前回の質問↓

http://q.hatena.ne.jp/1257362092
から新たに湧いた疑問なのですが、

df/dx = r^2(2-x) / x+2

である関数f(x)において、f(x)が上に凸であることを示す、もしくはx=2のとき極大値を取ることを示すには、どうすればよいのでしょうか?

回答の条件
  • 1人10回まで
  • 登録:2009/11/15 13:21:06
  • 終了:2009/11/22 13:25:02

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4399ベストアンサー獲得回数4032009/11/22 01:19:50

ポイント10pt

u'v+uv' = 2y・(2-x) + y^2・(-1)・・・①

u'v+uv' = 2yy'(2-x)+(y^2)(-1)・・・②

のどっちが正しいか。

ただし、uv=(y^2)(2-x)・・・③

条件式xy+2y=Lから、y(x+2)=L

∴y=L/(x+2)・・・④

∴y'=-L/(x+2)^2・・・⑤

 まずは、元の式をxだけの式にして微分してみます。

④を③に代入して、

uv=[{L/(x+2)}^2](2-x)=(L^2)(2-x)/(x+2)^2

商の微分から、

{(L^2)(2-x)/(x+2)^2}'=(L^2)[(2-x)'(x+2)^2-(2-x){(x+2)^2}']/(x+2)^4

=(L^2){(-1)(x+2)^2-(2-x)2(x+2)(1)}/(x+2)^4

=(L^2){-(x+2)^2+2(x-2)(x+2)}/(x+2)^4

=(L^2)(x^2-4x-12)/(x+2)^4

=(L^2)(x-6)(x+2)/(x+2)^4

=(L^2)(x-6)/(x+2)^3・・・⑥

 次に、①に④を代入すると、

u'v+uv' = 2{L/(x+2)}・(2-x) + {L/(x+2)}^2・(-1)

=2L(2-x)/(x+2)-(L^2)/(x+2)^2

={2L(2-x)(x+2)-(L^2)}/(x+2)^2

=-{2L(x-2)(x+2)+(L^2)}/(x+2)^2

=-L{2(x-2)(x+2)+L}/(x+2)^2

=-L{2(x-2)(x+2)+L}/(x+2)^2

=-L{2x^2-8+L}/(x+2)^2

 これは、⑥と合っていない。

 では、②に④,⑤を代入すると、

u'v+uv' = 2yy'(2-x)+(y^2)(-1)

=y{2y'(2-x)-y}

={L/(x+2)}[2{-L/(x+2)^2}(2-x)-{L/(x+2)}]

={L/(x+2)}[{2L(x-2)/(x+2)^2}-{L/(x+2)}]

={L/(x+2)}L[{2(x-2)/(x+2)^2}-{(x+2)/(x+2)^2}]

={L/(x+2)}L[{(2x-4)-(x+2)}/(x+2)^2]

={L/(x+2)}L(x-6)/(x+2)^2

=(L^2)(x-6)/(x+2)^3

 これは⑥と合っている。

 結局、条件式付きなので、y=y(x)と見ることが出来て、1変数の関数に帰着させることが出来ているわけです。

ただ、わざわざyについて解かなくても、陰関数の微分を使えば、yのまま微分出来るわけです。

その他の回答(1件)

id:rio_que_pasas No.1

rio_que_pasas回答回数1ベストアンサー獲得回数02009/11/15 18:35:54

ポイント60pt

df/dx=r^2(2-x)/(x+2)を再度xで微分します。

d^2f/dx^2={r^2・(-4)}/(x+2)^2

これは、負なので、関数fは上に凸であることを

示しています。

id:moon-fondu

いやはや、初めて耳にしました。

2次導関数を調べることで、f(x)の状態がわかるんですね~(驚)

私の大学の教科書には、

----------------------

関数y=f(x)がaを含む区間で2回微分可能とする。このとき、

f''(a)>0 ⇒ f(x)はx=aにおいて下に凸の状態

f''(a)<0 ⇒ f(x)はx=aにおいて上に凸の状態

である。

----------------------

と、書かれておりました(^_^;)

rio_que_pasasさんの回答を参考に、計算してみます!

2009/11/18 00:18:52
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4399ベストアンサー獲得回数4032009/11/22 01:19:50ここでベストアンサー

ポイント10pt

u'v+uv' = 2y・(2-x) + y^2・(-1)・・・①

u'v+uv' = 2yy'(2-x)+(y^2)(-1)・・・②

のどっちが正しいか。

ただし、uv=(y^2)(2-x)・・・③

条件式xy+2y=Lから、y(x+2)=L

∴y=L/(x+2)・・・④

∴y'=-L/(x+2)^2・・・⑤

 まずは、元の式をxだけの式にして微分してみます。

④を③に代入して、

uv=[{L/(x+2)}^2](2-x)=(L^2)(2-x)/(x+2)^2

商の微分から、

{(L^2)(2-x)/(x+2)^2}'=(L^2)[(2-x)'(x+2)^2-(2-x){(x+2)^2}']/(x+2)^4

=(L^2){(-1)(x+2)^2-(2-x)2(x+2)(1)}/(x+2)^4

=(L^2){-(x+2)^2+2(x-2)(x+2)}/(x+2)^4

=(L^2)(x^2-4x-12)/(x+2)^4

=(L^2)(x-6)(x+2)/(x+2)^4

=(L^2)(x-6)/(x+2)^3・・・⑥

 次に、①に④を代入すると、

u'v+uv' = 2{L/(x+2)}・(2-x) + {L/(x+2)}^2・(-1)

=2L(2-x)/(x+2)-(L^2)/(x+2)^2

={2L(2-x)(x+2)-(L^2)}/(x+2)^2

=-{2L(x-2)(x+2)+(L^2)}/(x+2)^2

=-L{2(x-2)(x+2)+L}/(x+2)^2

=-L{2(x-2)(x+2)+L}/(x+2)^2

=-L{2x^2-8+L}/(x+2)^2

 これは、⑥と合っていない。

 では、②に④,⑤を代入すると、

u'v+uv' = 2yy'(2-x)+(y^2)(-1)

=y{2y'(2-x)-y}

={L/(x+2)}[2{-L/(x+2)^2}(2-x)-{L/(x+2)}]

={L/(x+2)}[{2L(x-2)/(x+2)^2}-{L/(x+2)}]

={L/(x+2)}L[{2(x-2)/(x+2)^2}-{(x+2)/(x+2)^2}]

={L/(x+2)}L[{(2x-4)-(x+2)}/(x+2)^2]

={L/(x+2)}L(x-6)/(x+2)^2

=(L^2)(x-6)/(x+2)^3

 これは⑥と合っている。

 結局、条件式付きなので、y=y(x)と見ることが出来て、1変数の関数に帰着させることが出来ているわけです。

ただ、わざわざyについて解かなくても、陰関数の微分を使えば、yのまま微分出来るわけです。

  • id:rsc96074
     前に、(1/2)がかかっているような気もしますが。(^_^;
    df/dx = r^2(2-x) / (x+2)
    これをさらにxで微分して、
    (d^2/dx^2)f(2)<0を示せばいいです。
    変数を分かりやすくするためにr=yと置き直すと、
    df/dx=y^2(2-x)/(x+2)
    d^2f/dx^2=[{y^2(2-x)}'(x+2)-{y^2(2-x)}(x+2)']/(x+2)^2
    num.={2yy'(2-x)+(y^2)(-1)}(x+2)-{y^2(2-x)}(1) ←num.=(分子)
    ={2yy'(2-x)-(y^2)}(x+2)-y^2(2-x)
    =2yy'(2-x)(x+2)-y^2(x+2)-y^2(2-x)
    =2yy'(2-x)(x+2)-y^2{(x+2)+(2-x)}
    =2yy'(2-x)(x+2)-4y^2
    ところで、条件式 xy+2y=Lから、y(x+2)=L
    y=L/(x+2)
    ∴y'=-L/(x+2)^2
    あるいは、陰関数の微分法より、y'(x+2)+y・1=0
    ∴y'=-y/(x+2)
    num.=2y{-y/(x+2)}(2-x)(x+2)-4y^2
    =2y^2(x-2)-4y^2
    =2y^2{(x-2)-2}
    =2y^2(x-4)
    ∴d^2f/dx^2=2y^2(x-4)/(x+2)^2
    y=L/(x+2)だから、
    d^2f/dx^2=2L^2(x-4)/(x+2)^4
    (d^2/dx^2)f(2)=2L^2(2-4)/(x+2)^4=-4{L^2/(x+2)^4}<0
    よって、y=2で極大。

  • id:moon-fondu
    前回に引き続き、回答ありがとうございます!
    (1/2)がかかっているのですか?

    計算間違いしてるんですかね・・・でも、「df/dx = r^2(2-x) / (x+2)」の微分を、式の過程まで詳しく書いていただき助かります(>_<)

    df/dx=y^2(2-x)/(x+2)
    d^2f/dx^2=[{y^2(2-x)}'(x+2)-{y^2(2-x)}(x+2)']/(x+2)^2

    の時点で、「えっ?」と一瞬止まってしまいましたが、商の導関数の公式を使ってるんですね、ど忘れしてました(汗)
    しかし・・・

    num.={2yy'(2-x)+(y^2)(-1)}(x+2)-{y^2(2-x)}(1) ←num.=(分子)

    の箇所で、完全に躓いてしまいました(ToT)

    {y^2(2-x)}'(x+2)-{y^2(2-x)}(x+2)'

    {2yy'(2-x)+(y^2)(-1)}(x+2)-{y^2(2-x)}

    になる理由が、一向にわかりません。
    積の微分公式↓
    http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/d_multiple.html
    とかを使うのでしょうか?
    申し訳ないのですが、この箇所の式の展開について、再度ご回答いただければ幸いです。
    よろしくお願いします<m(__)m>
  • id:rsc96074
    積の微分(uv)'=u'v+uv'
    商の微分(u/v)'=(u'v-uv')/v^2
    http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6III_%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95
    を使いました。複雑なので計算間違いしているかも知れません。
    (uv/w)'={(uv)'w-(uv)w'}/w^2
    ={(u'v+uv')w-uvw'}/w^2
    =(u'vw+uv'w-uvw')/w^2
    やはり、xを残すよりも、yを残した方が計算が楽かも。
  • id:moon-fondu
    すぐに答えていただいたのに、返信遅くなってすいません(>_<)
    私にとって非常に複雑な分子の式なのですが、なんとなく見えてきました!
    要するに、

    {y^2(2-x)}'と、(x+2)'を解いた結果が、

    2yy'(2-x)+(y^2)(-1)}(x+2)-{y^2(2-x)}(1)

    になるということですね!
    ただ、最初に疑問に思いましたのは、{y^2(2-x)}'という微分において、「u=y^2」「v=(2-x)」と見立てた時、教えていただいた積の微分の公式を用いると、

    u'v+uv' = y^2'・(2-x) + y^2・(2-x)'

    となるので、

    u'v+uv' = 2y・(2-x) + y^2・(-1)

    になると思うのですが、rsc96074さんの回答では、

    2yy'(2-x)+(y^2)(-1)

    と、なっております。

    後ろの第2項に関しては、rsc96074さんも私も同じなので、問題ないのですが、最初の項「y^2'・(2-x)」の結果が、私の方は「2y・(2-x)」になっているのに対し、
    rsc96074さんの方は「2yy'(2-x)」になっている点が異なっています。

    「y^2'」という微分の結果、ここではxで微分するということで、xで微分すると、

    lim[Δx→0](y+Δx)^2 - y^2 / Δx
    =lim[Δx→0]y^2+2Δxy+Δx^2 - y^2 / Δx
    =lim[Δx→0]2Δxy+Δx^2 / Δx
    =lim[Δx→0]2y+Δx
    =2y

    になり、「y'」は消えてなくなると思うのですが・・・なくならないのでしょうか?
    度々すいません。お暇なときに、再度コメントいただければ幸いです(>_<)
  • id:rsc96074
     y=y(x)と見立てて、積の微分と合成関数の微分を併用しているので、y'を掛けておかないといけないような。(^_^;
    ({y(x)}^2)'=2{y(x)}・y'(x)=2y・y'
    cf.
    ({g(x)}^2)'=2{g(x)}・g'(x)=2g・g'
    ∵({g(x)}^n)'=nu^(n-1)・u'=n{g(x)}^(n-1)・g'(x)
    ({g(x)}^2)'=2{g(x)}^(2-1) g'(x)
    =2{g(x)}・g'(x)

  • id:moon-fondu
    そうでした、どうもすいません(>_<)
    以前、rsc96074さんにも教えてもらった、
    http://q.hatena.ne.jp/1257958874
    合成関数の微分の公式の一つですよね!

    ただ、y^2というのは、合成関数なのでしょうか?

    私が学んだ合成関数は、

    f(x)=f(x(t))

    みたいな、「fがxの関数f(x)で、xがtの関数x(t)」といった状態になっているものが合成関数、といったものです。

    ただ、この問題においては、y^2はr^2でありまして、r^2は、前回の質問では「半径」としていましたが、このrは、ただの1変数の数として認識していました。
    なので、r^2はただの1変数の2乗です。

    r^2=t^2+t+1

    のように、rは別の関数で定義される変数ではない、という認識が、私の頭の中にありました。

    これって重要なことではないでしょうか!?

    rsc96074さんは、回答してくださった際、rを何らかの関数として把握していたのでしょうか?

    すいません、全然的外れなことを言っているのかもしれないのですが、私がふと思ったのは、「分岐するのではないか?」ということです。

    rを「何らかの関数で定義されているもの」と把握すれば、「r^2をxで微分する」ということは、合成関数の微分になるので、最初の項「y^2'・(2-x)」を微分した結果は、rsc96074さんが回答してくださった「2yy'(2-x)」になると思うのですが、rを「単なる1変数の数」として把握した場合、最初の項「y^2'・(2-x)」の結果は、私が思う「2y・(2-x)」になると思うのです。

    実際、rを単なる1変数の数として把握し、計算してみました。

    num.={2y(2-x)+(y^2)(-1)}(x+2)-{y^2(2-x)}(1) ←num.=(分子)

    d^2f/dx^2
    ={2y(2-x)-y^2}(x+2)-y^2(2-x)
    =2y(2-x)(x+2)-y^2(x+2)-y^2(2-x)
    =2y(2-x)(x+2)-y^2{(x+2)+(2-x)}
    =2y(2-x)(x+2)-4y^2

    で、y=L/x+2

    を、代入してみます。すると、

    =2(L/x+2)(2-x)(x+2)-4(L/x+2)^2
    =2L(2-x)-4(L/x+2)^2

    となり、f(2)のとき、

    =-4(L/2+2)^2
    =-4(L/4)^2<0

    という感じで、rsc96074さんが導いてくださった解答と似たように証明できると思うのです。

    ただ、自信がありません。数Ⅲもしておらず、「陰関数の微分」も初めて耳にした文系出身な者なので、rについてのこの考え方が正しいのかどうか不安です。

    rsc96074さんは、rを別の関数で定義されると値とみなして、回答してくださったのでしょうか?
    それとも、rが何であろうが、私が導いた回答は間違っているでしょうか。
    ほんと度々すいません、お暇なときに、またrsc96074さんのご意見をお聞かせいただければ嬉しいです。
  • id:rsc96074
     まあ、だいたいあっていると思います。今回、条件式があって、rがxの式で表すことができるので、r=r(x)と見ています。
    >rを「何らかの関数で定義されているもの」と把握すれば
    これは、条件式のことです。
    条件式 xy+2y=L → xr+2r=L
  • id:rsc96074
    >rを単なる1変数の数として把握し、計算してみました。
    やっぱり、これ、たぶんダメです。
    「単なる1変数の数として」というのは、独立変数としてという意味ですよね。条件式があるから、従属変数になっています。問題は、「条件つき極値」とよばれるものです。
    条件式から、rがxの関数で表されるから、合成関数の微分などを使っています。

  • id:rsc96074
     ちなみに、単なる1変数の数と見立てて微分するやり方もありますが、それは偏微分のやり方です。
    ●偏微分
    >>
    偏微分(へんびぶん、Partial differentiation)とは、多変数の関数に対して、その変数を一旦固定して定数と見なし、一つの成分のみを変数として動かして、その成分方向への瞬間の増分を与える微分法である。
    <<
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86

  • id:moon-fondu
    rsc96074さん、何度も何度も真剣にご回答していただき、ありがとうございます<m(__)m>
    そうですよね、何となくですが、rsc96074さんのご回答の方が、rがどんなものでも適用できるというか、対応できるというか、汎用性があるような気がします。
    偏微分はまだ学習していないのですが、これからがんばってみます(^_^;)

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