1261771839 幾何学の問題です。三角形ABCの内心をO、∠Aの2等分線と、∠B、∠Cの外角の2等分線が交わる点(傍心)をP、APと三角形ABCの内接円の交点をDとするとき、


「OD=PD=BD=CD」となることを証明せよ。

という問題なのですが、証明の仕方がよくわかりません。一応、ビデオ講義なので、先生が模範解答のようなものを、黒板には書いてくれました。

◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆
∠OBD
=(1/2)∠B+∠CBD (ここでの∠Bは、内角の∠Bだと思われます。)
=(1/2)∠B+(1/2)∠A (∵1つの弧に対する円周角の大きさは全て等しいことから、∠CBD=∠DAC)
=∠DOB (∵三角形の外角の性質より)

∴OD=BD

∠DBP
=(1/2)∠CBA-(1/2)∠A・・・《疑問1》
=∠OPB

∴BD=PD
◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆

といった内容を、黒板に書いて、この問題については説明終了となりました。
しかしこの証明は、私には理解できません(>_<)

《疑問1》どうして∠DBPが、(1/2)∠CBA-(1/2)∠Aになるのでしょうか?
《疑問2》CDはどうすればいいのでしょうか?結局、「OD=PD=BD=CD」を導けていないです(;_;)

もちろん、この方法以外に別の証明方法があれば、ご教授いただきたいです。
よろしくお願いします<m(__)m>

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2009/12/26 05:10:39
  • 終了:2009/12/27 16:10:12

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4404ベストアンサー獲得回数4052009/12/26 07:10:19

ポイント100pt

《疑問1》どうして∠DBPが、(1/2)∠CBA-(1/2)∠Aになるのでしょうか?

 ∠CBA=∠Bのことだから、これはたぶん書き間違いじゃないでしょうか。

 ABの延長上の1点をEとすると、(A-B-Eの並び)

∠DBP=(1/2)∠CBE-(1/2)∠A

 これだとうまくいきそうです。

∠DBP=∠CBP-∠CBD・・・①

 題意より、

∠CBP=(1/2)∠CBE・・・②

 1つの弧に対する円周角の大きさは全て等しいことから、

∠CBD=∠DAC=(1/2)∠A・・・③

①に②,③を代入して、

∠DBP=(1/2)∠CBE-(1/2)∠A・・・④

 これで、上の式まで証明できました。次に∠OPBについて考えてみます。

 三角形の外角の性質より

∠OPB=∠EBP-(1/2)∠A

∠EBP=∠CBP=(1/2)∠CBEだから、

∠OPB=(1/2)∠CBE-(1/2)∠A・・・⑤

④,⑤から、

∠DBP=∠OPB

《疑問2》CDはどうすればいいのでしょうか?結局、「OD=PD=BD=CD」を導けていないです(;_;)

 Cの条件とBの条件が名前以外は同じだから、条件の対称性から、Bの場合と同様に証明できます。

 Bと同様に、ACの延長上の1点をFとして、練習してみて下さい。

id:moon-fondu

ありがとうございます!

∠DBP=(1/2)∠CBE-(1/2)∠A・・・④

までは、理解できました。

しかし次の、

「三角形の外角の性質より・・・∠OPB=∠EBP-(1/2)∠A」

という箇所が、わかりません(>_<)

"外角の性質"とは、「三角形の1つの外角は、その隣にない2つの内角の和に等しい。」↓

http://dac.gijodai.ac.jp/it-con/h16_sakuhin/ippan/ippan3/math/2g...

のことでしょうか?

∠OPBを求めたいので、△OPBについて考えなければいけないと思うのですが、EはOBの延長線上ではなくABの延長線上にあるということで、∠Bの外角は関係ないようで・・・ならば、外角∠AOBについて考えればよいのかなと思いました。

でも、OPの延長線上にはAがあるものの、∠EBPがどう関わってくるのか、見当がつきません(;_;)

どうして、

∠OPB=∠EBP-(1/2)∠A

になるのでしょうか?

もしよろしければ、再度ご回答いただけないでしょうか?

理解力が乏しくてすいません<m(__)m>

よろしくお願いします(>_<)

2009/12/27 11:08:34
  • id:rsc96074
    >"外角の性質"とは、「三角形の1つの外角は、その隣にない2つの内角の和に等しい。」↓
     そうです。このことです。
     傍心の定義の「∠Aの2等分線」というとこから、点A、点O、点D、点Pは、一直線上にありますから、
    ∠OPB=∠APB=∠DPB
    になっています。
     だから、∠OPBの代わりに、∠APBについて考えて、△APBについて、「三角形の1つの外角は、その隣にない2つの内角の和に等しい。」という外角の性質を使っています。

    ∠OPB=∠APB・・・①
    「三角形の1つの外角は、その隣にない2つの内角の和に等しい。」から、△APBについて、
    ∠EBP=∠APB+∠BAP
    ∴∠APB=∠EBP-∠BAP
    ∠BAP=(1/2)∠Aだから、
    ∠APB=∠EBP-(1/2)∠A・・・②
    ①,②から、
    ∴∠OPB=∠EBP-(1/2)∠A

     図を描いておきました。参考までにどうぞ。青い線に着目して下さい。
    ※参考URL
    http://f.hatena.ne.jp/rsc96074/20091227130219
  • id:moon-fondu
    再度ご回答いただき、ありがとうございます!

    ∠OPB=∠EBP-(1/2)∠A

    になる理由が、すごくよくわかりました。
    △ABPが見えてなかったです(^_^;)



    そして④、⑤で、△DBPが二等辺三角形であることが判明し、

    BD=PD・・・⑥

    が出てくるのですね。

    ACの延長上の1点をFとすると、

    ∠DCP=(1/2)∠BCF-(1/2)∠A (∵∠A=∠BCD)・・・⑦

    ∠OPCについて考えると、三角形の外角の性質より

    ∠OPC=∠FCP-(1/2)∠A・・・⑧
    また、
    ∠FCP=∠BCP=(1/2)∠BCF・・・⑨

    ⑨を⑧に代入すると、

    ∠OPC=(1/2)∠BCF-(1/2)∠A・・・⑩

    ⑦,⑩から、

    ∠DCP=∠OPC

    ∴PD=CD・・・⑪

    ∠OBD
    =(1/2)∠B+∠CBD (ここでの∠Bは、内角の∠Bだと思われます。)
    =(1/2)∠B+(1/2)∠A (∵1つの弧に対する円周角の大きさは全て等しいことから、∠CBD=∠DAC)
    =∠DOB (∵三角形の外角の性質より)

    ∴OD=BD・・・⑫

    ∠OCD
    =(1/2)∠C+∠BCD (内角の∠C)
    =(1/2)∠C+(1/2)∠A (∵∠BCD=∠BAD)
    =∠DOC (∵三角形の外角の性質より)

    ∴OD=CD・・・⑬

    ⑥、⑪、⑫、⑬より、

    OD=PD=BD=CDは成り立つ。



    rsc96074さんのおかげで、うまくいきました。
    ありがとうございます(^_^;)

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