Moodleというオープンソースのeラーニングシステムがありますが、研修で使えないかと考えています。

日本語化したMoodleにプラグインや他の機能(Moodle Modules and Plug-ins: http://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&advanced=0&paging=&page...)を組み込んだり、コンテンツのページから別スクリプトを呼び出すことによっては可能ですが、デフォルトの設定で使えるかどうかは下記の通りです。

1.テスト問題のランダム出題や全問出題　

全問出題はデフォルトで可能。（昔はAssignmentやExerciseのプラグインが必要でしたが、最近のバージョンには標準で組み込まれています。）

こういう形での選択式ランダム出題なら、最近のバージョンでは標準搭載されています。→http://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=104

拡張版プラグインや別途CGIなどを使ったスクリプトのページにリンクすることによる選択式以外でのランダム出題も可能。

2.正解率が解るか

AssignmentやExerciseで実施したテストや課題を、採点やグレード（成績）統合機能を使って解析することは可能。

また、こういうツールを使っても可能：Moodle Grader：http://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=350

3.学習の進捗度

出席率や回答率などはデフォルトでも分かる。

また、生徒の学習の進歩を追って見るこういう追加ツールもあります：　Progress：　http://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=1659

また、Activity Module: JClicなどで生徒の働き具合を見ることも可能：http://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=1128

成績に関しては、何回かassignmentや追試をした場合はそれらを"All My Grades (Gradebook Mod)"プラグインを使って統合し、その差異などで進歩として知ることも可能："All My Grades (Gradebook Mod)"：

http://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=911

4.テストからの苦手科目の分析

先の回答にもあるグレード（成績）統合機能の"All My Grades (Gradebook Mod)"プラグインを使って、全科目のグレードを統合して、成績の低い苦手科目を分析することは可能。

また、各科目毎にクラスで何位かを生徒自身も知れる便利な追加ツールもあります→My Moodle Grades：　http://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=994

5.テストの回答制限時間

別途、時間別アクセス制限スクリプトを使ったり、同時アクセス用のデスクトップ・ツール（Activity Module: OpenDesktop：　http://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2769）でリアルタイムに接続されている時間内に回答させることは可能だが、接続スピードの違い等の環境的な違いがある場合があり、その場合は正確に時間（秒単位）を制限することは難しい。ただし、全生徒が同一の時間帯（日本等）である場合は、締め切り日やおおまかな時間（数分〜時間単位）の設定は可能。

カレンダー機能のリマインダー用の機能やプラグインを使って、ある時点で回答を自粛するリマインダーを生徒に出すことにより自粛的に回答時間を制限することは可能。

（そして、その時間以降に出された回答は無効とする。例えば、コースの課題提出〆切一覧などをこういうプラグイン（http://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=1208）でコースに設置する、そして、その〆切時間を超えて提出された課題はフィルターして無効とするなど。）

また、時間別に個別のオンライン・インタビュー（提出された課題に対する個別質問なども可）を行うプラグインもあります：http://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=1807

※順次バージョンアップされていくと思うので、他にも標準で未搭載の希望の機能があれば、Moodleのフォーラムで製作を催促できるかもしれません。：　http://moodle.org/