金の球がn個、銀の球が3個、黒の球が1個入った袋があります。

今、ランダムに1個だけ袋から球を取り出し、球の色を確認します。
取り出した球は袋には戻しません。
この作業を以下の条件で繰り返します。

・球が袋から無くなったらもちろん終了
・袋から黒の球を取り出してしまったらそこで終了


作業を終了したとき、取り出し済みの銀の球の個数をm個とします。

このとき、銀の球がm個取り出されている確率は、
m、nを用いてどのように表されるでしょうか?



※nは自然数
※mは0、1、2、3



---
高校くらいの数学(確率)の問題になるかと思うのですが、いろいろ考えるも法則性がいまいち
整理できず一般化できずにいます。考え方、答えをアドバイス頂ければ幸いです。

10月31日(土)19時以降に回答を開き始めますので、ゆっくり考えて頂いて大丈夫です!
どうぞよろしくお願い致します!

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2009/10/30 09:29:58
  • 終了:2009/11/06 09:30:02

回答(5件)

id:kuroyuli No.1

ももんがらす回答回数250ベストアンサー獲得回数552009/10/30 10:15:49

ポイント23pt

この場合、金の球は全く関係ないことに気づけばすぐ解けますね。作業終了に関係あるのは黒の球のみで、金の球は関係ない余分な要素(例えば砂と同じ)と考えると分かりやすいかと思います。

金の球は関係ないから、0個と考えて、

m=0:銀と黒の合計4個から、黒を引く確率25%。

m=1:上記に該当しない残り75%のうち、銀と黒の3個から次に黒を引く確率は、75%×(1/3)=25%。

m=2、m=3:同様に確率は25%。

つまり正解は、「mがそれぞれの個数になる確率は全て25%」

id:SALINGER No.2

SALINGER回答回数3454ベストアンサー獲得回数9692009/10/30 12:33:32

ポイント23pt

この場合金の球の数というのはまったく関係しないことになります。

なぜなら、金の球が減っても銀の球と黒の球だけに着目するとどちらかを選ぶ確率は変わらないからです。


それでn=0のときを考えてmの場合でそれぞれの確率を出します。

m=0のとき 1/4

m=1のとき 3/4×1/3=1/4

m=2のとき 3/4×2/3×1/2=1/4

m=3のとき 3/4×2/3×1/2×1/1=1/4


すなわち全ての場合、nとmに関わらず1/4になります。

id:kuro-yo No.3

くろょ回答回数169ベストアンサー獲得回数292009/10/30 23:31:28

ポイント22pt

これは、

銀の玉と黒の玉だけの袋から、玉を全部とりだした時、黒の玉が(m+1)番目に取り出される確率

と同じだと思います。なぜならば、

  • 袋の中の玉は、全部とりだしてもとりださなくても、銀の玉と黒の玉の取り出される順序のみに依存する
  • 金の玉がいくつあろうと、金の玉の間に銀の玉と黒の玉を配置しただけなので、確率に変化はない

からです。

…書いていて我ながら嘘くさく感じましたので、数学的帰納法で考えますと、金の玉をn個から(n+1)個に増やした時、場合の数は、玉を取り出す前も玉を取り出した後も、同じく(n+1)倍になりますから、結局は確率に変化はありません。

銀の玉が3個で黒の玉が1個なので、並べ方は4通りしかありませんから、確率はn,mによらず、1/4です。

この問題の場合は、これで合っているはずです。

なお、条件に「球が袋から無くなったらもちろん終了」は不要ですね:玉が最後まで取り出されるのは、最後の玉が黒の時だけですから。

id:drill256 No.4

かえる回答回数175ベストアンサー獲得回数72009/10/30 14:47:52

ポイント22pt

銀の球0個、1個、2個、3個の確率は、それぞれ25%です。

まず、黒の球を引いたときに、それまでに取り出した黒の球以外の個数をkとします。

kは0~n+3までのn+4通りの値を取り、それぞれの確率は1/n+4です。

任意のkの時、銀の玉がm個の確率は、

総数n+3の中からk個取り出したとき、銀がm個、金がk-m個の時の確率が、

( nCk-m・3Cm ) / n+3Ck

ですので、

( nCk-m・3Cm ) / ( n+3Ck × (n+4) )

となります。

なお、k=0のとき、m=1になる確率は0です。

また、k=n+2, k=n+3の時、m=1になる確率も0です。

したがって、

n+m

Σ( nCk-m・3Cm ) / ( n+3Ck × (n+4) )

k=m

を求めると、答えが出ます。

id:miku1973

ありがとう。

すごいいいです。

 

n+m

Σ( nCk-m・3Cm ) / ( n+3Ck × (n+4) )

k=m

これですが、計算に大苦戦です!

どなたか助言お願いします!

2009/11/01 16:01:40
id:ds-i1 No.5

りょうたDSi回答回数68ベストアンサー獲得回数02009/10/31 17:52:41

ポイント10pt

結果は、金の球がいくつになっでも銀の球が0個 1個 2個 3個 でる確率は、どれも4分の1です。

  • id:kuro-yo
    すみません、訂正です:
    ×「場合の数は、玉を取り出す前も玉を取り出した後も、同じく(n+1)倍になります」

    ○「場合の数は、玉を取り出す前も玉を取り出した後も、同じく(n+5)倍になります」

    全部で(n+4)個の玉があるところに、どこかの玉の間((n+5)箇所ある)に1個付け加えるわけですので。
  • id:miku1973
    皆さんありがとう。すごいっす。
     
    「金の玉を無視して考えても同じ」という理屈なんですが、
    もう少しわかりやすく教えてもらえないでしょうか?
     
    いまいち理解に苦しんでおります。
  • id:kuro-yo
    金の玉が無視できないと思われるのは何故ですか:
    例えば、n=0の時とn=1の時では、確率が違ってくるような気がされるのですよね?

    恐らく、「途中で取り出すのをやめる」時と「全部取り出す」時とで確率が異なると考えていらっしゃるから、ではないかと思うのですが・・・

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