1260909311 「デサルグの定理の逆」を、証明したいです。


「デサルグの定理」と呼ばれるものについて勉強している大学生の者です。

デサルグの定理↓
http://onnsei-okiba.radilog.net/article/514867.html
については、なんとなく理解できたのですが、この定理の逆についての問題に、頭を悩ませております。

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問:△ABCと△A'B'C'について、ABとA'B'の交点をP、BCとB'C'の交点をQ、CAとC'A'の交点をRとする。3点P、Q、Rが同一直線上にあるならば、AA'、BB'、CC'が1点で交わることを証明せよ。
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ウェブ上には、私が調べたところ、この定理についての情報はほとんど転がってない感じです・・・(ToT)
よろしくお願いします<m(__)m>

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2009/12/16 05:35:11
  • 終了:2009/12/20 16:01:54

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4358ベストアンサー獲得回数3982009/12/16 07:38:19

ポイント100pt

 「デサルグの定理」という言い方もあるのかも知れませんが、「デザルグの定理」の方が一般的のようです。

 こちらに、逆の証明がありましたが、フォントが乱れているようです。たとえば、「A●●」→「A'」のようです。

●[PDF] ?デザルグの定理? 2つの三角形の対応する頂点を結ぶ3直線が1点で ...

http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/CDesargues.pdf

 △RBB’と△QCC'に「デザルグの定理」を適用して、3点O,A,A'が1直線上にあることを示しているようです。

 逆は、点P,Q,Rが一直線上にあるとき、直線AA',BB',CC'が1点で交わることを示せばよい。そのために、BB',CC'の交点をOとしてO,A,A'が1直線上にあることを示す。

 △RBB’と△QCC'において、対応する頂点を結ぶ3直線RQ,BC,B'C'は点Pで交わるから、対応する3組の辺BB'とCC',RB'とQC'の交点O,A,A'は1直線上にあることになる。

※参考URL

●デザルグの定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%B6%E3%83%AB%E3%82%B...

id:moon-fondu

返信遅くなってすいません(>_<)

しかも、綺麗に書き直してくれるなんて・・・ほんと嬉しいです゚ヽ(゚´Д`)ノ゚。

BとB'、CとC'を直線で結び、2つの三角形をイメージしなければならないのですね・・・(^_^;)

対応する3組の辺BB'とCC'、PBとRC、PB'とRC'の交点・・・に、デザルグの定理を適用ですか・・・デザルグの定理の逆を証明するのに、デザルグの定理を使うって、何か違和感を感じますね(笑)

でも、rsc96074さんのおかげで、なんとなく理解できました!

ありがとうございます<m(__)m>

2009/12/18 08:18:53
  • id:rsc96074
     元の問題に記号が合うように、書き直してみました。
    間違いを修正していたら、リンクが飛べなくなったので貼り直しました。
    http://f.hatena.ne.jp/rsc96074/20091218005530

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