中学校の数学なんですが、お力いただければ幸いです。


今、一辺が2の正三角形があります。
内部は空洞です。

さらに、半径が(3√6)/8の球があります。
これは内部は空洞ではありません。

今、この正三角形の内部に、この球を通そうとします。
これはすぐわかると思いますが、三角形の辺にひっかかって通りません。
今、このひっかかっている状態を保持しているものとします。

さらに、この正三角形を底面とする正四面体を考えます。
※球の中心が正四面体の内部にくること

このとき、正四面体の3つある側面のうち、1つに注目します。
※3つとも同じことなのでどれを注目してもよい

この側面(正三角形です)の面積のうち、球の内部に該当している面積を求めて下さい。



---
自力では・・・ちょっとわかりませんでした。考え方及び答えを導いていただければ幸いです。回答は8月30日(日)午前7時以降に開きますので、ゆっくり考えて頂いて構いません。どうぞよろしくお願い致します。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2009/08/29 08:27:47
  • 終了:2009/08/31 20:28:37

回答(2件)

id:kappagold No.1

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482009/08/30 09:02:30

ポイント60pt

この辺りの問題を自力で解こうとされているので、大分能力の高い方と思います。

解答をそのまま書くより、解答へのポイントを書いていった方が良いかと思いますので、方向性とポイントのみ書きます。



「この側面(正三角形です)の面積のうち、球の内部に該当している面積」ということなので、まずは、一つの側面の正三角形と同じ平面に注目します。そうすると、球はその平面上では、接している円として現れてきます。

つまり、求める面積は、正三角形と円の重なる部分の面積を求めるということになります。


次に、正三角形と円の位置関係を考えると、

「三角形の辺にひっかかって通りません。今、このひっかかっている状態を保持しているものとします。」ということですので、三角形の底辺と円は接している状態であることがわかります。

円の半径は判らないので、円が三角形の頂点の上に来るのか下に来るのか丁度重なるのかは、まだ判りません。


そこで、三角形の頂点と円の関係性を求めます。求めるには、正四面体の頂点と球の位置関係を求めることが必要です。

正四面体と球を重ねて、正四面体の頂点が球の上に出るのか、球の内部にあるのか、表面に接するのかを見ます。


正四面体の高さは、三平方の定理から出せますよね。

(2√6)/3です。

円の直径は、(3√6)/8ですね。

円の直径のうち、正四面体の底面の上にある部分と下にある部分の長さがわかれば、正四面体の頂点と球の位置関係がわかります。


ここでも、立体ではなく平面で考えた方がわかりやすいので、縦に切り取った平面を考えます。球と正四面体の底辺の正三角形の辺が接している所を通る平面です。

円の内部に、そうすると円を上部と下部に分ける線が書かれていますね。

その線の長さは、三平方の定理から、(2√3)/3。出す時は直角三角形で考えると思うので、半分の(√3)/3で出すと思います。

直径が(6√6)/8の円が(2√3)/3の線分で、上下に分けられた時、(6√6)/8の直径がいくつに分けられるかも、三平方の定理や相似で求めます。

上部が(2√6)/3、下部が(√6)/12です。


ここまでくれば、正四面体の頂点が球の表面に丁度来ることがわかります。


そうすると、側面の図は、正三角形に、正三角形の底辺に接しと頂点を通る円が重なる図となります。

その重なった部分の面積を求めるだけの問題なので、簡単に求められると思います。

(扇形を考えれば大丈夫ですよね。)


多少のヒントにはなると思いますので、もう一度チャレンジしてみてください。

id:miku1973

 

2009/08/30 17:27:21
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4380ベストアンサー獲得回数3982009/08/29 09:39:19

ポイント10pt

>このとき、正四面体の3つある側面のうち、1つに注目します。

>※3つとも同じことなのでどれを注目してもよい

とのことなので、元の一辺が2の三角形に注目します。

 このとき、正三角形で球を切った切り口は、正三角形の内接円になると思います。

それで、問題は、「一辺が2の正三角形の内接円を求めよ。」という問題と同じことになると思います。

 求める半径をrとして、ヘロンの公式から、

 S=\frac{1}{2}r(2+2+2)=3r

また、三角形の面積の公式より、

 S=\frac{1}{2}\times 2\times\sqrt{3}=\sqrt{3}

3r=\sqrt{3}

r=\frac{1}{\sqrt{3}}

 したがって、求める面積は、円の面積の公式より、

 \pi\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{\pi}{3}

※参考URL

●内接円の半径

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/s1sc203.htm

●三角形の面積(1)

http://homepage3.nifty.com/fum_s/math1-7/math1-7-1.html

id:miku1973

ありがとう。

残念ながら、完全に間違っていると思います。

着眼したいのは底面ではなく側面です。

rsc96074様が求めているのは底面に関することだと思います。

 

kappagold様はちゃんと側面でとらえていらっしゃいました。

2009/08/30 09:25:48
  • id:rsc96074
    なるほど、確かに間違えています。(^_^;残念。
  • id:rsc96074
     xyz平面で考えてみます。
    球:x^2+y^2+z^2=27/32
    底面;z=-(7√6)/24
     上の計算から、底面の三角形の内接円が1/√3で、球の半径が3√(6)/8だから、三平方の定理で求めました。
    三角形の3つの頂点は、(-1/√3,+1,-(7√6)/24),(-1/√3,-1,-(7√6)/24),(2/√3,0,-(7√6)/24)
    ●正四面体
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93
    これより、高さが、√(2/3)aとのことなので、a=2より、高さは、2√(2/3)=(2√6)/3
    よって、正四面体の上の頂点の座標は、(0,0,(3√6)/8)
     3点(-1/√3,+1,-(7√6)/24),(-1/√3,-1,-c),(0,0,(3√6)/8)を通る平面を求めて、点と平面の距離の公式から、平面までの距離を求めて、球の半径から、三平方の定理で、球と平面の切り口の円の半径を求めます。球の平面による切り口は公式集に円であると書いてありました。

     数字が面倒なので、内接円の半径をr=1/√3、球の半径をR=3√(6)/8、底面の方程式をz=-pとすると、(p=(7√6)/24)
    側面の平面は、(-r,1,-p),(-r,-1,-p),(0,0,R)を通るから、
    ax+by+c(z-R)=0として、
    -ar+b+c(-p-R)=0・・・①
    -ar-b+c(-p-R)=0・・・②
    ①-②
    ∴b=0、a:c=(p+R):-r
    よって求める平面は、(p+R)x-rz+rR=0 ここで、p+R=(2√6)/3=hとおく。∵四面体の高さ
    側面の平面が球を切る切り口の円の半径をxとすると、
    x^2=R^2-r^2R^2/{(p+R)^2+r^2}=R^2(p+R)^2/{(p+R)^2+r^2})=(Rh)^2/(h^2+r^2)
    ={3√(6)/8×(2√6)/3)}^2/{(2√6/3)^2+(1/√3)^2}=3/4
    ∴x=√3/2
    よって、求める側面の切り口の円の半径は、√3/2
    あとは、内接する正三角形の面積+120°の扇形-(内接する正三角形)/3
    =(2/3)×(内接する正三角形の面積)+円の面積の(1/3)
    =(2/3)×(3√3/4)(x^2)+π(x^2)×(1/3)
    ={(3√3/2)+π}(x^2)/3={(3√3/2)+π}(1/4)
    =3√3/8+π/4≒1.43491721623578

  • id:miku1973
    ありがとう。
    答えは私が出したものと同じでした。
    よいと思います。

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