高校数学の確率の問題です。解法を導いて頂ければ幸いです。


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・1からnまでの整数が書かれたカードがある(計n枚)
・ここから4枚を取り出し1列に並べる
・カードの数字を左からa、b、c、dとする

(b-d)/(a-d)<(b-c)/(a-c)<b/a<(b+c)/(a+c)<(b+d)/(a+d)
となる確率はいくつか?

※nは4以上の整数
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ちょっと複雑になりがちなので整理したいのと、n枚という
条件が苦手でして(笑)、得意な方、高校の頃を思い出し
お願い致します。

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2010/01/01 10:42:46
  • 終了:2010/01/03 15:51:57

ベストアンサー

id:U-tan No.1

U-tan回答回数64ベストアンサー獲得回数102010/01/01 12:53:44

id:miku1973

ありがとう!

非常にわかりやすい解法でした。完璧と思います。

数学の質問はよくするので今後もお願いします!

2010/01/03 15:51:43

その他の回答(3件)

id:U-tan No.1

U-tan回答回数64ベストアンサー獲得回数102010/01/01 12:53:44ここでベストアンサー

id:miku1973

ありがとう!

非常にわかりやすい解法でした。完璧と思います。

数学の質問はよくするので今後もお願いします!

2010/01/03 15:51:43
id:phero No.2

kawasaki回答回数55ベストアンサー獲得回数92010/01/01 15:20:34

ポイント10pt

まず不等式を整理します。

b/a < (b+c)/(a+c)

を満たすためには

b/a < (b+c)/(a+c)
    ⇔ b(a+c) < a(b+c) (∵1≦a、1≦c)
    ⇔ ab + bc < ab + ac
    ⇔ b < a (∵1≦c) ----- ①

が必要十分です。

同様に、

(b+c)/(a+c) < (b+d)/(a+d)
    ⇔ (a+d)(b+c) < (a+c)(b+d) (∵1≦a、1≦c、1≦d)
    ⇔ ab + ac + bd + cd < ab + ad + bc + cd
    ⇔ ac + bd < ad + bc
    ⇔ a(c-d) < b(c-d)
    ⇔ c - d < 0 (∵①)
    ⇔ c < d ----- ②

が必要十分です。


また、

(b-c)/(a-c) < b/a

を満たすためには、

(i) a < c の場合
    (b-c)/(a-c) < b/a
        ⇔ a(b-c) > b(a-c) (∵ a < c、1≦a)
        ⇔ ab - ac > ab - bc
        ⇔ a < b (∵1≦c)
    これは①に反するので、a < c は不適合
(ii) a > c の場合
    (b-c)/(a-c) < b/a
        ⇔ a(b-c) < b(a-c) (∵ a > c、1≦a)
        ⇔ ab - ac < ab - bc
        ⇔ a > b (∵1≦c)
(i)(ii)より、a > c ----- ③

同様に

(b-d)/(a-d) < (b-c)/(a-c)

を満たすためには、

(i) a < d の場合
    (b-d)/(a-d) < (b-c)/(a-c)
        ⇔ (a-c)(b-d) > (b-c)(a-d) (∵ a < d、③)
        ⇔ ab - ad - bc + cd > ab - ac - bd + cd
        ⇔ a(c-d) > b(c-d)
        ⇔ a < b (∵②)
    これは①に反するので、a < d は不適合
(ii) a > d の場合
    (b-d)/(a-d) < (b-c)/(a-c)
        ⇔ (b-d)(a-c) < (b-c)(a-d) (∵a > d、③)
        ⇔ ab - ad - bc + cd < ab - ac - bd + cd
        ⇔ a(c-d) < b(c-d)
        ⇔ a > b (∵②)
(i)(ii)より、a > d ----- ④

以上より、問題の不等式が成立するためには

b < a (①)
c < d < a (②③④)

が必要十分条件となります。

4枚のカードがこれを満たす確率は、

aが4数の中で最も大きくなる確率 = 1/4
c < d となる確率 = 1/2

の積であり、答えは

1/8

となります。

id:rsc96074 No.3

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032010/01/01 19:49:25

ポイント10pt

 (b-d)/(a-d)<(b-c)/(a-c)<b/a<(b+c)/(a+c)<(b+d)/(a+d)

 全辺からb/aを引くと、

 -{(a-b)d}/{a(a-d)}<-{(a-b)c}/{a(a-c)}<0<{(a-b)c}/{a(a+c)}<{(a-b)d}/{a(a+d)}

∴-{(a-b)/a}*{d/(a-d)}<-{(a-b)/a}*{c/(a-c)}<0<{(a-b)/a}*{c/(a+c)}<{(a-b)/a}*{d/(a+d)}

全辺を(a-b)/a=1-b/aで割って、

(1)a<bのとき、符号の向きが変わって</p>

 -d/(a-d)>-c/(a-c)>0>c/(a+c)>d/(a+d)

 a,b,c>0なのに、右2つが負になっているので矛盾。よって、a>b

(2)a>bのとき、

 -d/(a-d)<-c/(a-c)<0<c/(a+c)<d/(a+d)

この式を次の2つに分けてみる。

 -d/(a-d)<-c/(a-c)<0・・・①

 0<c/(a+c)<d/(a+d)・・・②

①から、全辺に(-1)をかけて、

 d/(a-d)>c/(a-c)>0

a>c,a>dで、また、

 d(a-c)>c(a-d)

∴ad-cd>ac-cd

∴ad>ac

 a>0だから、d>c

よって、

 a>d>c

②から、

 c(a+d)<d(a+c) </p>

∴ac+cd<ad+cd </p>

∴ac<ad </p>

 a>0だから、c<d </p>

 これは上を満たしている。したがって、

 a>bのとき、a>d>c・・・③

 n≧4のとき、4枚選んだときに、どんな選び方でも大小関係は1通りに決まるので、確率は同じになるから、

n=4のときの、(a,b,c,d)の全パターン4!=24通りについて、③を満たしているものを見つけると

まず、③から、a=4

a,b,c,d

4,1,2,3・・・○

4,1,3,2・・・x

4,2,1,3・・・○

4,2,3,1・・・x

4,3,1,2・・・○

4,3,2,1・・・x

 したがって、求める確率は、3/24=1/8

id:ey272 No.4

ey272回答回数10ベストアンサー獲得回数12010/01/02 17:37:06

ポイント10pt

問の式を下記のように①~④に別ける。

(b+d)/(a+d) > (b+c)/(a+c) ・・・①

(b+c)/(a+c) > b/a ・・・②

b/a > (b-c)/(a-c) ・・・③

(b-c)/(a-c) > (b-d)(a-d) ・・・④

とすると、

①かつ②かつ③かつ④を満たす確率が答えとなる。


まず、

①の式の両辺に(a+d)(a+c)を掛けると、

(c-d)(b-a) > 0

つまり、この式を満たすには、

c>d and b>a ・・・①-1

or

c<d and b<a ・・・①-2      </p>

次に、

②の式の両辺にa(a+c)を掛けると、

c(a-b) > 0

つまり、この式を満たすには、

a>b ・・・②-1


次に

③の式の両辺にa(a-c)を掛けると、

a>c の時 c(a-b) > 0 , a<cの時 c(a-b) < 0    </p>

つまり、この式を満たすには。

a>c and a>b ・・・③-1  

or

a<c and a<b ・・・③-2   </p>

つまり、

①②③の組み合わせをすべて満たすのは、

①-2 and ②-1 and ③-2

だから、

a>b and d>c and a>c ・・・⑤

となる。


最後に、

④の式の両辺に(a-d)(a-c)を掛けて、

④の式を満たし、且つ⑤を満たす組み合わせは

a>c and d>c and a>c and d>a ・・・⑥


⑥を並べ替えると

a>b and d>a and a>c

※d>a>c ならば、d>cなので、d>cは不要。


a>b and d>a and a>c の確率は1/2×1/2×1/2 =1/8


よって問の式を満たす確率は1/8

  • id:ey272
    [追記 修正です。]
    >a>c and d>c and a>c and d>a ・・・⑥
    >⑥を並べ替えると
    >a>b and d>a and a>c
    >※d>a>c ならば、d>cなので、d>cは不要。
    >a>b and d>a and a>c の確率は1/2×1/2×1/2 =1/8

    下記に修正致します。
    a>b and d>c and a>c and a>d ・・・⑥
    ⑥を並べ替えると
    a>b a>d and d>c
    ※a>d>c ならば、a>cなので、a>cは不要。
    a>b and a>d and d>c の確率は1/2×1/2×1/2 =1/8

    よって問の式を満たす確率は1/8

    大変申し訳ありませんでした!

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