高校数学の領域を図示する問題なんですが、考え方(解法)を含め

どのような領域をとるのか教えていただけないでしょうか。

---
0≦θ≦2π・・・A
x^2-3xcosθ+y^2+ysinθ+cos2θ=0・・・B

Aの範囲でθが動くとき、Bがとりうる領域を
xy平面に図示せよ。
---

回答は1月5日(火)18時以降に開きますのでゆっくり考えて
頂いて大丈夫です。
どうぞよろしくお願い致します。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2010/01/04 21:32:19
  • 終了:2010/01/09 09:45:01

回答(3件)

id:ita No.1

ita回答回数204ベストアンサー獲得回数482010/01/05 18:04:34

ポイント60pt

x^2-3xcosθ+y^2+ysinθ+cos2θ=0

を変形すると

(x-3cosθ/2)^2 + (y+sinθ/2)^2 = 5/4

となります。すなわち原点に中心があり、長軸がxでx=±3/2を通り、短軸がyでy=±1/2を通る楕円を考え、その上を中心が通るように半径√5/2の円を一周させたときに円周が通る領域ということになります。

短軸は円の半径より短いので楕円内部は全部つぶれます。外側は、楕円を外側にむかって√5/2だけ広げた線が境界となりますがこれは正確には楕円ではありません。

試験ならばそういう図形をざっくり書けば正解と思われます。外側の線を厳密な式で書くことは高校数学の範囲外と思います。いちおうパラメータ表示でやった図を添付します。

f:id:ita:20100105180321p:image

id:miku1973

ありがとうございました!

自力ではわかりにくかったので助かります。

また宜しくお願いします。

他の方もありがとうございました!

2010/01/09 09:44:44
id:kamikun No.2

kamikun回答回数27ベストアンサー獲得回数72010/01/05 17:09:40

ポイント10pt

x^2-3xcosθ+y^2+ysinθ+cos2θ=0

(x-(3/2)cosθ)^2 + (y+(1/2)sinθ)^2 = (9/4)cos^2θ + (1/4)sin^2θ - (cos^2θ-sin^2θ) (∵cos2θ=cos^2θ-sin^2θ)

(x-(3/2)cosθ)^2 + (y+(1/2)sinθ)^2 = (5/4)(cos^2θ+sin^2θ) = 5/4 (∵cos^2θ+sin^2θ=1)


Bは((3/2)cosθ,-(1/2)sinθ)を中心とする半径√5/2の円であることがわかりました。

で、x=(3/2)cosθ、y=-(1/2)sinθは、長軸が(3/2)*2、短軸が(1/2)*2の楕円の媒介変数表示です。

((3/2)cosθ=(3/2)cos(-θ)、-(1/2)sinθ=(1/2)sin(-θ)なので、逆回転になりますが、条件Aより1回転するので、マイナスが付いていない場合と変わりありません)


求める領域は、長軸が((3+√5)/2)*2、短軸が((1+√5)/2)*2の楕円を少しだけふっくらさせた曲線(上下左右の端は同じ)とその内側になります。

(θに適当な値(π/2等)を入れて計算すれば、楕円より少しだけ大きくなることがわかります)


FunctionViewというソフトを使うとわかりやすいです。

http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/

id:boxeur No.3

b回答回数8ベストアンサー獲得回数32010/01/05 18:44:58

ポイント10pt

x^2-3x cosθ+y^2+y sinθ+cos2θ=0・・・(B)

(B) を平方完成すると、

(x-3/2 cosθ)^2+(y+1/2 sinθ)^2=5/4

これは(3/2 cosθ, -1/2 sinθ)を中心とする半径√5/2の円。この中心点をPとおく。

中心の軌跡は、 x=3/2 cosθ, y=-1/2 sinθ。

θを消去する:

(cosθ)^2+(sinθ)^2=1

⇔(2x/3)^2+(-2y)^2=1

⇔(x^2)/(3/2)^2+(y^2)/(1/2)^2=1……(*)

このように楕円となる。

θの定義域から、点Pはこの楕円の全ての領域を動く。

ーーーーーーここまで中心点Pの軌跡を求めた。以降は(B)の領域を求めるーーーーーーーー

求めるべき領域は、このような楕円上を動く点Pを中心とする半径√5/2の円。つまりドーナツ状の領域と予想出来る(この時点では「穴が空いてる」保障が無い)。

外部(原点とは反対側の領域)は簡単に図示出来るので、内部について考える。

原点では(B)⇔cosθ=0⇔θ=0 or 2πとなり(A)の条件を満たすので、「原点は含まれる」形状となる。以上を総合すると、求める領域は楕円。

図示の仕方は、以下の通り:

⑴ (*)のx・y切片(3/2, 1/2)を通る楕円を描く。

⑵ 楕円の焦点を書く。焦点の座標は( ±√((3/2)^2-(1/2)^2), 0)=(±√2, 0)

⑶  x・y切片を√5/2ずつ延長した楕円を描く。この楕円の外周および内部が図示すべき領域。

  • id:boxeur
    すいません、投稿後重大なミスに気付きました。
    式(B)を不等式として回答してしまいました。
    正しくはid:itaさんのように、「楕円上を動く」軌跡です。
    御迷惑おかけします(投稿内容自体はちょろっと式変形しただけで、id:itaさんの回答とあまり変わりませんので、それを踏まえてオープンしないなりしてください)
    失礼しました。
  • id:boxeur
    またまたすいません
    >1 回答者:ita 2010-01-05 18:04:34
    >外側は、楕円を外側にむかって√5/2だけ広げた線が境界となりますがこれは正確には楕円ではありません。
    を踏まえると根本的に自分の回答は間違ってますね.詰めが甘すぎました.回答オープンする価値無いので開かないでください m(_ _)m
    お手数かけます.
  • id:rsc96074
     ちょっと、BASICでプログラムを作ってみましたが、確かに楕円じゃないようです。
    >||

    OPTION ANGLE DEGREES
    SET WINDOW -3,3,-3,3
    DRAW GRID
    '求める領域 {x-(3/2)cosθ}^2+{y+(1/2)sinθ}^2=5/4
    FOR t=0 TO 360
    LET u=(3/2)*COS(t)
    LET v=-(1/2)*SIN(t)
    FOR i=0 TO 360
    PLOT LINES : SQR(5)/2*COS(i)+u,SQR(5)/2*SIN(i)+v;
    NEXT i
    PLOT LINES
    NEXT t
    '中心の軌跡 X^2/(3/2)^2+Y^2/(1/2)^2=1
    SET LINE COLOR 0+6
    FOR t=0 TO 360
    LET u=(3/2)*COS(t)
    LET v=-(1/2)*SIN(t)
    PLOT LINES : u,v;
    NEXT t
    PLOT LINES
    '楕円
    FOR t=0 TO 360
    LET u=(3+SQR(5))/2*COS(t)
    LET v=(1+SQR(5))/2*SIN(t)
    PLOT LINES : u,v;
    NEXT t
    PLOT LINES
    END

    ||<
    ※参考URL
    ●(仮称)十進BASICのホームページ
    http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/

  • id:ttrr
    逆像法で曲線の式まで求まる気もしますが、どうでしょうか。
    入試だったら概図だけではバツでしょうね。

    ここで解答を書くとカッコいいんでしょうが、お恥ずかしいことに
    すっかり勘がにぶってしまいました。
  • id:boxeur
    >逆像法で曲線の式まで求まる気もしますが、どうでしょうか。
    tan(θ/2)=t と置くと(B)は tの4次方程式 となってしまうでちょっと厳しいかと.

    あと俺のコメントはミスが多すぎる.
    >正しくはid:itaさんのように、「楕円上を動く」軌跡です。
    楕円を広げたような図形(境界を含む)だよ.←自己レス
    そりゃそうだ,円周上の点が動いた結果の軌跡なんだから...orz
  • id:kamikun
    今になって気付いた。

    >(θに適当な値(π/2等)を入れて計算すれば、楕円より少しだけ大きくなることがわかります)

    π/2じゃなくてπ/4だ。
    π/2じゃ90度だもんな。
    そこだと一致しちゃう。
  • id:miku1973
    皆様ありがとうございます。
    1点、もしわかれば教えてください。
    円の中心が楕円の周上を動くとき、外側の境界イメージはわかりやすいのですが、
    内側が全部うめつくされるというのは、どのように考えればよいでしょうか?
    (一瞬ドーナツのように穴が開くかも?と思うと思います)
     
    boxeur さんが着眼して下さっていますが、いまいちわからないのです。
    どうぞよろしくお願い致します。
  • id:ita
    あ、それも回答に証明必要かもしれませんね。
    楕円内部の点P(x,y)を考えます。Pを通りy軸に平行な線を考え、これと楕円の交点のうちPに近いほうをQとします。
    PとQは4象限のなかで同じ象限にあります。PとQの距離は明らかに楕円の短軸の半分1/2より短いです。
    したがって√5/2よりも短いです。
    こんどはPと、(±2/3, 0)のちPから遠いほうの点Rの距離を考えます。この距離は明らかに楕円の長軸の半分3/2より長いです。したがって√5/2より大きいです。
    点Sが楕円上を動くとき、距離PSはPRとPQの間の全ての値をとることは明らかなので、どこかでPS=√5/2となり、このときの点Sに対応するθとx、yについて式Bが成り立っているので点Pは範囲に含まれます。
  • id:miku1973
    ita様ありがとう!
    ちょっと腹に落ちないので追加でお願いします!
     
    点Sという点が突然出てきましたが、たぶん楕円上の点だと思います。
       
    いちばん腹に落ちないのは、
    「距離PSはPRとPQの間の全ての値をとる」
    の部分でして、
    ・PR以上に長くなるようなSの位置が存在するのでは?
    ・PQよりも短くなるようなSの位置が存在するのでは?
    と思ってしまうのです。
     
    私としては自明とはいえず、それぞれががPから最も遠い点、最も近い点
    になるという理由がわからないのです。
    (直感的には最も遠そう、最も近そうなのですが・・・)
        
    どうぞよろしくお願い致します。
  • id:ita
    直感的に言うと、点(x、y)からちょうど距離√5/2だけ離れた点が楕円上にあればOK、てことになります。
    なのでそれより近い点と、それより遠い点を楕円の上にみつければその中間にちょうどになる点がある、ということです。
    PR、PQはご指摘の通り最大、最小ではないですが、それは問題ではありません。√5/2より大きいか小さいかだけが問題なので
  • id:miku1973
    ありがとう。わかった気がします。
     
    > 楕円内部の点P(x,y)を考えます。Pを通りy軸に平行な線を考え、
    > これと楕円の交点のうちPに近いほうをQとします。
    > PとQは4象限のなかで同じ象限にあります。PとQの距離は
    > 明らかに楕円の短軸の半分1/2より短いです。
    > したがって√5/2よりも短いです。
     
    この前半部だけで楕円内部の全ての点が円の内部に収まるということが
    言えてはいないでしょうか?
     
    後半部を述べる意味合いがわかりにくいので、そこだけ補足お願いします!
  • id:ita
    たとえば動く円の半径が√5/2じゃなくて1000000だったとします。
    内部の点は入らないですね。。。
  • id:miku1973
    おおおおお!
    なるほど!半径は大きすぎてもダメなのですね。
    言われればそうです。
    開眼しました!
    ありがとうございます!

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  • MEMORANDUM 日々、健康。是どうなの? 2010-01-05 17:57:21
    ParametricPlot[{(Sqrt[5] Cos[a] + 3 Cos[b]) / 2, (Sqrt[5] Sin[a] + Sin[b]) / 2}, {a, 0, 2 Pi}, {b, 0, 2 Pi}] http://q.hatena.ne.jp/1262608336
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