微分の勉強をしている者です。例えば、「(2+θ)^-2」を微分すると、「-2(2+θ)^-3」になるように、


({g(x)}^n)'=n{g(x)}^(n-1) g'(x)

という公式がどうして成り立つのか、教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いします<m(__)m>

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2009/11/12 02:01:17
  • 終了:2009/11/15 12:49:32

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4400ベストアンサー獲得回数4042009/11/12 06:27:17

ポイント40pt

 一般的には、2つの関数y=f(u),u=g(x)の合成関数y=f(g(x))の導関数を考えるとき、

xの増分Δxに対するuの増分をΔu、yの増分をΔyとすると、

Δy=f(u+Δu)-f(u),Δu=g(x+Δx)-g(x)とおくと、

Δx→0のときΔu→0、Δy→0

dy/dx=lim[Δx→0](Δy/Δx)

=lim[Δx→0](Δy/Δu)(Δu/Δx)

=(lim[Δu→0]Δy/Δu)(lim[Δx→0]Δu/Δx)

=(dy/du)・(du/dx)

=f'(u)・u'

=f'(g(x))・g'(x)・・・①

 いま、u=g(x)で、f(u)=u^nになっていて、

f'(u)=nu^(n-1)だから、①から、

({g(x)}^n)'=nu^(n-1)・u'=n{g(x)}^(n-1) g'(x)

※参考URL

●合成関数の微分法

http://www.cfv21.com/math/compoderiv.htm

●合成関数、逆関数の導関数

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A...

id:moon-fondu

詳しい証明まで教えていただきありがとうございます!!

=lim[Δx→0](Δy/Δu)(Δu/Δx)

とかすごいですよね、無理やり別の項を加えるなんて・・・

ちょっと自分なりに咀嚼させていただきました。

u=g(x)、f(u)=u^nのとき、

f(g(x))=g(x)^n・・・②

なので、これを関数g(x)で微分すると、

f'(g(x)) = ng(x)^n-1・・・③

①=

dy/dx=f'(g(x))・g'(x)

{f(g(x))}'=f'(g(x))・g'(x)

①、②、③より、

({g(x)}^n)'=n{g(x)}^(n-1) g'(x)

が、確かに成り立ちますね・・・いやはや、合成関数ってややこしいですね(汗)

2009/11/13 02:33:22

その他の回答(2件)

id:kamikun No.1

kamikun回答回数27ベストアンサー獲得回数72009/11/12 02:55:08

ポイント20pt

http://www.cfv21.com/math/compoderiv.htm


上記証明中のh'は「hと似てるけど違うもの」という意味で、微分ではありません。

h→0のときh'→0ですね。


で、f(u)=u^n、u=g(x)だと質問文中の形になります。

id:moon-fondu

前回の質問から引き続き回答いただきありがとうごぞざいます(>_<)

リンク先ありがとうございます!

確かに「分数の約分のように考える」方がわかりやすかったです(^_^;)

2009/11/13 03:27:37
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4400ベストアンサー獲得回数4042009/11/12 06:27:17ここでベストアンサー

ポイント40pt

 一般的には、2つの関数y=f(u),u=g(x)の合成関数y=f(g(x))の導関数を考えるとき、

xの増分Δxに対するuの増分をΔu、yの増分をΔyとすると、

Δy=f(u+Δu)-f(u),Δu=g(x+Δx)-g(x)とおくと、

Δx→0のときΔu→0、Δy→0

dy/dx=lim[Δx→0](Δy/Δx)

=lim[Δx→0](Δy/Δu)(Δu/Δx)

=(lim[Δu→0]Δy/Δu)(lim[Δx→0]Δu/Δx)

=(dy/du)・(du/dx)

=f'(u)・u'

=f'(g(x))・g'(x)・・・①

 いま、u=g(x)で、f(u)=u^nになっていて、

f'(u)=nu^(n-1)だから、①から、

({g(x)}^n)'=nu^(n-1)・u'=n{g(x)}^(n-1) g'(x)

※参考URL

●合成関数の微分法

http://www.cfv21.com/math/compoderiv.htm

●合成関数、逆関数の導関数

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A...

id:moon-fondu

詳しい証明まで教えていただきありがとうございます!!

=lim[Δx→0](Δy/Δu)(Δu/Δx)

とかすごいですよね、無理やり別の項を加えるなんて・・・

ちょっと自分なりに咀嚼させていただきました。

u=g(x)、f(u)=u^nのとき、

f(g(x))=g(x)^n・・・②

なので、これを関数g(x)で微分すると、

f'(g(x)) = ng(x)^n-1・・・③

①=

dy/dx=f'(g(x))・g'(x)

{f(g(x))}'=f'(g(x))・g'(x)

①、②、③より、

({g(x)}^n)'=n{g(x)}^(n-1) g'(x)

が、確かに成り立ちますね・・・いやはや、合成関数ってややこしいですね(汗)

2009/11/13 02:33:22
id:achipu No.3

achipu回答回数382ベストアンサー獲得回数32009/11/12 06:39:17

ポイント30pt

({g(x)}^n)'中のxで微分記号の部分をdg(x)^n/dxのように記述すると

dg(x)^n/dx = {dg(x)^n/dg(x)}{dg(x)/dx} = ng(x)^(n-1) dg(x)/dx

ということではないでしょうか

いわゆる合成関数の微分というやつです

参考までに

合成関数の微分

id:moon-fondu

リンク先の公式見やすくてわかりやすいです、ありがとうございます!

y={g(x)}^n、z=g(x)

として、公式に当てはめればよかったんですね~

dy/dzは、{g(x)}^nをg(x)で微分したものなので、ng(x)^n-1。

dz/dxは、g(x)をxで微分したものなので、g'(x)

つまり、

{g(x)^n}'=ng(x)^n-1・g'(x)

というわけですね!

ただ、1つ疑問が湧きまして。

質問とはあまり関係ないことですので、無視してくださっても結構なのですが、dy/dxを、差分↓

http://ufcpp.net/study/analysis/infinitesimal.html

から求めようと思い、計算を試みたのです。

dy/dz

=lim[Δg(x)→0]{g(x)+Δg(x)}^n - {g(x)}^n / Δg(x)

ここで、ふと思ったのです。

例えば、n=2のときは、

=lim[Δg(x)→0]{g(x)}^2 + 2g(x)Δg(x) + {Δg(x)}^2 - {g(x)}^2 / Δg(x)

=lim[Δg(x)→0]2g(x)Δg(x) + {Δg(x)}^2 / Δg(x)

=lim[Δg(x)→0]2g(x) + Δg(x) / Δg(x)

=2g(x)

となり、{g(x)}^n = ng(x)^n-1 が成り立つと思うのですが、nが4、5のときは、成り立たないのではないでしょうか?

5次方程式は解けない↓

http://www.junko-k.com/cthema/33daisuu.htm

みたいな話を耳にしたことがあるのですが、nの値に関わらず、微分の基本的な公式、

{g(x)}^n = ng(x)^n-1

は、本当に成り立つのでしょうか?

と思いましたが、やはり愚問でした。

もし、g(x)が5次方程式(x+1)^5とかだった場合でも、全部展開しても構わないんですよね。

方程式を解くのとは違いますよね。

すいません。

2009/11/13 03:25:09

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