高校数学の整数問題です。数学の得意な方お願い致します。


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5つの整数がある。
その中から3つの整数を選ぶ。
その3つそれぞれの整数のn乗を考える。(n:自然数)
その和を考える。・・・★

最初どのような5つの整数が準備されていたとしても、
★を3の倍数にする組み合わせを見つけることが
可能であることを示せ。
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回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2009/12/30 05:53:39
  • 終了:2010/01/02 12:41:19

回答(3件)

id:imo758 No.1

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192009/12/30 07:38:11

ポイント35pt

1.3で割ってあまりが0の数が3つあればその和は3の倍数

2.3で割ってあまりが1の数が3つあればその和は3の倍数

3.3で割ってあまりが2の数が3つあればその和は3の倍数

4.それ以外の場合は3で割ったあまりが0の数も1の数も2の数も

それぞれ2つしかないので、逆に言えば3で割ったあまりが0の数と

1の数と2の数がそれぞれ1つ以上存在する

3で割ったあまりが0の数と1の数と2の数の和は3の倍数

id:miku1973

シンプルですが完璧と思います。

2010/01/02 12:41:01
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032009/12/30 09:23:47

ポイント35pt

 その5つの数は、剰余で分類すると、3n+i(ただし、i=0,1,2)の形で表すことができる。

(A,B,C)=(0,1,2),または、(0,2,1),(1,0,2),(1,2,0),(2,0,1),(2,1,0)とすると、5つの数は、次のパターンになる。「{ }」は、組合せを表すことにする。

AAAAA型:{0,0,0,0,0},{1,1,1,1,1},{2,2,2,2,2}

AAAAB型:{0,0,0,0,1},{0,0,0,0,2},{1,1,1,1,0},{1,1,1,1,2},{2,2,2,2,0},{2,2,2,2,1}

AAABB型:{0,0,0,1,1},{0,0,0,2,2},{1,1,1,0,0},{1,1,1,2,2},{2,2,2,0,0},{2,2,2,1,1}

AAABC型:{0,0,0,1,2},{1,1,1,0,2},{2,2,2,0,1}

AABBC型:{0,0,1,1,2},{0,0,2,2,1},{1,1,2,2,0}

 まず、上4つのAを3つ含む型からは、AAAを選ぶ場合、3つの数を{3a+i,3b+i,3c+i}(ただし、i=0,1,2)とすると、

 中国の剰余の定理から、

3a+i≡i,3b+i≡i,3c+i≡i (mod 3)であるから、

(3a+i)^n+(3b+i)^n+(3c+i)^n≡3×(i^n)≡0 (mod 3)

よって、3で割り切れる。

 次に、最後のAABBC型からは、nが奇数のとき、ABCを選ぶと、3つの数を{3a,3a+1,3b+2}とすると、

3a≡0,3b+1≡1,3c+2≡2≡-1 (mod 3)であるから、

(3a)^n+(3b+1)^n+(3c+2)^n≡0+1+(-1)^n≡1-1≡0 (mod 3) (∵nは、奇数)

 よって、3で割り切れる。

 また、nが偶数のとき、剰余が0以外のものを3つ選べば、3つの数は、{3a+1,3b+1,3c+2}または、{3a+1,3b+2,3c+2}

(3a+1)^n+(3b+1)^n+(3c+2)^n≡1+1+(-1)^n=1+1+1=3≡0 (∵nは、偶数)

(3a+1)^n+(3b+2)^n+(3c+2)^n≡1+(-1)^n+(-1)^n=1+1+1=3≡0 (∵nは、偶数)

 よって、3で割り切れる。

●中国の剰余定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E3%81%AE%E5%89%B...

id:phero No.3

kawasaki回答回数55ベストアンサー獲得回数92009/12/30 18:31:07

ポイント10pt

こんな証明でいかがでしょうか。

(以下では「aのn乗」を「a^n」と表記することにします。)

まず、以下の命題(i)~(iii)が全て真であることは自明です。
(i) xを3で割った余りが0であれば、
    x^n を3で割った余りは0である。
(ii) xを3で割った余りが1であれば、
    x^n を3で割った余りは1である。
(iii) xを3で割った余りが2であれば、
    x^n を3で割った余りは
        nが奇数なら2、
        nが偶数なら1
    である。

また、ある2つの整数 x, y を3で割った余りが等しいとき、
x^n と y^n を3で割った余りがそれぞれ等しくなることは自明ですので、
5つの整数を a, b, c, d, e とし、
    0 ≦ a ≦ b ≦ c ≦ d ≦ e ≦ 2
として考えても一般性を失いません。

a, b, c, d, e の中に同じ数字が3つ以上あれば、
その中から3つを選択することによってn乗の和を3の倍数にすることができます。
(例えば (a, b, c, d, e) = (0, 1, 1, 1, 2) のとき、
  3つの整数として b, c, d を選択すれば b^n + c^n + d^n は3の倍数となります。)

そこで、同じ数字が3つ以上存在しない場合を考えれば十分ということになります。
そのようなケースは
    (0, 0, 1, 1, 2)
    (0, 0, 1, 2, 2)
    (0, 1, 1, 2, 2)
の3通りしかありません。

(A) (a, b, c, d, e) = (0, 0, 1, 1, 2) の場合
    (A-1) nが奇数の場合
        (i)~(iii)より、a~eのn乗を3で割った余りは(0, 0, 1, 1, 2)となります。
        このとき a, c, e を選択すれば a^n + c^n + e^n を3の倍数にすることができます。
    (A-2) nが偶数の場合
        (i)~(iii)より、a~eのn乗を3で割った余りは(0, 0, 1, 1, 1)となります。
        このとき c, d, e を選択すれば c^n + d^n + e^n を3の倍数にすることができます。
(B) (a, b, c, d, e) = (0, 0, 1, 2, 2) の場合
    (B-1) nが奇数の場合
        (i)~(iii)より、a~eのn乗を3で割った余りは(0, 0, 1, 2, 2)となります。
        このとき a, c, d を選択すれば a^n + c^n + d^n を3の倍数にすることができます。
    (B-2) nが偶数の場合
        (i)~(iii)より、a~eのn乗を3で割った余りは(0, 0, 1, 1, 1)となります。
        このとき c, d, e を選択すれば c^n + d^n + e^n を3の倍数にすることができます。
(C) (a, b, c, d, e) = (0, 1, 1, 2, 2) の場合
    (C-1) nが奇数の場合
        (i)~(iii)より、a~eのn乗を3で割った余りは(0, 1, 1, 2, 2)となります。
        このとき a, b, d を選択すれば a^n + b^n + d^n を3の倍数にすることができます。
    (C-2) nが偶数の場合
        (i)~(iii)より、a~eのn乗を3で割った余りは(0, 1, 1, 1, 1)となります。
        このとき b, c, d を選択すれば b^n + c^n + d^n を3の倍数にすることができます。

以上より、5つの整数がどのようなものであっても
n乗の和が3の倍数になるような3つの整数を選べることが示せました。
  • id:rsc96074
     剰余i={0,1,2}の3種類のものから、重複を許して5個取る組合せの数、3H5=(3+5-1)C5=7C5=7C2=21で、上の分類は全パターン尽くしているようです。それから、中国の剰余の定理ですが、今はどうかわかりませんが、10年以上前の赤チャートには「剰余系」として載っていました。
  • id:phero
    自分の回答は高校生らしく作成したものですがそれは置いといて、
    imo758さんの回答を答案用紙に書くとおそらく減点されてしまいますので、
    その点ご注意ください。
    減点対象となるのは
    「3で割ったあまりが0の数と1の数と2の数の和は3の倍数」
    という部分です。


    nが偶数(例えば4とします)のとき、5数が「1, 2, 3, 4, 5」だったとして、
    imo758さんの回答によれば「1, 2, 3」を選べば題意を満たすはずですが、
    実際は 1^4 + 2^4 + 3^4 = 1 + 16 + 81 = 98 となり、
    これは3の倍数となりません。


    揚げ足を取るつもりはありませんが、
    受験に悪影響を与えるとよろしくないと思いコメントいたしました。
  • id:imo758
    「n乗が済んだ5数で考える」が抜けてましたね。
    すいません。
  • id:phero
    やたらと遅いレスで恐縮ですが、
    ちょっと勘違いしていた部分がありました^^;
    一言加えるだけで確かにシンプルかつ完璧ですね。
    こちらこそ失礼いたしました^^;

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