γの囲む有界領域内の孤立特異点です。

\oint_\gamma f(z)dz = 2\pi i\sum_a \mathrm{Res}_{a}f(z)

学生を終わっても役に立っている数少ない公式であることと、一見連続的にも見える複素積分の値が特異点の留数の和だけで求まって、応用も広いことが理由です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0

id:rsc96074

回答ありがとうございます。「oint」がかっこいいですね。ほんと学生を終わっても役に立つものって少ないですよね。

2009/08/06 13:54:57
id:Moonbal_Sunbal No.5

Moonbal_Sunbal回答回数21ベストアンサー獲得回数02009/08/09 23:23:40

ポイント20pt

純粋数学の公式でなくても良いならば、物理、特に力学での応用範囲の広い公式

{ Ab=Cd=E(一定) AとCは同じ物理単位、bとdは同じ物理単位とします。}

例えば①A,Cは力、b、dは距離 実際例として梃子、天秤、滑車(の力とロープの動く長さ)等

   ②A,Cはシリンダー面積、b、dは液体がパイプ中動いた距離:ここでEは流量になります。面積あたりの圧力は等しいから、A,Cに比例して力が発生することになります。(油圧ジャッキーなど)

実際には世の中かなり、この式で表わせる現象はありますよ。

http://q.hatena.jp/dummyURL

id:rsc96074

回答ありがとうございます。了解しました。近くにつけておきます。

>「②・・・、b、dは液体がパイプ中動いた距離」は「b、dはシリンダーヘッドの動いた距離」が正しい

2009/08/10 00:08:32
id:Moonbal_Sunbal No.6

Moonbal_Sunbal回答回数21ベストアンサー獲得回数02009/08/10 00:09:40

ポイント25pt

公式と言うより「定理」なのですが

オイラーが「ケーニヒスベルグの橋」の問題を解くために示した方法。(一筆書きの解法と同値とした)

一筆書きができる条件として{奇数分岐点(端点=1として、3,5・・・)が0か2でなければならない}

蛇足条件として奇数分岐点が4、6、・・・は駄目(奇数になるわけが無いことはお分かりでしょう)

       偶数分岐点=つまり折れ曲がり線、数本の線の交差点などは何点有っても良い=無視してよい

定理が出たから考えれば、「当然」と言うことは誰でも気が付きます(カンタンに証明できる)が、最初に気が付いて公表したオイラーはやはり天才。

http://q.hatena.ne.jp/dummyURL

id:rsc96074

回答ありがとうございます。確かにオイラーは天才ですね。オイラーつながりでオイラーの公式の数式を書いていたらよかったです。

2009/08/10 01:26:51
  • id:Mathusala
    サディア・ラボン 2009/08/05 15:30:54
    学校出はBASICを習いましたが、
    BASICの三角関数にはSIN, COS, TAN, ATN(arctan)の四つしかないので、

    arcsin(x)=ATN(X/(1-X^2)^0.5)
    arccos(x)=ATN((1-X^2)^0.5/X)

    また、常用対数が無いので、
    LOG(X)/LOG(10)と書かないといけません。
    だけど、そのお陰で
    LOG(8)/LOG(2)=3
    というのを知って、
    2^3=8, 8^(1/3)=2
    と合わせて、対称性(?)のある式を揃える事が出来ました。
  • id:rsc96074
     コメントありがとうございます。よかったら、こちらを使って練習してみて下さい。下記のソフトでLaTexで出力したものをコピペして、[tex:~]で囲めはいいです。そういえば、初めに、[M]ボタンを押して使うといいです。それから、「\」キーを押すと、括弧や根号など色々出てきます。練習の結果は、回答欄にどうぞ。
     使用例:[tex:sin^{-1}x=tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)]
    ●InftyEditorのダウンロード
    >学生版は、LaTeX ソース編集専用のフリーソフト版です。(Word への変換は出来ません)
    強力なオンラインヘルプと数式のVisualな編集機能によって、非常に簡単にLaTeX文書を書くことができます。
    LaTeX の練習用ソフトウェアーとしても使えます。
    http://www.sciaccess.net/jp/InftyEditor/download.html

  • id:rsc96074
     回答欄のコメントにも書きましたが、数学以外の公式も可とします。とにかく、TeXの記法を使ってかっこよく書いて下さい。
  • id:smoking186
    はてなのtex記法で[と]を正しく使うには, \[と\]です.

  • id:rsc96074
    コメント有難うございます。
  • id:rsc96074
     締め切りまで残り少なくなって来たので、これより、条件を緩めてTeX記法にはこだわらないことにします。BASIC記法でも何でもいいです。それから、質問者は回答できないので、下の数式を誰か、回答して下さい。(^_^;

    [tex:\int_{\alpha}^{\beta}\left(x-\alpha\right)^{m}\left(\beta-x\right)^{n}dx=\frac{m!n!}{\left(m+n+1\right)!}\left(\beta-\alpha\right)^{m+n+1}]

  • id:Moonbal_Sunbal
    Moonbal_Sunbal 2009/08/09 23:30:32
    すみません、記述誤りです。
    「②・・・、b、dは液体がパイプ中動いた距離」は「b、dはシリンダーヘッドの動いた距離」が正しい
  • id:Moonbal_Sunbal
    Moonbal_Sunbal 2009/08/10 08:58:02
    最初は「オイラーの公式」にしようと思ったのですが、そのつながりの「オイラーの等式」が設問中の参考URLにあったものですから、「一筆書きの証明」との併記はやめました。
    :<math>e^{i\theta} = \cos\theta + i \, \sin\theta</math>

    「オイラーの公式」のURLは下記にあります。
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

    「オイラーの公式」を見た時(高校の時でしたが)は実に「感動もの」でした。実数域と虚数域の関係、直交座標と極座標の関係が目に見えて理解できる式でした。
    これを使うと自然対数の底(e)と虚数単位(i),円周率(π)と負数(-1)の関係式:設問中の参考URLの式も簡単に理解できます。
    オイラーの素晴らしさは、難しい理論や式を、専門家しか分からない方法や理論を連ねて解説するのではなく、誰でもカンタンに分かる方法を提示した事だと思います。

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