高校数学のレベルですが、自力で解法がわからないため、お力頂ければ幸いです。


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x≧0,0≦y≦(x^2)/4 を満たす時、
|x-1|+|y-2|の最小値とその時のx及びyの値はいくらか。
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簡単かもしれませんが、特に机上による算出過程を知りたいので、どうぞよろしくお願い致します。

※回答は9月27日(日)午前7時以降に開き始めますので、ゆっくり考えて頂いて大丈夫です。

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2009/09/25 22:28:24
  • 終了:2009/10/02 13:40:41

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4404ベストアンサー獲得回数4052009/09/26 07:03:27

ポイント60pt

 z=|x-1|+|y-2|とおくと、絶対値を含んでいるので、これをはずすために、次のように場合分けします。

①x-1≧0 すなわち、x≧1 かつ、y-2≧0 すなわち、y≧2

②x≧1 かつ、y<2

③x<1 かつ、y≧2

④x<1 かつ、y<2

 また、次の領域を領域⑤と呼ぶことにします。

x≧0,0≦y≦(x^2)/4・・・⑤

①のとき、領域⑤を考慮すれば、

2√2≦x,2≦y≦(x^2)/4

このとき、

z=x-1+y-2=x+y-3

∴y=-x+(z-3)

よって、y切片(z-3)が最小のとき、zも最小になる。

したがって、

x=2√2, y=2のとき、zは最小になり、このとき、zの最小値は次式の通り。

z=2√2+2-3=2√2-1≒1.82842712474619

②のとき、領域⑤を考慮すれば、

1≦x<2√2 かつ、 0≦y≦(x^2)/4

または、

x≦2√2 かつ、 0≦y<2

このとき、

z=x-1+2-y=x-y+1

∴y=x+(1-z)

よって、y切片(1-z)が最大のときzは最小になる。

したがって、

x=1, y=1/4のとき、zは最小になり、このとき、zの最小値は次式の通り。

z=1-1/4+1=7/4=1.75

③のとき、前提である領域⑤を満たさないので、考えなくてよい。

④のとき、領域⑤を考慮すれば、

0≦x<1 かつ、0≦y≦(x^2)/4

このとき、

z=1-x+2-y=-x-y+3

∴y=-x+(3-z)=-x+k

よって、y切片(3-z)が最大のときzは最小。

したがって、x→1,y→1/4のときzは最小になるが、②とダブる。

 以上より、求める|x-1|+|y-2|の最小値とその時のx及びyの値は、

x=1, y=1/4のとき、|x-1|+|y-2|の最小値は、1.75

id:miku1973

ありがとう。正しいと思うんですが。

 

>②のとき、領域⑤を考慮すれば、

>1≦x<2√2 かつ、 0≦y≦(x^2)/4

>または、

>x≦2√2 かつ、 0≦y<2

 

これが混乱してよくわからないので補足いただけると嬉しいです。

2009/09/27 09:29:46

その他の回答(1件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4404ベストアンサー獲得回数4052009/09/26 07:03:27ここでベストアンサー

ポイント60pt

 z=|x-1|+|y-2|とおくと、絶対値を含んでいるので、これをはずすために、次のように場合分けします。

①x-1≧0 すなわち、x≧1 かつ、y-2≧0 すなわち、y≧2

②x≧1 かつ、y<2

③x<1 かつ、y≧2

④x<1 かつ、y<2

 また、次の領域を領域⑤と呼ぶことにします。

x≧0,0≦y≦(x^2)/4・・・⑤

①のとき、領域⑤を考慮すれば、

2√2≦x,2≦y≦(x^2)/4

このとき、

z=x-1+y-2=x+y-3

∴y=-x+(z-3)

よって、y切片(z-3)が最小のとき、zも最小になる。

したがって、

x=2√2, y=2のとき、zは最小になり、このとき、zの最小値は次式の通り。

z=2√2+2-3=2√2-1≒1.82842712474619

②のとき、領域⑤を考慮すれば、

1≦x<2√2 かつ、 0≦y≦(x^2)/4

または、

x≦2√2 かつ、 0≦y<2

このとき、

z=x-1+2-y=x-y+1

∴y=x+(1-z)

よって、y切片(1-z)が最大のときzは最小になる。

したがって、

x=1, y=1/4のとき、zは最小になり、このとき、zの最小値は次式の通り。

z=1-1/4+1=7/4=1.75

③のとき、前提である領域⑤を満たさないので、考えなくてよい。

④のとき、領域⑤を考慮すれば、

0≦x<1 かつ、0≦y≦(x^2)/4

このとき、

z=1-x+2-y=-x-y+3

∴y=-x+(3-z)=-x+k

よって、y切片(3-z)が最大のときzは最小。

したがって、x→1,y→1/4のときzは最小になるが、②とダブる。

 以上より、求める|x-1|+|y-2|の最小値とその時のx及びyの値は、

x=1, y=1/4のとき、|x-1|+|y-2|の最小値は、1.75

id:miku1973

ありがとう。正しいと思うんですが。

 

>②のとき、領域⑤を考慮すれば、

>1≦x<2√2 かつ、 0≦y≦(x^2)/4

>または、

>x≦2√2 かつ、 0≦y<2

 

これが混乱してよくわからないので補足いただけると嬉しいです。

2009/09/27 09:29:46
id:Moonbal_Sunbal No.2

Moonbal_Sunbal回答回数21ベストアンサー獲得回数02009/09/25 22:53:52

ポイント10pt

yはの単純増加関数になってます。そこで最少のX=0の時、y=0,|x-1|+|y-2|の最小値はー3になるでしょう。

  • id:Moonbal_Sunbal
    Moonbal_Sunbal 2009/09/25 22:58:25
    記述の抜け落ちがありました。(打ち込み確認後、送信してつもりですが)
    「yはxの単純増加関数になってます。」のxが抜けていました。
  • id:rsc96074
     すみません、書き間違いです。計算には、影響しませんが、①のとき、y切片は、(z+3)です。
  • id:rsc96074
     参考図です。
    http://f.hatena.ne.jp/rsc96074/20090926080119

  • id:rsc96074
     参考図2の黄色と柿色を合わせた領域のことです。
    黄色が{1≦x<2√2 かつ、 0≦y≦(x^2)/4}の領域です。
    柿色が{x≦2√2 かつ、 0≦y<2}の領域です。
     すみません、表現しにくかったので分かりにくくなってしまいました。参考図2をつけておきました。
    http://f.hatena.ne.jp/rsc96074/20090926080119

  • id:rsc96074
    はじめのと同じのが出ているのに気づいたので、もう一度アップロードし直しました。今度は大丈夫だと思います。

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