例えば、
50×4000×5000
のような感じで、3つの整数の積にします。
ただし、
50×4000×5000
4000×5000×50
5000×50×4000
は順番が違うだけなので、3通りではなく1通りと数えます。
総数と考え方をご教授いただければ嬉しいです。
コンピュータによる算出ではなく、高校生くらいの知識を用いて机上での考え方で導いてくれると嬉しいです。
どうぞよろしくお願い致します。
※回答は9/18(金)午前9時以降に開き始めますので、ゆっくり考えてもらって大丈夫です。
面倒ですが、パターンを列挙する方法で解くことはできそうです。
まず、素因数分解を使って
なので、次のようにおけます。
ここでa,b,cとe,f,gのパターンは12通り
009 | 018 | 027 | 036 | 045 | 117 | 126 | 135 | 144 | 225 | 234 | 333 |
この3個の数字に着目すると、3個とも違う、2個が同じ、3個同じになり、
a,b,cとe,f,gで掛け合わせたときのパターン数は、
3個とも違う | 2個同じ | 3個同じ | |
---|---|---|---|
3個とも違う | 6 | 3 | 1 |
2個同じ | 3 | 2 | 1 |
3個同じ | 1 | 1 | 1 |
それを全てのパターンに当てはめると
009 | 018 | 027 | 036 | 045 | 117 | 126 | 135 | 144 | 225 | 234 | 333 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
009 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 1 |
018 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 |
027 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 |
036 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 |
045 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 |
117 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 1 |
126 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 |
135 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 |
144 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 1 |
225 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 1 |
234 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 |
333 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
全部合計すると、517通りになります。
面倒ですが、パターンを列挙する方法で解くことはできそうです。
まず、素因数分解を使って
なので、次のようにおけます。
ここでa,b,cとe,f,gのパターンは12通り
009 | 018 | 027 | 036 | 045 | 117 | 126 | 135 | 144 | 225 | 234 | 333 |
この3個の数字に着目すると、3個とも違う、2個が同じ、3個同じになり、
a,b,cとe,f,gで掛け合わせたときのパターン数は、
3個とも違う | 2個同じ | 3個同じ | |
---|---|---|---|
3個とも違う | 6 | 3 | 1 |
2個同じ | 3 | 2 | 1 |
3個同じ | 1 | 1 | 1 |
それを全てのパターンに当てはめると
009 | 018 | 027 | 036 | 045 | 117 | 126 | 135 | 144 | 225 | 234 | 333 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
009 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 1 |
018 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 |
027 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 |
036 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 |
045 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 |
117 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 1 |
126 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 |
135 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 |
144 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 1 |
225 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 1 |
234 | 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 6 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 |
333 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
全部合計すると、517通りになります。
よいと思います。非常にわかりやすいです。
実は机上計算ではありませんが、パソコンで導いたところ、私も517通りになっていました。具体的には以下です。
1×1×1000000000
1×2×500000000
1×4×250000000
1×5×200000000
1×8×125000000
1×10×100000000
1×16×62500000
1×20×50000000
1×25×40000000
1×32×31250000
1×40×25000000
1×50×20000000
1×64×15625000
1×80×12500000
1×100×10000000
1×125×8000000
1×128×7812500
1×160×6250000
1×200×5000000
1×250×4000000
1×256×3906250
1×320×3125000
1×400×2500000
1×500×2000000
1×512×1953125
1×625×1600000
1×640×1562500
1×800×1250000
1×1000×1000000
1×1250×800000
1×1280×781250
1×1600×625000
1×2000×500000
1×2500×400000
1×2560×390625
1×3125×320000
1×3200×312500
1×4000×250000
1×5000×200000
1×6250×160000
1×6400×156250
1×8000×125000
1×10000×100000
1×12500×80000
1×12800×78125
1×15625×64000
1×16000×62500
1×20000×50000
1×25000×40000
1×31250×32000
625×625×2560
625×640×2500
625×800×2000
625×1000×1600
625×1250×1280
80×80×156250
80×100×125000
80×125×100000
80×160×78125
80×200×62500
80×250×50000
80×400×31250
80×500×25000
80×625×20000
80×800×15625
80×1000×12500
80×1250×10000
80×2000×6250
80×2500×5000
80×3125×4000
20×20×2500000
20×25×2000000
20×32×1562500
20×40×1250000
20×50×1000000
20×64×781250
20×80×625000
20×100×500000
20×125×400000
20×128×390625
20×160×312500
20×200×250000
20×250×200000
20×320×156250
20×400×125000
20×500×100000
20×625×80000
20×640×78125
20×800×62500
20×1000×50000
20×1250×40000
20×1600×31250
20×2000×25000
20×2500×20000
20×3125×16000
20×3200×15625
20×4000×12500
20×5000×10000
20×6250×8000
256×625×6250
256×1250×3125
8×8×15625000
8×10×12500000
8×16×7812500
8×20×6250000
8×25×5000000
8×32×3906250
8×40×3125000
8×50×2500000
8×64×1953125
8×80×1562500
8×100×1250000
8×125×1000000
8×160×781250
8×200×625000
8×250×500000
8×320×390625
8×400×312500
8×500×250000
8×625×200000
8×800×156250
8×1000×125000
8×1250×100000
8×1600×78125
8×2000×62500
8×2500×50000
8×3125×40000
8×4000×31250
8×5000×25000
8×6250×20000
8×8000×15625
8×10000×12500
160×200×31250
160×250×25000
160×400×15625
160×500×12500
160×625×10000
160×1000×6250
160×1250×5000
160×2000×3125
160×2500×2500
50×50×400000
50×64×312500
50×80×250000
50×100×200000
50×125×160000
50×128×156250
50×160×125000
50×200×100000
50×250×80000
50×256×78125
50×320×62500
50×400×50000
50×500×40000
50×625×32000
50×640×31250
50×800×25000
50×1000×20000
50×1250×16000
50×1280×15625
50×1600×12500
50×2000×10000
50×2500×8000
50×3125×6400
50×3200×6250
50×4000×5000
512×625×3125
5×5×40000000
5×8×25000000
5×10×20000000
5×16×12500000
5×20×10000000
5×25×8000000
5×32×6250000
5×40×5000000
5×50×4000000
5×64×3125000
5×80×2500000
5×100×2000000
5×125×1600000
5×128×1562500
5×160×1250000
5×200×1000000
5×250×800000
5×256×781250
5×320×625000
5×400×500000
5×500×400000
5×512×390625
5×625×320000
5×640×312500
5×800×250000
5×1000×200000
5×1250×160000
5×1280×156250
5×1600×125000
5×2000×100000
5×2500×80000
5×2560×78125
5×3125×64000
5×3200×62500
5×4000×50000
5×5000×40000
5×6250×32000
5×6400×31250
5×8000×25000
5×10000×20000
5×12500×16000
5×12800×15625
1000×1000×1000
128×250×31250
128×500×15625
128×625×12500
128×1250×6250
128×2500×3125
40×40×625000
40×50×500000
40×64×390625
40×80×312500
40×100×250000
40×125×200000
40×160×156250
40×200×125000
40×250×100000
40×320×78125
40×400×62500
40×500×50000
40×625×40000
40×800×31250
40×1000×25000
40×1250×20000
40×1600×15625
40×2000×12500
40×2500×10000
40×3125×8000
40×4000×6250
40×5000×5000
500×500×4000
500×625×3200
500×640×3125
500×800×2500
500×1000×2000
500×1250×1600
4×4×62500000
4×5×50000000
4×8×31250000
4×10×25000000
4×16×15625000
4×20×12500000
4×25×10000000
4×32×7812500
4×40×6250000
4×50×5000000
4×64×3906250
4×80×3125000
4×100×2500000
4×125×2000000
4×128×1953125
4×160×1562500
4×200×1250000
4×250×1000000
4×320×781250
4×400×625000
4×500×500000
4×625×400000
4×640×390625
4×800×312500
4×1000×250000
4×1250×200000
4×1600×156250
4×2000×125000
4×2500×100000
4×3125×80000
4×3200×78125
4×4000×62500
4×5000×50000
4×6250×40000
4×8000×31250
4×10000×25000
4×12500×20000
4×15625×16000
800×1000×1250
125×125×64000
125×128×62500
125×160×50000
125×200×40000
125×250×32000
125×256×31250
125×320×25000
125×400×20000
125×500×16000
125×512×15625
125×625×12800
125×640×12500
125×800×10000
125×1000×8000
125×1250×6400
125×1280×6250
125×1600×5000
125×2000×4000
125×2500×3200
125×2560×3125
32×40×781250
32×50×625000
32×80×390625
32×100×312500
32×125×250000
32×200×156250
32×250×125000
32×400×78125
32×500×62500
32×625×50000
32×1000×31250
32×1250×25000
32×2000×15625
32×2500×12500
32×3125×10000
32×5000×6250
400×400×6250
400×500×5000
400×625×4000
400×800×3125
400×1000×2500
400×1250×2000
16×16×3906250
16×20×3125000
16×25×2500000
16×32×1953125
16×40×1562500
16×50×1250000
16×80×781250
16×100×625000
16×125×500000
16×160×390625
16×200×312500
16×250×250000
16×400×156250
16×500×125000
16×625×100000
16×800×78125
16×1000×62500
16×1250×50000
16×2000×31250
16×2500×25000
16×3125×20000
16×4000×15625
16×5000×12500
16×6250×10000
250×250×16000
250×256×15625
250×320×12500
250×400×10000
250×500×8000
250×625×6400
250×640×6250
250×800×5000
250×1000×4000
250×1250×3200
250×1280×3125
250×1600×2500
250×2000×2000
2×2×250000000
2×4×125000000
2×5×100000000
2×8×62500000
2×10×50000000
2×16×31250000
2×20×25000000
2×25×20000000
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2×40×12500000
2×50×10000000
2×64×7812500
2×80×6250000
2×100×5000000
2×125×4000000
2×128×3906250
2×160×3125000
2×200×2500000
2×250×2000000
2×256×1953125
2×320×1562500
2×400×1250000
2×500×1000000
2×625×800000
2×640×781250
2×800×625000
2×1000×500000
2×1250×400000
2×1280×390625
2×1600×312500
2×2000×250000
2×2500×200000
2×3125×160000
2×3200×156250
2×4000×125000
2×5000×100000
2×6250×80000
2×6400×78125
2×8000×62500
2×10000×50000
2×12500×40000
2×15625×32000
2×16000×31250
2×20000×25000
640×1250×1250
100×100×100000
100×125×80000
100×128×78125
100×160×62500
100×200×50000
100×250×40000
100×320×31250
100×400×25000
100×500×20000
100×625×16000
100×640×15625
100×800×12500
100×1000×10000
100×1250×8000
100×1600×6250
100×2000×5000
100×2500×4000
100×3125×3200
25×25×1600000
25×32×1250000
25×40×1000000
25×50×800000
25×64×625000
25×80×500000
25×100×400000
25×125×320000
25×128×312500
25×160×250000
25×200×200000
25×250×160000
25×256×156250
25×320×125000
25×400×100000
25×500×80000
25×512×78125
25×625×64000
25×640×62500
25×800×50000
25×1000×40000
25×1250×32000
25×1280×31250
25×1600×25000
25×2000×20000
25×2500×16000
25×2560×15625
25×3125×12800
25×3200×12500
25×4000×10000
25×5000×8000
25×6250×6400
320×500×6250
320×625×5000
320×1000×3125
320×1250×2500
10×10×10000000
10×16×6250000
10×20×5000000
10×25×4000000
10×32×3125000
10×40×2500000
10×50×2000000
10×64×1562500
10×80×1250000
10×100×1000000
10×125×800000
10×128×781250
10×160×625000
10×200×500000
10×250×400000
10×256×390625
10×320×312500
10×400×250000
10×500×200000
10×625×160000
10×640×156250
10×800×125000
10×1000×100000
10×1250×80000
10×1280×78125
10×1600×62500
10×2000×50000
10×2500×40000
10×3125×32000
10×3200×31250
10×4000×25000
10×5000×20000
10×6250×16000
10×6400×15625
10×8000×12500
10×10000×10000
200×200×25000
200×250×20000
200×320×15625
200×400×12500
200×500×10000
200×625×8000
200×800×6250
200×1000×5000
200×1250×4000
200×1600×3125
200×2000×2500
64×100×156250
64×125×125000
64×200×78125
64×250×62500
64×500×31250
64×625×25000
64×1000×15625
64×1250×12500
64×2500×6250
64×3125×5000
2 | / | 1 | 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15625 | 78125 | 390625 | 1953125 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 1 | 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15625 | 78125 | 390625 | 1953125 |
1 | 2 | 2 | 10 | 50 | 250 | 1250 | 6250 | 31250 | 156250 | 781250 | 3906250 |
2 | 4 | 4 | 20 | 100 | 500 | 2500 | 12500 | 62500 | 312500 | 1562500 | 7812500 |
3 | 8 | 8 | 40 | 200 | 1000 | 5000 | 25000 | 125000 | 625000 | 3125000 | 15625000 |
4 | 16 | 16 | 80 | 400 | 2000 | 10000 | 50000 | 250000 | 1250000 | 6250000 | 31250000 |
5 | 32 | 32 | 160 | 800 | 4000 | 20000 | 100000 | 500000 | 2500000 | 12500000 | 62500000 |
6 | 64 | 64 | 320 | 1600 | 8000 | 40000 | 200000 | 1000000 | 5000000 | 25000000 | 125000000 |
7 | 128 | 128 | 640 | 3200 | 16000 | 80000 | 400000 | 2000000 | 10000000 | 50000000 | 250000000 |
8 | 256 | 256 | 1280 | 6400 | 32000 | 160000 | 800000 | 4000000 | 20000000 | 100000000 | 500000000 |
9 | 512 | 512 | 2560 | 12800 | 64000 | 320000 | 1600000 | 8000000 | 40000000 | 200000000 | 1000000000 |
このような2^nと5^nの掛け合わせた表を配ります。
次に、3つの数をかけるわけですが、
A×B×C=1000000000
ただし、
A≧B≧C
とする
という条件を付けます。
まず、Aを求めます。
Aの最小値は、A=B=Cが成り立つときです。(ここがちょっと難しい)
したがって、Aの最小値は10億の3乗根なので1000です。(ここは微妙)
表から、1000以上の所を探すと、以下のようになります。
2の数 | 5の数 | A | 残りの2 | 残りの5 | 最小値 | 最大値 | Bの個数 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
9 | 9 | 1000000000 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
9 | 8 | 200000000 | 0 | 1 | 3 | 5 | 1 |
9 | 7 | 40000000 | 0 | 2 | 5 | 25 | 2 |
9 | 6 | 8000000 | 0 | 3 | 12 | 125 | 2 |
9 | 5 | 1600000 | 0 | 4 | 25 | 625 | 3 |
9 | 4 | 320000 | 0 | 5 | 56 | 3125 | 3 |
9 | 3 | 64000 | 0 | 6 | 125 | 15625 | 4 |
9 | 2 | 12800 | 0 | 7 | 280 | 12800 | 2 |
9 | 1 | 2560 | 0 | 8 | 625 | 2560 | 1 |
8 | 9 | 500000000 | 1 | 0 | 2 | 2 | 1 |
8 | 8 | 100000000 | 1 | 1 | 4 | 10 | 2 |
8 | 7 | 20000000 | 1 | 2 | 8 | 50 | 3 |
8 | 6 | 4000000 | 1 | 3 | 16 | 250 | 4 |
8 | 5 | 800000 | 1 | 4 | 36 | 1250 | 5 |
8 | 4 | 160000 | 1 | 5 | 80 | 6250 | 6 |
8 | 3 | 32000 | 1 | 6 | 177 | 31250 | 7 |
8 | 2 | 6400 | 1 | 7 | 396 | 6400 | 4 |
8 | 1 | 1280 | 1 | 8 | 884 | 1280 | 1 |
7 | 9 | 250000000 | 2 | 0 | 2 | 4 | 2 |
7 | 8 | 50000000 | 2 | 1 | 5 | 20 | 3 |
7 | 7 | 10000000 | 2 | 2 | 10 | 100 | 5 |
7 | 6 | 2000000 | 2 | 3 | 23 | 500 | 6 |
7 | 5 | 400000 | 2 | 4 | 50 | 2500 | 8 |
7 | 4 | 80000 | 2 | 5 | 112 | 12500 | 9 |
7 | 3 | 16000 | 2 | 6 | 250 | 16000 | 9 |
7 | 2 | 3200 | 2 | 7 | 560 | 3200 | 4 |
6 | 9 | 125000000 | 3 | 0 | 3 | 8 | 2 |
6 | 8 | 25000000 | 3 | 1 | 7 | 40 | 4 |
6 | 7 | 5000000 | 3 | 2 | 15 | 200 | 6 |
6 | 6 | 1000000 | 3 | 3 | 32 | 1000 | 8 |
6 | 5 | 200000 | 3 | 4 | 71 | 5000 | 10 |
6 | 4 | 40000 | 3 | 5 | 159 | 25000 | 12 |
6 | 3 | 8000 | 3 | 6 | 354 | 8000 | 8 |
6 | 2 | 1600 | 3 | 7 | 791 | 1600 | 2 |
5 | 9 | 62500000 | 4 | 0 | 4 | 16 | 3 |
5 | 8 | 12500000 | 4 | 1 | 9 | 80 | 5 |
5 | 7 | 2500000 | 4 | 2 | 20 | 400 | 8 |
5 | 6 | 500000 | 4 | 3 | 45 | 2000 | 10 |
5 | 5 | 100000 | 4 | 4 | 100 | 10000 | 13 |
5 | 4 | 20000 | 4 | 5 | 224 | 20000 | 13 |
5 | 3 | 4000 | 4 | 6 | 500 | 4000 | 7 |
4 | 9 | 31250000 | 5 | 0 | 6 | 32 | 3 |
4 | 8 | 6250000 | 5 | 1 | 13 | 160 | 6 |
4 | 7 | 1250000 | 5 | 2 | 29 | 800 | 9 |
4 | 6 | 250000 | 5 | 3 | 64 | 4000 | 12 |
4 | 5 | 50000 | 5 | 4 | 142 | 20000 | 15 |
4 | 4 | 10000 | 5 | 5 | 317 | 10000 | 13 |
4 | 3 | 2000 | 5 | 6 | 708 | 2000 | 4 |
3 | 9 | 15625000 | 6 | 0 | 8 | 64 | 4 |
3 | 8 | 3125000 | 6 | 1 | 18 | 320 | 7 |
3 | 7 | 625000 | 6 | 2 | 40 | 1600 | 11 |
3 | 6 | 125000 | 6 | 3 | 90 | 8000 | 14 |
3 | 5 | 25000 | 6 | 4 | 200 | 25000 | 17 |
3 | 4 | 5000 | 6 | 5 | 448 | 5000 | 11 |
3 | 3 | 1000 | 6 | 6 | 1000 | 1000 | 1 |
2 | 9 | 7812500 | 7 | 0 | 12 | 128 | 4 |
2 | 8 | 1562500 | 7 | 1 | 26 | 640 | 8 |
2 | 7 | 312500 | 7 | 2 | 57 | 3200 | 12 |
2 | 6 | 62500 | 7 | 3 | 127 | 16000 | 16 |
2 | 5 | 12500 | 7 | 4 | 283 | 12500 | 16 |
2 | 4 | 2500 | 7 | 5 | 633 | 2500 | 7 |
1 | 9 | 3906250 | 8 | 0 | 16 | 256 | 5 |
1 | 8 | 781250 | 8 | 1 | 36 | 1280 | 9 |
1 | 7 | 156250 | 8 | 2 | 80 | 6400 | 14 |
1 | 6 | 31250 | 8 | 3 | 179 | 31250 | 17 |
1 | 5 | 6250 | 8 | 4 | 400 | 6250 | 14 |
1 | 4 | 1250 | 8 | 5 | 895 | 1250 | 2 |
0 | 9 | 1953125 | 9 | 0 | 23 | 512 | 5 |
0 | 8 | 390625 | 9 | 1 | 51 | 2560 | 10 |
0 | 7 | 78125 | 9 | 2 | 114 | 12800 | 15 |
0 | 6 | 15625 | 9 | 3 | 253 | 15625 | 17 |
0 | 5 | 3125 | 9 | 4 | 566 | 3125 | 10 |
表から、Aは72通りとなります。
次にBを求めます。
それぞれのAに対して、表の(0, 0)から(残りの2, 残りの5)の範囲がBの候補です。
Bの最小値は、表の(残りの2, 残りの5)の値の平方根です。
なぜなら、B≧Cだからです。(ここも微妙)
Bの最大値は、表の(残りの2, 残りの5)の値そのものです。
ただし、A≧Bという条件がありますので、表の(残りの2, 残りの5)の値がAよりも大きければ、Aが最大値となります。
Bの候補である、表の(0, 0)から(残りの2, 残りの5)の範囲のなかから、最大値、最小値の条件に当てはまる数がBです。
AとBが決まれば、Cは自ずと決まります。(ここもやや微妙か?)
したがって、それぞれのAの時のBの個数を求めると、全ての組み合わせが求められます。
ということで、Bの個数を合計して517通りです。
やや難解なところもありますが、算数レベルでほとんど考えられます。
また、表を作って活用するというのは、数学的発想力が必要な部分です。
10億を因数分解すると、2^9×5^9となります。ここで、簡略化のために10億を(9,9)、つまり「2を9回、5を9回掛けた数」というように表記することとします。もちろん(0,0)=1です
3数を(x,X)(y,Y)(z,Z)とすれば、x+y+z=9,X+Y+Z=9
このとき、x,y,zの決め方は11C2=55。よって、3数の決め方は55×55=3025
ここから重複を除いていきます
[ア]3数が同じ場合
(3,3)(3,3)(3,3)の1通り
このとき、重複はありませんので無視
[イ]2数が同じ場合
(x,X)(x,X)(y,Y)とおくと、2x+y=9、2X+Y=9より、0<=x,X<=4です
x,Xが決まればy,Yは一意的に決まりますから、[ア]以外を考えて5×5-1=24通り
このとき、3025の中には(x,X)(x,X)(y,Y)、(x,X)(y,Y)(x,X)、(y,Y)(x,X)(x,X)というように3度数えてしまっていることを考えると、3025の中に2数が同じ場合は72通りあります
[ウ]全て異なる場合
3025-1-72=2952通り
このとき、この2952通りの中には6回重複して数えてしまっていることを考えて、2952÷6=492通り
以上より、1+24+492=517通り(答)
簡潔さを優先するあまり、少し丁寧さに欠けるかもしれません
分からないようでしたら、コメントして頂ければ
あまり自信がありませんが、答えてみます。
まず、10億を素因数分解すると、
109 = 29 × 59
となるので、自然数 x, y, z, u, s, t, u を用いた式
(2x × 5s) × (2y × 5t) × (2z × 5u)
ただし、
0 ≦ x ≦ 9, 0 ≦ y ≦ 9, 0 ≦ z ≦ 9
0 ≦ s ≦ 9, 0 ≦ t ≦ 9, 0 ≦ u ≦ 9
x + y + z = 9, s + t + u = 9
を満たすものを求めれば良い。
このとき、順番が違う積は1通りとして扱うという前提条件から、「x ≦ y ≦ z」として 「x + y + z = 9」を満たす組み合わせを求めると、
(0, 0, 9), (0, 1, 8), (0, 2, 7), (0, 3, 6), (0, 4, 5), (1, 1, 7), (1, 2, 6), (1, 3, 5), (1, 4, 4), (2, 2, 5), (2, 3, 4), (3, 3, 3)
の12通り。組み合わせの内訳は、
3つの数字が同じ … 1通り
2つの数字が同じ … 4通り
3つの数字がバラバラ … 7通り
となる。
それに対応する(s, t, u)の値は、重複順列の考え方を用いて計算すればよいので、
3つの数字が同じ … 1 通り
2つの数字が同じ … 4 × 3! ÷ 2! = 12 通り
3つの数字がバラバラ … 7 × 3! = 42 通り
となる。よって、
(1 + 4 + 7) × (1 + 12 + 42) = 660 通り
回答者 | 回答 | 受取 | ベストアンサー | 回答時間 | |
---|---|---|---|---|---|
1 | sami624 | 5245回 | 4679回 | 43回 | 2009-09-17 22:50:06 |
よいと思います。非常にわかりやすいです。
実は机上計算ではありませんが、パソコンで導いたところ、私も517通りになっていました。具体的には以下です。
1×1×1000000000
1×2×500000000
1×4×250000000
1×5×200000000
1×8×125000000
1×10×100000000
1×16×62500000
1×20×50000000
1×25×40000000
1×32×31250000
1×40×25000000
1×50×20000000
1×64×15625000
1×80×12500000
1×100×10000000
1×125×8000000
1×128×7812500
1×160×6250000
1×200×5000000
1×250×4000000
1×256×3906250
1×320×3125000
1×400×2500000
1×500×2000000
1×512×1953125
1×625×1600000
1×640×1562500
1×800×1250000
1×1000×1000000
1×1250×800000
1×1280×781250
1×1600×625000
1×2000×500000
1×2500×400000
1×2560×390625
1×3125×320000
1×3200×312500
1×4000×250000
1×5000×200000
1×6250×160000
1×6400×156250
1×8000×125000
1×10000×100000
1×12500×80000
1×12800×78125
1×15625×64000
1×16000×62500
1×20000×50000
1×25000×40000
1×31250×32000
625×625×2560
625×640×2500
625×800×2000
625×1000×1600
625×1250×1280
80×80×156250
80×100×125000
80×125×100000
80×160×78125
80×200×62500
80×250×50000
80×400×31250
80×500×25000
80×625×20000
80×800×15625
80×1000×12500
80×1250×10000
80×2000×6250
80×2500×5000
80×3125×4000
20×20×2500000
20×25×2000000
20×32×1562500
20×40×1250000
20×50×1000000
20×64×781250
20×80×625000
20×100×500000
20×125×400000
20×128×390625
20×160×312500
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