1259790046 こんにちは。幾何学の問題で困っている大学生の者です。


問題:AB:AC=BP:PCのとき、APは角Aを二等分することを証明せよ。

という問題なのですが、これの証明が理解できません(>_<)
通信制の大学のビデオ講義の中の例題なのですが、まず、Cを通り、APに平行な直線を引き、直線ABとの交点をDとするそうです。

次に、講師は「これがこうで、こうだから、三角形ACDは二等辺三角形になって・・・」等と述べていたのですが、指示代名詞が多すぎるからでしょうか、私の理解力が乏しいからでしょうか、証明を最後まで聞いても、何を言ってるのかさっぱりわからないのです(ToT)

皆様のお力をお借しいただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2009/12/03 06:40:46
  • 終了:2009/12/10 06:45:02

ベストアンサー

id:nkgwcem No.8

nkgwcem回答回数3ベストアンサー獲得回数12009/12/09 00:37:05

ポイント10pt

No.5,7のnkgwcemです。


>「ABとACの辺の比で、△ABCと△ACPの値が決まる。ということは、前提として高さは共通でなければならない。よって、PE=PF」


面積を求める式で考えれば分かりやすいと思いますよ。

AからBCに下ろした垂線をAHとすると

△ABP=1/2×AB×AH

△ACP=1/2×AC×AH

1/2とAHが共通だから、△ABP:△ACP=AB:ACとなる。

で、仮定よりAB:AC=BP:PCなので、この式は

△ABP:△ACP=BP:PC

と書き換えることができる。


一方で、今度は△ABPと△ACPの面積をBP,CPを底辺として計算してみる。

△ABP=1/2×BP×PE

△ACP=1/2×PC×PF

さっきは高さAHが共通だったから、△ABP:△ACP=AB:ACが成り立ったわけですよね。

同様に、PE=PFであれば△ABP:△ACP=BP:PCが成り立つわけですから、

それが成り立っている以上、PE=PFであると言えるのです。


合同条件についてですが、直角三角形ですから、直角三角形の合同条件が当てはまります。

↓下記のページを参照してみてください。

http://dac.gijodai.ac.jp/it-con/h16_sakuhin/ippan/ippan3/math/2g...

その他の回答(7件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4401ベストアンサー獲得回数4042009/12/03 07:29:33

ポイント18pt

 こちらは参考になるでしょうか。

●三角形の角の二等分線定理

http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun.html

●角の二等分線の性質を狩る

http://izumi-math.jp/F_Nakamura/toubun/toubun.pdf

 上の証明で使っている定理は、以下の通りです。

 ※参考URL

●※平行線と同位角、錯角

http://www.smile.hokkaido-c.ed.jp/h18_suugaku/04_hg/hg_01/heiko_...

●数学A 平面図形 三角形の性質 平行線と線分比

http://www.e-learning-jp.net/teach_math/mathA/text_1/5/03/001a.h...

●平行線と線分の比 ←証明付き(「≡」は相似記号「∽」の書き間違いでしょう。)

http://math-mebiusu.blog.ocn.ne.jp/mebiusu/M211106.htm

id:moon-fondu

リンクを探していただき、ありがとうございます!

特に「角の二等分線の性質を狩る」は読みごたえがあって、勉強になりそうです(^_^;)

2009/12/06 11:32:03
id:kmdsbng No.2

kmdsbng回答回数5ベストアンサー獲得回数22009/12/03 11:27:29

ポイント17pt

まず三角形ABPと、三角形DBCは相似になる。

 なぜならPAとCDは平行なので、角BPA=角BCD かつ

 角Bを共有しているので、三角形の二つの角が

 等しいため。

次に三角形ACDは二等辺三角形になる。

 なぜなら三角形ABPと三角形DBCは相似であるため、

 BP:PC=BA:ADが言える。前提としてBP:PC=AB:ACが与えられているので、

 AB:AC=AB:AD。よってAC=ADになるため。

次に角PACと角ACDは等しい。

 なぜなら、角PAC=180度-(角BAP+角CAD) かつ

      角ACD=180度-(角ADC+角CAD) かつ

      三角形ABPと三角形DBCは相似であることより角BAP=角ADC。よって

      角PAC = 180度-(角BAP+角CAD) = 180度-(角ADC+角CAD) = 角ACD

      が導かれるため。

以上の条件から、角BAP=角PACが導かれる。

 なぜなら角BAP=角BDC=角ACD=角PACであるため。

角BAP=角PACという結論は、APが角BAC(角A)を二等分することを

示している。

以上です。

id:moon-fondu

回答ありがとうございます!

ただ、nkgwcemさんへのコメントでも触れたのですが、AC=ADになる理由が、どうしてもわかりません(;_;)

「辺の比が等しい」のと、「辺が等しい」というのは、違うと思うのです。

BP:PC=AB:AC

BP:PC=BA:AD(∵ △ABP∽△DBC)

∴ AB:AC=AB:AD

とは、辺の"比"のことですよね?

もし、∠ADCと∠ACDが等しければ、三角形ACDは二等辺三角形となり、AC=ADになるのも理解できるのですが、与えられた条件からではそれを導くこともできなさそうです・・・すいません、AC=ADになる(三角形ACDは二等辺三角形になる)理由を、再度ご教授いただけないでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)

2009/12/06 11:25:28
id:frkw2004 No.3

ふるるP回答回数192ベストアンサー獲得回数212009/12/03 11:38:38

ポイント17pt

PAとCDが平行なので、BP:PC = BA:AD です。

また、AB:AC = BP:PC なので AB:AC = BA:AD になります。

ABとBAは共通なので同じ長さです。

そうすると同じ比であるACとAD は同じ長さです。よって、三角形ACDは二等辺三角形です。低角の角ACDと角ADCは等しくなります。

また、PAとCDが平行なので、錯覚により角PAC=角ACD, 同位角により角BAP=角D です。

よって、角BAP=角PAC となり、直線ABは角BACの二等分線であることが証明されました。

id:moon-fondu

あっ、そういうことですか!?

nkgwcemさんや、kmdsbngさんにも疑問を提示してしまったのですが、「AC=ADになる理由」について、frkw2004さんの回答で、なんとなくわかりました!

AB:CD = BA:DA

という式において、ABとBAは辺の長さが完全に等しい、AB=BAだから、対応するCD:DAも、CD=DA(AC=AD)になるってわけですね!!

nkgwcemさん、kmdsbngさん、私の理解力が乏しいせいで、しつこく質問をしてしまってすいません<m(__)m>

2009/12/06 11:45:37
id:gara_cp No.4

がら回答回数458ベストアンサー獲得回数182009/12/03 11:46:31

ポイント17pt

角の二等分の証明

http://www.geocities.jp/hhhhhhh_yyyyyyy/kakunitobunsen.htm

↑の「ここ」をクリックしてPDFを開いてください

id:moon-fondu

リンクありがとうございます!

ただ、逆なんですよね・・・「角●●が辺●●を二等分するとき、●●:●●=●●:●●を証明せよ」については、gara_cpさんからいただいたリンク先には、いろいろ証明方法があって参考になったのですが、今回の私の質問は「AB:AC=BP:PCのとき、APは角Aを二等分することを証明せよ。」なので、逆なのです。

APが角Aを二等分しているかどうかというのは、問題の時点では、定かではないのです(;_;)

2009/12/06 11:36:54
id:nkgwcem No.5

nkgwcem回答回数3ベストアンサー獲得回数12009/12/03 12:56:51

ポイント17pt

>Cを通り、APに平行な直線を引き、直線ABとの交点をDとする

BA:AD=BP:PCになるところはよろしいでしょうか…?

(よろしければ、以下の部分は読み飛ばしてください)

----------------------------

Aを通り、BCと平行な線をひき、CDとの交点をQとすると、

△ABPと△DAQは相似

(同位角により∠ABP=∠DAQ、∠BAP=∠ADQ。

よって3つの角が等しくなるので)

ゆえにBA:AD=BP:AQ・・・1

平行四辺形の対辺なのでAQ=PC

ゆえにAQ=PC・・・2

1,2よりBA:AD=BP:PC

---------------------------


で、仮定よりAB:AC=BP:PC。

よってBA(AB):AD=AB:AC。

ゆえにAD=ACとなり、△ACDは二等辺三角形。

となれば、あとは∠ACD=∠ADC(二等辺三角形の底角)

∠ADC=∠BAP(平行線の同位角)

∠ACD=∠CAP(平行線の錯角)

以上のことから∠BAP=∠CAPであり、

APは角Aを二等分する


こんな感じでしょうか。


【別解】

PからAB、ACに垂線をおろし、それぞれ交点をE、Fとする。


△ABP:△ACP=AB:AC(高さが共通なので、面積比は底辺の比)

仮定よりAB:AC=BP:PCなので、

△ABP:△ACP=BP:PC

ということは、高さにあたるPEとPFは等しくなる。


ここで直角三角形△AEPと△AFPにおいて、

斜辺APは共通、PE=PFより、

斜辺と他の1辺が等しいので

△AEP≡△AFP


よって∠EAP=∠FAPであり、

APは角Aを二等分する


なんていう考え方もできます。

id:moon-fondu

BA:AD=BP:PCに関しては、「平行線と線分の比」というもので、最近理解することができました。nkgwcemさんの、

・・・

で、仮定よりAB:AC=BP:PC。

よってBA(AB):AD=AB:AC。

・・・

という箇所も、平行線の線分の比が根拠ですよね?

AB:AC=BP:PC

BP:PC=BA(AB):AD (∵平行線の線分の比)

∴ BA(AB):AD=AB:AC

みたいな。

でもどうして、AD=ACになるのでしょうか?

BA(AB):AD=AB:AC

は、辺の比が等しいだけで、長さが等しいわけではないので、AD=ACは導けないような気がするのですが・・・

また、別解の方も疑問に思ったのですが、

・・・、

△ABP:△ACP=AB:AC(高さが共通なので、面積比は底辺の比)

・・・

という箇所で、躓いてしまいました。「△ABP:△ACP=AB:AC」というのは、「△ABPと△ACPの比は、線分ABとACの比に等しい」という意味ですよね?ということは、△ABPと△ACPが相似であることが前提だと思うのですが、仮定から、

AB:AC=BP:PC

なので、2辺の比が等しいことはうかがえます。しかしこれだけでは、三角形の相似条件である、

①3つの辺の比がすべて等しい。

②2つの辺の比が等しく、そのはさむ角が等しい。

③2組の角が等しい。

の、どれも満たすことができません(;_;)

ほんと理解力が乏しくてすいません(>_<)

もしよろしければ、お暇な時に、再度ご回答いただけないでしょうか?

よろしくお願いします<m(__)m>

2009/12/06 10:31:27
id:takfjt No.6

takfjt回答回数23ベストアンサー獲得回数32009/12/03 19:30:43

ポイント17pt

まず、図にあるように、点Cを通るAPと平行な直線を引き

線分BAを延長した直線との交点をDとします。


冗長に書きますが、線分PAと線分CDは平行です。


ここでまず、

線分PAと線分CDが平行であるなら、

平行線の同位角、錯角が等しいことから


∠ADC = ∠BAP (1)

∠PAC = ∠ACD (2)


となることがわかります。



次に、

線分CDを底辺とする三角形BCDを考えたとき、

線分PAは、線分BCと線分BDを同じ比で分割します。

つまり


BP:PC = BA:AD


また、仮定より


BA:AC = BP:PC


ですから、


BA:AC = BP:PC = BA:AD

BA:AC = BA:AD


よって、


AC = AD


となります。

ここから、三角形ACDが二等等辺三角形であることがわかります。


三角形ACDが二等辺三角形であるなら、


∠ADC = ∠ACD (3)


であることは明らかです。


(1)(2)(3)から


∠BAP = ∠ACD = ∠PAC

∠BAP = ∠PAC


ということなり、

線分APが、∠BACを2等分していることがわかります。


以上

id:moon-fondu

すごく丁寧でわかりやすいです!

「AC = ADになる理由」の理解に苦戦しましたが、なんとか理解できました。

ありがとうございます(^_^;)

2009/12/06 11:51:30
id:nkgwcem No.7

nkgwcem回答回数3ベストアンサー獲得回数12009/12/06 13:18:40

ポイント17pt

No.5のnkgwcemです。


>「△ABP:△ACP=AB:AC」というのは、「△ABPと△ACPの比は、線分ABとACの比に等しい」という意味ですよね?ということは、△ABPと△ACPが相似であることが前提だと思うのですが、


すみません。


△ABP:△ACP=AB:AC(高さが共通なので、面積比は底辺の比)

仮定よりAB:AC=BP:PCなので、

△ABP:△ACP=BP:PC

ということは、高さにあたるPEとPFは等しくなる。


上記の部分で「△ABP:△ACP=AB:AC」と「△ABP:△ACP=BP:PC」を逆に書いてしまいました。


-----------------------

△ABP:△ACP=BP:PC(高さが共通なので、面積比は底辺の比)

仮定よりAB:AC=BP:PCなので、

△ABP:△ACP=AB:AC

ということは、高さにあたるPEとPFは等しくなる。

-----------------------


これならご理解いただけますか?

BP、PCを底辺として面積計算する時、どちらも高さはAからBCに下ろした垂線になりますよね。

高さが共通だから、結局面積比は底辺の比で決まってしまうじゃないか、ということです。

相似の問題とは無関係です。

id:moon-fondu

再度ご回答いただき、ありがとうございます(>_<)

△ABP:△ACP=AB:AC、というのは、「ABとACの辺の比で、△ABCと△ACPの値が決まる。ということは、前提として高さは共通でなければならない。よって、PE=PF」といった感じで解釈して、なんとかPE=PFであることを理解できた気がします(^_^;)

ただ、nkgwcemさんが最初に回答してくださった、

---------------------------

斜辺APは共通、PE=PFより、

斜辺と他の1辺が等しいので

△AEP≡△AFP

---------------------------

という箇所に、「えっ?」と思ってしまいました(>_<)

斜辺APが共通、PE=PFであることはわかったのですが、条件がこれだけだと、三角形の合同条件である「3辺がそれぞれ等しい」「2辺とその間の角が等しい」「1辺とその両端の角が等しい」の、どれも満たすことができないと思うのですが・・・(ToT)

∠APE=∠APFであることがわかれば、「2辺とその間の角が等しい」ということで、「△AEP≡△AFP」を導けると思うのですが・・・あるいはAE=AFを導いて、「3辺が等しい」ということで導けるのでしょうか・・・ほんとすいませんが、もしよろしければ、再度回答いただければ嬉しいです。

よろしくお願いします(>_<)

2009/12/08 23:47:10
id:nkgwcem No.8

nkgwcem回答回数3ベストアンサー獲得回数12009/12/09 00:37:05ここでベストアンサー

ポイント10pt

No.5,7のnkgwcemです。


>「ABとACの辺の比で、△ABCと△ACPの値が決まる。ということは、前提として高さは共通でなければならない。よって、PE=PF」


面積を求める式で考えれば分かりやすいと思いますよ。

AからBCに下ろした垂線をAHとすると

△ABP=1/2×AB×AH

△ACP=1/2×AC×AH

1/2とAHが共通だから、△ABP:△ACP=AB:ACとなる。

で、仮定よりAB:AC=BP:PCなので、この式は

△ABP:△ACP=BP:PC

と書き換えることができる。


一方で、今度は△ABPと△ACPの面積をBP,CPを底辺として計算してみる。

△ABP=1/2×BP×PE

△ACP=1/2×PC×PF

さっきは高さAHが共通だったから、△ABP:△ACP=AB:ACが成り立ったわけですよね。

同様に、PE=PFであれば△ABP:△ACP=BP:PCが成り立つわけですから、

それが成り立っている以上、PE=PFであると言えるのです。


合同条件についてですが、直角三角形ですから、直角三角形の合同条件が当てはまります。

↓下記のページを参照してみてください。

http://dac.gijodai.ac.jp/it-con/h16_sakuhin/ippan/ippan3/math/2g...

  • id:rsc96074
     平行線と線分の比でもいけますが、それより、大元の三角形の相似比の方がよかったかも知れません。
  • id:moon-fondu
    >rsc96074さん
    返信が遅くなってしまいすいません(>_<)
    相似比を使う証明方法は、私が理解するのに苦戦したAC=ADを導いて、たたみかけるやつですよね?
    相似比を用いた方法も、なんとなく理解できた気がします(^_^;)

    >nkgwcemさん
    期間が終了してしまいました・・・せっかくご回答いただいたのに、すぐに返信できず、ほんとすいません(>_<)
    ちょっと思ったのですが、

    ---------------------------------
    AからBCに下ろした垂線をAHとすると
    △ABP=1/2×AB×AH
    △ACP=1/2×AC×AH
    ---------------------------------

    という箇所と、

    ---------------------------------
    今度は△ABPと△ACPの面積をBP,CPを底辺として計算してみる。
    △ABP=1/2×BP×PE
    △ACP=1/2×PC×PF
    ---------------------------------

    という箇所が、よくわからないのです(ToT)
    三角形の面積というのは、「底辺×高さ÷2」ですよね?

    もし、「AB,AC=底辺」とし、「AH=AからBCに降ろした垂線」とすると、

    △ABP=1/2×AB×AH
    △ACP=1/2×AC×AH

    におけるAHは、高さではなく「斜辺」になり、「高さ」に相当するのは、HからAB,ACに降ろした垂線のことではないでしょうか?



    また、もしBP,PCを底辺とするならば、

    △ABP=1/2×BP×PE
    △ACP=1/2×PC×PF

    におけるPE,PFは、底辺がAB,ACの場合の時の垂線であり、底辺がBP,PCの場合の時の垂線は、AからBCに降ろした垂線AHではないでしょうか?

    ほんとすいません、もしまたこのコメント欄を目にしていただき、お気が向かれましたら・・・返信いただければ幸いです(>_<)
  • id:nkgwcem
    すみません。

    AからBCに下ろした垂線をAHとすると
    △ABP=1/2×AB×AH
    △ACP=1/2×AC×AH
    は、
    △ABP=1/2×BP×AH
    △ACP=1/2×CP×AH
    の誤りです。

    同様に
    △ABP=1/2×BP×PE
    △ACP=1/2×PC×PF

    △ABP=1/2×AB×PE
    △ACP=1/2×AC×PF
    の誤りです。

    混乱させてしまってすみません。
    今度から図を紙にでも書き写して、それを見ながら書き込むことにします。。
  • id:moon-fondu
    再度ご回答いただき、ありがとうございます。

    △ABP=1/2×BP×AH
    △ACP=1/2×CP×AH

    △ABP=1/2×AB×PE
    △ACP=1/2×AC×PF

    であることがわかりました(^_^;)
    あとは、nkgwcemさんが最初に回答してくださったように、

    ------------------------
    斜辺APは共通、PE=PFより、

    斜辺と他の1辺が等しいので

    △AEP≡△AFP

    ・・・
    ------------------------

    といった感じで結論に持っていけるのですね。

    7番では、初歩的な質問をしてすいませんでした。

    直角三角形の合同条件
    http://kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-59.html

    ですよね、いやはやど忘れしてました(汗)

    ただ、ふと疑問に思ったのですが、どうしてPE=PFになるのでしょうか?

    △ABP=1/2×AB×PE
    △ACP=1/2×AC×PF

    を少し変形すると、

    PE=2△ABP/AB
    PF=2△ACP/AC

    となります。ということは、「PE=PF」が成り立つには、

    2△ABP/AB=2△ACP/AC

    も成立することになるはずなのですが、ABとACの長さが常に一致するとは限りませんし、△ABPと△ACPの面積も一致するとは限らないと思うのです。PE=PFが成り立つには、

    ①AB=ACかつ△ABP=△ACP→PE=PFは成り立つ。
    ②AB≠ACかつ△ABP=△ACP→PE=PFは成り立たない。
    ③AB=ACかつ△ABP≠△ACP→PE=PFは成り立たない。

    ①番の条件を満たさなければならないような気がするのですが・・・
    ほんと理解力が乏しくてすいません(>_<)

    もしよろしければ、お暇な時に、nkgwcemさんが書いてくださった別解について、再度ご回答いただけないでしょうか?
    よろしくお願いします。
  • id:nkgwcem
    △ABP:△ACP=BP:PC=AB:AC
    であることは理解されていますよね?
    値が等しいのではなく、比が等しいのですよ。

    例えば上記の比がすべて「2:1」だとして、
    8平方センチ:4平方センチ=6センチ:3センチ=4センチ:2センチ
    のような状態です。

    では、この例で
    PE=2△ABP/AB
    PF=2△ACP/AC
    の式について考えてみてください。

    PE=2×8/4=4センチ
    PF=2*4/2=4センチ

    等しくなりますよね。

    じゃあ、上記の比がすべて「7:4」だとして、
    63平方センチ:36平方センチ=28センチ:16センチ=21センチ:12センチのような状態だとどうでしょう。

    PE=2×63/21=6センチ
    PF=2*36/12=6センチ

    やっぱり等しいです。

    当然ですよね?
    △ABP:△ACP=AB:ACであれば、
    △ABP/ABと△ACP/ACは約分すると必ず等しくなるのですから。

    どうも「比が等しい」ことと「値が等しい」ことが
    ごっちゃになったりうまく結びつかなかったりしているようですね。

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