円周率が3.16より小さいことを示して下さい!


http://pub.idisk-just.com/fview/qTXX5emK7xt1jJFhX0tr7xTDNHG0PK0wlI9CJ5y6ZvlxsL4pN07lrBi1dvq9ZggZ/44Kz44OU44O8IO-9niBTQVZFMDAzNQ.JPG
※こちらの不等式を上手く活用して解いて頂きたいのですが、
 苦手のため苦戦しております。高校数学としての解法を
 作成したく思っており、その点ご配慮いただければ
 嬉しいです。

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2009/12/30 20:54:57
  • 終了:2009/12/31 20:50:54

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4391ベストアンサー獲得回数4022009/12/31 12:48:50

ポイント40pt

f(x)={1/√(1-x^2)}+(1-x^2)/√(1-x^2)={1/√(1-x^2)}+√(1-x^2)だから、

I=∫{1/√(1-x^2)}dx+∫√(1-x^2)dxとすると、

=asin(x)+(1/2){x√(1-x^2)+asin(x)}

=(1/2)x√(1-x^2)+(3/2)asin(x)

 それで、与えられた不等式の左辺をI(x)として、x=1/2とおくと、

I(1/2)=(1/2)(1/2)√{1-(1/2)^2}+(3/2)(π/6)

=√(3)/8+π/4・・・①

 与えられた不等式の右辺をg(x)とすると、

f(1/2)={2-(1/2)^2}/[√{1-(1/2)^2}]

=7√(3)/6

∴g(1/2)=(1/2)[{(1/2)7√(3)/6}+1]

=7√(3)/24+1/2・・・②

 よって、①,②から、

π/4+√(3)/8<7√(3)/24+1/2

∴π+√(3)/2<7√(3)/6+2

∴π<2+2√(3)/3=3.15470053837925・・・<3.16

∴π<3.16

 高校数学を考慮と言うことで、定積分でx=sin(t)とおいて置換積分を使います。

dx/dt=cos(t)∴dx=cos(t)dt, x=[0,1/2]→t=[0,π/6]

1/√(1-x^2)=1/√{1-sin^2(t)}=1/cos(t)

∴∫[0,1/2]dx/√(1-x^2)=∫[0,π/6]dt=π/6・・・③

√(1-x^2)=cos(t)

∴∫[0,1/2]√(1-x^2)dx=∫[0,π/6]cos^2(t)dt

=(1/2)∫[0,π/6]{1+cos(2t)}dt

=(1/2)[1+(1/2)sin(2t)][0,π/6]

=π/12+(1/4)sin(π/3)

=π/12+√(3)/8・・・④

③+④

I(1/2)=π/6+π/12+√(3)/8

=√(3)/8+{(2+1)/12}π

=√(3)/8+π/4

※参考URL

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%282-x%5E2%29%2Fsqrt...

●円周率はほぼ3.14である

http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~nakamura/pi031102.pdf

id:miku1973

非常にわかりやすい解説でした。

コメントの補足がなおよかったです。

高校数学の質問はよくするので、今後もどうぞよろしくお願い致します。

2009/12/31 20:50:27

その他の回答(2件)

id:U-tan No.1

U-tan回答回数64ベストアンサー獲得回数102009/12/31 11:43:12

ポイント30pt

積分を実行し,不等式を整理すると

x + x/(2 Sqrt[1 - x^2]) > 3 ArcSin[x]/2

これにx=1/2を代入し整理して

(6+2 Sqrt[3])/3 > Pi

Sqrt[3] < 1.733なので

左辺<9.466/3<3.156・・・.すなわち円周率は3.16より小さい.


ただし,積分実行に際し,被積分関数は

Sqrt[1 - t^2] + 1/Sqrt[1-t^2]

に等しく,

t=Sin[u](0≦u≦Pi/2)として置換積分すれば(積分範囲は0→xが,0→ArcSin[x]に変わる.)

3 ArcSin[x]/2+x Sqrt[1-x^2]/2

となる.

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4391ベストアンサー獲得回数4022009/12/31 12:48:50ここでベストアンサー

ポイント40pt

f(x)={1/√(1-x^2)}+(1-x^2)/√(1-x^2)={1/√(1-x^2)}+√(1-x^2)だから、

I=∫{1/√(1-x^2)}dx+∫√(1-x^2)dxとすると、

=asin(x)+(1/2){x√(1-x^2)+asin(x)}

=(1/2)x√(1-x^2)+(3/2)asin(x)

 それで、与えられた不等式の左辺をI(x)として、x=1/2とおくと、

I(1/2)=(1/2)(1/2)√{1-(1/2)^2}+(3/2)(π/6)

=√(3)/8+π/4・・・①

 与えられた不等式の右辺をg(x)とすると、

f(1/2)={2-(1/2)^2}/[√{1-(1/2)^2}]

=7√(3)/6

∴g(1/2)=(1/2)[{(1/2)7√(3)/6}+1]

=7√(3)/24+1/2・・・②

 よって、①,②から、

π/4+√(3)/8<7√(3)/24+1/2

∴π+√(3)/2<7√(3)/6+2

∴π<2+2√(3)/3=3.15470053837925・・・<3.16

∴π<3.16

 高校数学を考慮と言うことで、定積分でx=sin(t)とおいて置換積分を使います。

dx/dt=cos(t)∴dx=cos(t)dt, x=[0,1/2]→t=[0,π/6]

1/√(1-x^2)=1/√{1-sin^2(t)}=1/cos(t)

∴∫[0,1/2]dx/√(1-x^2)=∫[0,π/6]dt=π/6・・・③

√(1-x^2)=cos(t)

∴∫[0,1/2]√(1-x^2)dx=∫[0,π/6]cos^2(t)dt

=(1/2)∫[0,π/6]{1+cos(2t)}dt

=(1/2)[1+(1/2)sin(2t)][0,π/6]

=π/12+(1/4)sin(π/3)

=π/12+√(3)/8・・・④

③+④

I(1/2)=π/6+π/12+√(3)/8

=√(3)/8+{(2+1)/12}π

=√(3)/8+π/4

※参考URL

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%282-x%5E2%29%2Fsqrt...

●円周率はほぼ3.14である

http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~nakamura/pi031102.pdf

id:miku1973

非常にわかりやすい解説でした。

コメントの補足がなおよかったです。

高校数学の質問はよくするので、今後もどうぞよろしくお願い致します。

2009/12/31 20:50:27
id:ey272 No.3

ey272回答回数10ベストアンサー獲得回数12009/12/31 12:14:04

ポイント10pt

質問欄の不等式がわからないかったので、数学の勉強のため自分なりに解いてみました。

正24角形に内接する円(半径r)を考えた場合、

円周(2πr) < 正24角形の外周

正24角形の一辺を1とした場合、

2πr < 24

π < 12/r

r = 1/2tan(7.5)

ピタゴラスの定理を使ってtan(7.5) = 1/(2+√3+√(8+4√3))

12/r = 3.15965・・・

π < 3.15965・・・ < 3.16

よって、πは3.16より小さくなる。

綺麗な求め方ではないですが・・・

これでは駄目でしょうか?

  • id:U-tan
    Sqrt[3] < 1.74なので
    左辺<3.16
    のほうが美しかった.
  • id:rsc96074
    ※補足
     3.16と{2+2√(3)/3}の大小については、両者の差をDとすると、
    D=3.16-{2+2√(3)/3}
    =1.16-2√(3)/3
     1.16と2√(3)/3の大小を比べるために、両者を2乗して差をとると、
    (1.16)^2-{2√(3)/3}^2=1.3456-4/3
    =0.3456-1/3
    =(1.0368-1)/3
    =0.0368/3>0
    よって、1.16>2√(3)/3だから、D>0
    したがって、
    3.16>{2+2√(3)/3}
  • id:ey272
    不等式を使わなかったのですが、
    下記で求まりました。

    一辺が1の正24角形に内接する円(半径r)を想定する。

    円周 < 正24角形の外周
    2πr < 24

    π < 12/r

    r = 1/2tan(7.5)
    ピタゴラスの定理より
    tan(7.5) = 1/(2+√3+√(8+4√3))

    したがって、
    π < 3.159・・・ < 3.16

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