高校数学の(積分?の)問題ですが、自力で解けず、解法を導いて頂きたくお願い致します。

(計算過程を強く希望します)



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x^(1/m) + y^(1/n) = 1 (x≧0、y≧0)
x=0
y=0
この曲線及び2直線に囲まれる領域の面積はいくつか?

m:自然数
n:自然数




どうぞよろしくお願い致します。

※回答は11月29日(日)19時以降にオープン致します。

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  • 登録:2009/11/28 22:07:28
  • 終了:2009/11/30 15:22:35

回答(2件)

id:KazuyaMitsutani No.1

KazuyaMitsutani回答回数6ベストアンサー獲得回数22009/11/29 03:03:29

ポイント35pt

まず積分範囲の概形を見積もっておきます.

x=0 のとき y=1y=0 のとき x=1したがって x^{1/m}+y^{1/n}=1 は (0,1) および (1,0) を結ぶ何らかの曲線だと考えられます.x を積分変数にとれば積分範囲は x=0\sim1 であり,被積分関数は y(x) = (1-x^{1/m})^n です.つまり実行すべき積分は

\int_0^1 (1-x^{1/m})^n dx

になります.この積分ですが,まず見通しを良くするために t^m=x の変数変換を行います.すると積分は

\int_0^1 mt^{m-1}(1-t)^n dt

になります.ここでもし m=1 ならば積分は

\int_0^1 (1-t)^n dt = -\left\[\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}\right\]_0^1 = \frac{1}{n+1},

となり完了です.

m\geq 2 の場合には部分積分を使って計算していきます.まず一回部分積分をすると上記の積分は

m\left\[t^{m-1}\frac{(1-t)^{n+1}}{-(n+1)}\right\]_0^1 + \frac{m(m-1)}{(n+1)}\int_0^1 t^{m-2}(1-t)^{n+1}dt,

となります.ここで一以上の自然数 s に対し,

I(s):= \int_0^1t^{m-s}(1-t)^{n+s-1}dt,

S(s):= (-1)\times\left\[t^{m-s}(1-t)^{n+s}\right\]_0^1,

と定義すると,もともとの積分は mI(1) で上ではそれを部分積分を用いて,

mI(1)=\frac{m}{n+1}S(1)+\frac{m(m-1)}{n+1}I(2)

としたことになる.ここで I(s) および S(s) の性質について調べておく.まずS(s)は表式より s\not =m の時は S(s)=0 である.s=m のときは

S(m)=1

となる.次に I(s) の性質について調べる.まず s=m のときは

I(m)=\int_0^1(1-t)^{n+m-1}dt=\left\[-\frac{(1-t)^{n+m}}{n+m}\right\]_0^1=\frac{1}{n+m},

となる.次に [tex:s< m] のときは部分積分ができて,

I(s)=\int_0^1t^{m-s}(1-t)^{n+s-1}=(-1)\times\[t^{m-s}\frac{1-t}^{n+s}{n+s}\]_0^1+\frac{m-s}{n+s}\int_0^1t^{m-s-1}(1-t)^{n+s}=\frac{S(s)}{n+s}+\frac{m-s}{n+s}I(s+1),

となる.

これを用いてもとの mI(1) を展開していくと

mI(1)=\frac{m}{n+1}S(1)+\frac{m}{(n+2)(n+1)}S(2)+\frac{m!}{(m-3)!}\frac{n!}{(n+2)!}I(3)

などとなる.これを繰り返していくと

mI(1) = ... =m\sum_{s=1}^{m-1}\left(\frac{n!}{(n+s)!}S(s)\right) + \frac{m!n!}{(m-m)!(n+m-1)!}I(m)

となる.ここで S(s) の性質を思い出すと S を含む和わすべてゼロとなる.したがって

mI(1) = \frac{m!n!}{(n+m-1)!}\times\frac{1}{n+m} = \frac{n!m!}{(n+m)!} =\left(_{n+m}Cn\right)^{-1}

となります.はじめに m=1 のときを場合わけして計算しましたがそれもこの一般的な表式に m=1 を代入すれば出てきます.ちなみに最後の二項係数での表示はおまけです.

しかし,なんとなく組み合わせ論とも関係がありそうな気がしますね.変数変換した後の被積分関数は確率 t の事象 A が 1-m 回起き A の補事象が n 回起きる確率と同じ表式になっています.しかも積分範囲は 0 から 1.何かその線でも解き方があったのかもしれません.

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4380ベストアンサー獲得回数3982009/11/29 14:55:01

ポイント35pt

 x^(1/m) + y^(1/n) = 1・・・①

 x=0のとき、①から、y^(1/n)=1∴y=1

 y=0のとき、同様にして、x=1

 よって、曲線①は、x軸、y軸とのそれぞれの交点(1,0)と(0,1)で交わる。

①から、

y^(1/n)=1-x^(1/m)

∴y={1-x^(1/m)}^n

 よって求める面積Sは、

S=∫[0→1][{1-x^(1/m)}^n]dx・・・②

x^(1/m)=tとおくと、x=0→t=0, x=1→t=1

x=t^m

∴dx/dt=mt^(m-1)

 よって、②式から、

S=∫[0→1]{m・t^(m-1) (1-t)^n}dt=m∫[0→1]{t^(m-1) (1-t)^n}dt・・・③

 ここで、ベータ関数を使うと、③から、

S=m・B(m,n+1)

=m・{Γ(m)Γ(n+1)/Γ(m+n+1)}

=m・(m-1)!{(n+1)-1}!/{(m+n+1)-1}!

=m!n!/(m+n)!

※参考URL

●ベータ関数

B(x,y)=∫[0,1] t^(x-1) (1-t)^(y-1)dt

B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A...

●ガンマ関数

自然数nについてΓ(n) = (n - 1)!が成立する。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A...

 以上をまとめて、x、yが自然数のとき、

B(x,y)=(x-1)!(y-1)!/(x+y-1)!

※参考公式

\int_{\alpha}^{\beta}\left(x-\alpha\right)^{m}\left(\beta-x\right)^{n}dx=\frac{m!n!}{\left(m+n+1\right)!}\left(\beta-\alpha\right)^{m+n+1}

  • id:garyo
    x^(1/m) + y^(1/n) = 1 (x≧0、y≧0)
    x=0
    y=0
    この曲線及び2直線に囲まれる領域の面積はいくつか?

    m:自然数
    n:自然数

    こういうのはまず、値を当てはめてイメージをつかむのはどうでしょうか
    例えばm=1,n=1の場合
    x+y=1
    x=0
    Y=0
    これはx=1、y=1の直角三角形ですよね。
    ∴s=1/2×1×1=0.5

    m,nは1~∞の値をとるので
    m=∞ の時
    x^(1/m)=x^(0)=1

    x^(1/m) + y^(1/n) = 1 
    1 + y^(1/n) = 1 
    y^(1/n) =0

    x軸も同様ですので
    面積S<=0.5でどうでしょう?
  • id:cappin
    たぶん x=(sinθ)^2m、y=(cosθ)^2nとしてよくて、
    Integral[θr^2]dθ つまり Integral[θ・{(sinθ)^4m+(cosθ)^4n}] dθを0からπ/2までやればいいのでは。
    あとは‥どっかに公式落ちてないかな(苦笑)
  • id:miku1973
    高校の数学の問題なので、イメージをつかむだけで終わるのではなく、具体的に面積をmとnを用いて表現する必要があるんです。
  • id:rsc96074
     こちらの方が綺麗にまとまっているかも。
    ●オイラー積分
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%A9%8D%E5%88%86
  • id:miku1973
    ありがとうございました。
    お2人とも素晴らしい解答でした。
    私も若い頃は数学が得意な方だったのですが、全く解けず衰えを感じます。
    最近の問題は難しいですね。

    たまに高校数学の質問をすることがありますので、
    また、どうぞよろしくお願い致します。

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