1259537206 こんにちは。幾何学の証明の問題で困っている大学生の者です。


問題:△ABCの直線AB、AC上の点DEにて、DE//BCならば、AD/DB=AE/ECであることを証明せよ。

という問題なのですが、途中からどう証明を展開していけばいいのかわからなくなりまして・・・(ToT)
まず、DE//BCであるので、△ADE∽△ABC
つまり、AD/AB=AE/AC・・・①

DB/AD =AB-AD/AD= AB/AD-1・・・②
EC/AE =AC-AE/AE= AC/AE-1・・・③

こんな感じで、証明に必要な要素っぽいものは出してみたのですが・・・ここで思考が停止してしまいました(>_<)
どうすればAD/DB=AE/ECを証明できるのか、教えていただければ幸いです。
よろしくお願いします<m(__)m>

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2009/11/30 08:26:47
  • 終了:2009/12/02 00:38:32

ベストアンサー

id:rsc96074 No.3

rsc回答回数4388ベストアンサー獲得回数4012009/11/30 10:42:24

ポイント25pt

>まず、DE//BCであるので、△ADE∽△ABC

>つまり、AD/AB=AE/AC・・・①

 導きたい結論の式は、

AD/DB=AE/EC・・・②

ここで、ADとAEは出てきていますが、DBとECはまだ①には出てきていません。

そこで、DBとECを①に出てきているもので表すことを考えてみます。

DB=AB-AD・・・③

EC=AC-AE・・・④

 また、①から、

AD/AB=AE/AC=kと置くと、←「比例式は、=kとおく」Chart式

AD=kAB・・・⑤

AE=kAC・・・⑥

⑤を③に、⑥を④に代入して、それぞれ、

DB=AB-kAB=(1-k)AB・・・⑦

AE=AC-kAC=(1-k)AC・・・⑧

 導きたい結論の式②の(左辺)-(右辺)は、k=1のときは、DB=EC=0で、証明する式の分母が0になるので、k≠0

k≠1のとき、⑦⑧から、

AD/DB-AE/EC=AD/{(1-k)AB}-AE/{(1-k)AC}

={1/(1-k)}{AD/AB-AE/AC}・・・⑨

①から、AD/AB-AE/AC=0だから、

AD/DB-AE/EC=0

∴AD/DB=AE/EC

※参考URL

●等式の証明の解法のヒント

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/hint/syoumei/tousiki/henkan-te...

●証明問題のコツ

http://www3.plala.or.jp/DocKKTT/page072.html

id:moon-fondu

なるほどです、不明な要素は、判明しているもの(①)で明らかにしていこうってことですね!

Chart式確認しなきゃだめですね(^_^;)

参考URLも記載していただき、ありがとうございました<m(__)m>

2009/12/01 07:55:59

その他の回答(4件)

id:AND0 No.1

AND0回答回数179ベストアンサー獲得回数102009/11/30 08:44:15

ポイント20pt

まず、①の分母と分子を反転させると、

(つまり両辺にABとACを掛け、ADとAEで割る)

AB/AD=AC/AE・・・①’

これを②に代入すると、

DB/AD =AB-AD/AD= AB/AD-1= AC/AE-1

ということで、

②と③の値が同じとなります。

id:moon-fondu

あ、すごいあっけないですね!

でもこのひらめきが、私にとって困難・・・ありがとうございました(>_<)

2009/12/01 07:45:55
id:gara_cp No.2

がら回答回数458ベストアンサー獲得回数182009/11/30 08:52:52

ポイント20pt

AD/AB=AE/AC①

AB=AD+DB

AC=AE+EC②

②を①に代入

AD/(AD+DB)=AE/(AE+EC)

両辺に(AD+DB)(AE+EC)をかける

AD(AE+EC)=AE(AD+DB)

AD・AE+AD・EC=AD・AE+AE・DB

AD・AEを整理

AD・EC=AE・DB

両辺をBD・ECで割る

AD/BD=AE/EC

こんなのでどうでしょ?

id:moon-fondu

はぁ~こんな証明の仕方もあるのですね(;゚Д゚)

「両辺に(AD+DB)(AE+EC)をかける」といった、アクロバティックな式の操作を思いつくのがすごいです・・・ありがとうございました!

2009/12/01 07:48:56
id:rsc96074 No.3

rsc回答回数4388ベストアンサー獲得回数4012009/11/30 10:42:24ここでベストアンサー

ポイント25pt

>まず、DE//BCであるので、△ADE∽△ABC

>つまり、AD/AB=AE/AC・・・①

 導きたい結論の式は、

AD/DB=AE/EC・・・②

ここで、ADとAEは出てきていますが、DBとECはまだ①には出てきていません。

そこで、DBとECを①に出てきているもので表すことを考えてみます。

DB=AB-AD・・・③

EC=AC-AE・・・④

 また、①から、

AD/AB=AE/AC=kと置くと、←「比例式は、=kとおく」Chart式

AD=kAB・・・⑤

AE=kAC・・・⑥

⑤を③に、⑥を④に代入して、それぞれ、

DB=AB-kAB=(1-k)AB・・・⑦

AE=AC-kAC=(1-k)AC・・・⑧

 導きたい結論の式②の(左辺)-(右辺)は、k=1のときは、DB=EC=0で、証明する式の分母が0になるので、k≠0

k≠1のとき、⑦⑧から、

AD/DB-AE/EC=AD/{(1-k)AB}-AE/{(1-k)AC}

={1/(1-k)}{AD/AB-AE/AC}・・・⑨

①から、AD/AB-AE/AC=0だから、

AD/DB-AE/EC=0

∴AD/DB=AE/EC

※参考URL

●等式の証明の解法のヒント

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/hint/syoumei/tousiki/henkan-te...

●証明問題のコツ

http://www3.plala.or.jp/DocKKTT/page072.html

id:moon-fondu

なるほどです、不明な要素は、判明しているもの(①)で明らかにしていこうってことですね!

Chart式確認しなきゃだめですね(^_^;)

参考URLも記載していただき、ありがとうございました<m(__)m>

2009/12/01 07:55:59
id:sapon No.4

sapon回答回数76ベストアンサー獲得回数32009/11/30 12:14:20

ポイント25pt

懐かしいですねぇ・・・「補助線一発!」てやつですね。

たぶん、上3つの方々がすでにお答えとは思いますが、

自分の趣味で、いちおう。

Dを通り、ACに平行な補助線を引き、これとBCとの交点をFとします。

DEとBCが平行なので、角ADEと角DBFは等しい。

角AEDと角ECFも等しい。

一方、DFとACも平行なので、角ECFと角DFBも等しい。

故に、角AEDと角DFBも等しい。

なので、△ADEと△DBFは相似形。

すると、AD:DB=AE:DF

ところで、DFCEは平行四辺形なので、DF=EC

すなわち、AD:DB=AE:EC

ということで、AD*EC=DB*AE→AD/DB=AE/EC

こんなもんでどうでしょうか・・・

id:moon-fondu

「ACと平行な補助線」で、こんなカッコいい証明ができるんですね・・・驚きです。

ありがとうございました(^_^;)

2009/12/01 08:04:14
id:archi-holic No.5

archi-holic回答回数80ベストアンサー獲得回数112009/11/30 13:32:08

ポイント10pt

Dから、ACに平行な直線をひいて、BCと交わる交点をFとする。

すると、△ADE∽△DBFなのでAD/DB=AE/DF

また、□DFCEは平行四辺形なのでDF=EC

よってAD/DB=AE/EC

id:moon-fondu

saponさんと同じやり方ですね!

ありがとうございます<m(__)m>

2009/12/01 08:05:18
  • id:rsc96074
     CHARTに、「証明問題 結論 から お迎え する」というのがあります。
    仮説から進めて行き詰ったら、結論からも考えてみるといいです。
  • id:moon-fondu
    すいません、コメントいただいていたのに、気づいていませんでした(>_<)
    青チャートしか持ってないのですが、ちょっと探してみます!

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません