1260589280 メネラウスの定理を勉強している大学生の者です。

次の証明問題で行き詰ってしまいました(>_<)

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問:△ABCの頂点A、B、Cにおける外角の2等分線をそれぞれP、Q、Rとする。
このとき、3点P、Q、Rは一直線上にあることを証明せよ。
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という問題です。

メネラウスの定理の証明は、いろんなサイトを探ってみて、なんとなくは理解はできたのですが、P、Q、Rが全部、△ABCの外分点?になっているパターンの証明は、どうすればいいのやら・・・皆様のお力をお借しいただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2009/12/12 12:41:21
  • 終了:2009/12/16 05:20:40

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4380ベストアンサー獲得回数3982009/12/12 16:27:46

ポイント100pt

 三角形の角の二等分線定理(外角)より、

直線BC(P)について、

AB:AC=BP:PC・・・①

 同様に、直線AC(Q)について、

BA:BC=AQ:QC・・・②

 同様に、直線BA(R)について、

CB:CA=BR:RA・・・③

①から、

AB/AC=BP/PC・・・①’

②から、

BA/BC=AQ/QC

∴BC/BA=QC/AQ・・・②’

③から、

CB/CA=BR/RA

∴CA/CB=RA/BR・・・③’

①',②',③'の辺々を掛けて、

(AB/AC)(BC/BA)(CA/CB)=(BP/PC)(QC/AQ)(RA/BR)

1=(BP/PC)(QC/AQ)(RA/BR)

よって、向きを整えて、

(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB)=1

 したがって、⊿ABCと3点P,Q,Rについて、メネラウスの定理の逆により、3点P,Q,Rは1直線上にある。

●三角形の角の二等分線定理(外角)

http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun2.html

 メネラウスの定理の証明は、こちら。

http://f.hatena.ne.jp/rsc96074/20091212123631

id:moon-fondu

あっ、すいません、この問題"逆"の方を証明するやつだったんですね(>_<)

リンク先ありがとうございます!

外角を2等分する場合については知りませんでした(汗)

「ADとECが平行より、AB:AE=BD:DC・・・」

という箇所に、一瞬「はて?」と思ってしまいましたが、

【平行線と線分の比】

http://www.movie3mai.net/dJ8idptli6qE.html

の法則で、AB:AE=BD:DCなんですよね!

いやはや、大学生なのに、中学生のカリキュラムで躓いてしまうとは・・・(^_^;)

でもなんとか、この箇所については理解できました。

ただ、rsc96074さん導いてくださったメネラウスの定理の箇所に、悩んでしまいまして・・・

メネラウスの定理の覚え方↓

http://www.woopie.jp/video/watchframe/319f3aca082ac1cb

ブーメランはメネラウス↓

http://sansu100.tripod.com/santa-kazuko/s-k-1995/s-k-1995-09/199...

等を参考にすると、rsc96074さんに教えていただいた

(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB)=1

ではなく、

(BP/PC)(CQ/CA)(AR/AB)=1

にならなければ、メネラウスの定理ではないような気がするのですが・・・。

ただ、この問題では証明したい直線を成す3点が、全部△ABCの外にある場合なので、私が見つけたリンク先で提示されているメネラウスの定理とは、直線の位置がだいぶ違うので・・・ルートが変わってくるのでしょうか?

度々すいません・・・この点に関して、もしよろしければ、再度ご回答いただきたいです(>_<)

2009/12/12 23:34:34
  • id:rsc96074
     メネラウスの定理の形の美しさは、順につながっているとこです。
    BPPCCQQAARRB
     それと、今回のような特殊な形でも、普通の形でも、式の形が同じになります。
     動画で紹介されたものは、私のと同じのが書いてあるように見えます。2つ目のは、CとEの位置が逆になっています。たぶん、私は初めCとEが逆の形で憶えました。でも、尻とりになると憶えて、文字では憶えませんでした。
    >(BP/PC)(CQ/CA)(AR/AB)=1
    この式は、尻とりになっていないから憶えにくいでしょう。(^_^;

     メネラウスの定理の逆の証明は、黄チャートに短い証明がありましたが残念ながらよく分かりませんでした。どうやら同一法を使っているようです。

    ※参考URL
    ●メネラウスの定理・チェバの定理2006(教員向け資料)
    http://www.geocities.jp/osaqmath/menelaus2006.html

  • id:rsc96074
     上の普通の形というのは、外分点が1個の場合で、特殊な形というのは、外分点が3個の場合のことです。メネラウスの定理は、外分点が奇数個(1個と3個)の時に使うみたいです。ちなみに、チェバの定理は、外分点が偶数個(0個と2個)の場合に使うようです。
  • id:moon-fondu
    再度ご回答いただき、ありがとうございます!
    勘違いしておりました。私が見つけたリンク先のは、外分点が1個の時の例ですね。
    そして、rsc96074さんが書いてくださった、

    (BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB)

    は、外分点が1個でも、今回のように3個でも、どちらでも成り立つ、動きは同じだと理解できました。

    「もし、QがACの内分点、RがABの内分点で、外分点がPだけだったら・・・」という風に、外分点が1個のときを想像すれば、3個になって形が変わっても、こんがらがらずに同じルートをイメージできるような気がしてきました。

    ありがとうございます(^_^;)

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