高校数学の問題ですが、自力でわからないため、お力いただければ幸いです。


n:自然数
X(n)=(10^n)-1
のとき、

X(n)/{X(5)^2}が割り切れるときのnを求めよ。


おそら条件を満たすnは無数にあると思うので、一般化して頂ければ問題ありません。計算過程もいただけると嬉しいです。どうぞよろしくお願い致します。

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2009/08/10 11:39:08
  • 終了:2009/08/16 14:18:52

ベストアンサー

id:Nos No.2

Nos回答回数9ベストアンサー獲得回数12009/08/13 18:13:55

ポイント60pt

X(n)はX(n)=999..99と9がnけた並ぶ数を返してくれる関数なのを確認しておきます。ちょっと試してみればわかりますね。

とりあえず式を変形してみましょう。注目している式をZ(n)とします。

Z(n)=\frac{\overbrace{999\ldots 99}^{n}}{99999^2}=\frac{\overbrace{999\ldots 99}^{n}}{11111^2\times9^2}=\frac{\overbrace{111\ldots 11}^{n}}{11111^2\times9}

つまり、この問題は「111...11(nケタ)という数が11111^2と9で割り切れるnを求めよ」という問題に帰着します。

11111と9は互いに疎ですから、111...11(nケタ)が9で割り切れ、かつ11111^2でも割り切れればよいわけです。

  • 9で割り切れる条件

9で割り切れることの判定法は有名なのかちょっとわからないのですが(知らない場合以下がわかりやすいでしょうか: http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/qanda/01-05.html http://plaza.rakuten.co.jp/kuragebiyori/diary/200712090000/ )、各桁の数字をすべて足したものが9の倍数であればいいわけですから、つまり桁数が9の倍数であればいいことになります。自然数mを使ってn=9aと表せればよいわけです。

  • 11111^2で割り切れる条件

まず11111で割り切れる条件を考えましょう。これは筆算をやってみると、nが5の倍数であればいいことがわかると思います。下の図の商と割る数をかければ割られる数に戻るのがわかるでしょう。

             100001.......0100001
       --------------------------
 11111 ) 1111111111.......1111111 

この商は、元の数が5b桁だったとすると{1+100000+100000^2+...+100000^(b-1)}と書けます。b=1やb=2で確かめてみるといいでしょう。

さて、11111^2で割り切れる条件を考えているのですから、この商がもう一度11111で割り切れればよいわけです。

とりあえず小さいbについてこの{...}を11111で割ってみると、b=1のとき余りは1、b=2のとき余り2、b=3のとき余り3となります。どうも余りがbと等しいように見えますね。これは実際成り立っていることが次のようにして示せます(もちろんb=11112とかのときは余りは11112ではなくて1になるわけですが)。

100000は11111で割ると余りが1になるので、整数kによって 100000=11111k + 1 と表せます。なので一般に自然数mについて、10000^m=(11111k + 1)×(11111k + 1)×...×(11111k + 1) = (11111の倍数) + 1 となりますから、10000^mを11111で割った余りも1となります。ですから{1+100000+100000^2+...+100000^(b-1)}を11111で割った余りは{1 + 1 + 1 + ... + 1}となります(ただしb<11111の場合)。もともと{}内の項数がb個でしたから、これはつまりbそのものです。b≧11111の場合はb={1 + 1 + 1 + ... + 1}を11111で割ったあまりとなります。

つまり、bが11111の倍数であれば{1+100000+100000^2+...+100000^(b-1)}は11111で割り切れる、すなわち111..11(5bケタ)は11111^2で割り切れるというわけです。n=5bでしたから、つまりnが5の倍数で、かつ11111の倍数でもあればいいということになります。


  • 結局

nが5、9、11111の倍数であればいいわけですから、(5、9、11111は互いに疎なので)mを自然数として

n=(5×9×11111)m

が求める条件となります。ちなみに「自然数」に0を含めた時もこの条件は成り立ちます。

id:miku1973

完璧だと思います。熟読致しました。

本当にありがとうございました。

いるか贈ります。

2009/08/16 14:18:01

その他の回答(3件)

id:Hyperion64 No.1

Hyperion64回答回数791ベストアンサー獲得回数842009/08/12 22:20:18

ポイント10pt

n=2*5*9*41*271*N Nは自然数です。

最小のnは999990です。その時のX(n)/{X(5)^2}の値は230万桁でした。

略解はこうなります。

まず、

X(5)=99999=9*41*271

初めに、X(n)=(10^n)-1でX(n)がf(5)で割り切れるためにnが5の倍数かつ2の倍数であることを導きます。

n=2*5*pとすると

X(n)/{X(5)^2}=(10^(5p)-1)(10^(5p)+1)/(10^5-1)^2

分子の第一項目は(10^5-1)で割り切る。よってこの条件下でpを求めます。

また、X(n)は9,41,271で割り切れることが必要です。

それは下記のように考えてください。

フェルマの小定理でs^p-sは(s,p)=1であればpで割り切れます。

即ち(s,p)=1とはxとpが最大公約数が1を意味します。互いに素ということです。

ここでs=10^5とします。

p=9*41*271の時、(s,p)=1です。したがってs^9*41*271-sは9*41*271で割り切れます。

s^p-s=s^p-1-(s-1)=s^p-X(5)で,これはpで割り切れます。

推論に飛びがありますが、こんな流れだと思います。

id:miku1973

> 最小のnは999990です。その時のX(n)/{X(5)^2}の値は230万桁でした。

 

ありがとう。

けど、この一行で違うと確信しました。

 

nが999990のとき、すなわちX(999990)は99万9990桁と思います。それを{X(5)^2}で割るのですから、X(n)/{X(5)^2}の桁数はもっと少ないです。

 

 

 

ただ、nが999990のとき割り切れることは確認しました。しかし最小ではない気がしています。ポイントは送ります。本当にありがとう。

2009/08/16 12:47:45
id:Nos No.2

Nos回答回数9ベストアンサー獲得回数12009/08/13 18:13:55ここでベストアンサー

ポイント60pt

X(n)はX(n)=999..99と9がnけた並ぶ数を返してくれる関数なのを確認しておきます。ちょっと試してみればわかりますね。

とりあえず式を変形してみましょう。注目している式をZ(n)とします。

Z(n)=\frac{\overbrace{999\ldots 99}^{n}}{99999^2}=\frac{\overbrace{999\ldots 99}^{n}}{11111^2\times9^2}=\frac{\overbrace{111\ldots 11}^{n}}{11111^2\times9}

つまり、この問題は「111...11(nケタ)という数が11111^2と9で割り切れるnを求めよ」という問題に帰着します。

11111と9は互いに疎ですから、111...11(nケタ)が9で割り切れ、かつ11111^2でも割り切れればよいわけです。

  • 9で割り切れる条件

9で割り切れることの判定法は有名なのかちょっとわからないのですが(知らない場合以下がわかりやすいでしょうか: http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/qanda/01-05.html http://plaza.rakuten.co.jp/kuragebiyori/diary/200712090000/ )、各桁の数字をすべて足したものが9の倍数であればいいわけですから、つまり桁数が9の倍数であればいいことになります。自然数mを使ってn=9aと表せればよいわけです。

  • 11111^2で割り切れる条件

まず11111で割り切れる条件を考えましょう。これは筆算をやってみると、nが5の倍数であればいいことがわかると思います。下の図の商と割る数をかければ割られる数に戻るのがわかるでしょう。

             100001.......0100001
       --------------------------
 11111 ) 1111111111.......1111111 

この商は、元の数が5b桁だったとすると{1+100000+100000^2+...+100000^(b-1)}と書けます。b=1やb=2で確かめてみるといいでしょう。

さて、11111^2で割り切れる条件を考えているのですから、この商がもう一度11111で割り切れればよいわけです。

とりあえず小さいbについてこの{...}を11111で割ってみると、b=1のとき余りは1、b=2のとき余り2、b=3のとき余り3となります。どうも余りがbと等しいように見えますね。これは実際成り立っていることが次のようにして示せます(もちろんb=11112とかのときは余りは11112ではなくて1になるわけですが)。

100000は11111で割ると余りが1になるので、整数kによって 100000=11111k + 1 と表せます。なので一般に自然数mについて、10000^m=(11111k + 1)×(11111k + 1)×...×(11111k + 1) = (11111の倍数) + 1 となりますから、10000^mを11111で割った余りも1となります。ですから{1+100000+100000^2+...+100000^(b-1)}を11111で割った余りは{1 + 1 + 1 + ... + 1}となります(ただしb<11111の場合)。もともと{}内の項数がb個でしたから、これはつまりbそのものです。b≧11111の場合はb={1 + 1 + 1 + ... + 1}を11111で割ったあまりとなります。

つまり、bが11111の倍数であれば{1+100000+100000^2+...+100000^(b-1)}は11111で割り切れる、すなわち111..11(5bケタ)は11111^2で割り切れるというわけです。n=5bでしたから、つまりnが5の倍数で、かつ11111の倍数でもあればいいということになります。


  • 結局

nが5、9、11111の倍数であればいいわけですから、(5、9、11111は互いに疎なので)mを自然数として

n=(5×9×11111)m

が求める条件となります。ちなみに「自然数」に0を含めた時もこの条件は成り立ちます。

id:miku1973

完璧だと思います。熟読致しました。

本当にありがとうございました。

いるか贈ります。

2009/08/16 14:18:01
id:anime-love No.3

アニメ好き回答回数25ベストアンサー獲得回数02009/08/10 12:36:50

ポイント10pt

そんな難しい野出るんですか!?

id:Moonbal_Sunbal No.4

Moonbal_Sunbal回答回数21ベストアンサー獲得回数02009/08/14 01:08:33

ポイント10pt

そのようなnは存在しません。10^n-1は9999800001(=(10^5-1)^2)では割り切れません!

  • id:Hyperion64
    ちょっとチェックしてみました。
    定義式によりx(5)は下記のように素因数分解できます。
    x(5)=99999=9*41*271
    つまり、問題は9^2、41^2、271^2を含むx(n)を求めることになります。
    nは5の倍数でなければなりませんが、簡単には解けないのでn=5~100まで素因数をサーチしてみましたが、
    上記の条件のx(n)はありませんでした。

    ここから先はレピュニットの素因数分解を参照しましたが、やはり41^2、271^2の因数を含むものはないようです。以下にn=1~73まで一刻みで素因数分解された表があります。
    nが5の倍数のところに41と271はありますね。
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%88

    つまり、割り切れるnが存在しないというのが解のような気がするのですが。問題文の解釈が違うかもしれません。
  • id:miku1973
    ありがとうございます。
    私も現在考え中です。また書き込みます。
    何かわかりましたら、気軽に書き込みしてください。

    高校の問題なので、そんに難解なハズはないと思っています。
  • id:Moonbal_Sunbal
    Moonbal_Sunbal 2009/08/25 11:09:01
    miku1973さん、ありがとうございます。よく考えないで回答したもので(一応、剰余を使って計算したのですが、すり抜けてしまい)正しい解答が出ませんでした。それで「履歴のポイント」が0になってましたので「当然」と思ったのですが、開いて見ると、10ポイント頂いてました。お礼申し上げます。しかし、その配点はどこへ行ったのでしょうかね。10回答に1つぐらいありますね、質問者が配点しても、回答者に配点されてない事が。以前よりはてなの事務局には知らせているのですが、何の回答も無いようです。個々の問題として処理されているのかもしれませんね。「はてなシステム」の問題として連絡しているのですが。

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません