1262706028 ☆数学の下記問題の解き方を教えてください。

講師に質問しても分かりませんでした(_ _)
文字化けしてしまうので、写真に質問と答えを添付します。
よろしくお願いします☆

f(x)を3次の係数が3の3次多項式、g(x)を定数項が1の2次多項式でg(1)=0とする。
さらにlim┬(x→1)⁡〖(f(x))/(g(x))〗=0かつ、 lim┬(x→-1)⁡〖(f(x))/(g(x))=0〗とする。このときf(x)の2次の係数は「アイ」
で、lim┬(x→2)⁡〖(f(x))/(g(x))=3〗 とすると、 lim┬(x→3)⁡〖(f(x))/(g(x))=ウエ/オ〗 となる。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2010/01/06 00:40:31
  • 終了:2010/01/07 11:37:10

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4385ベストアンサー獲得回数4002010/01/06 02:32:42

ポイント42pt

 g(x)の定数項が1だから、g(0)=1・・・①

 g(x)は、2次の多項式で、g(1)=0だから、g(x)は、(x-1)を因数にもち、

 g(x)=(x-1)(ax+b)とおける。

これと①から、

 g(0)=(-1)(b)=1

∴b=-1

 よって、

 g(x)=(x-1)(ax-1)・・・②

 lim[x→1]f(x)/g(x)=0から、f(x)は、(x-1)を因数に持ち、3次の係数が3だから、次のようにおける。

 f(x)=(x-1)(3x^2+px+q)・・・③

②,③から、

 f(x)/g(x)={(x-1)(3x^2+px+q)}/{(x-1)(ax-1)}=(3x^2+px+q)/(ax-1)・・・④

 lim[x→1]f(x)/g(x)=0と④から、

 lim[x→1](3x^2+px+q)/(ax-1)=(3+p+q)/(a-1)=0

∴p+q+3=0・・・⑤

 lim[x→-1]f(x)/g(x)=0と④から、

 lim[x→-1](3x^2+px+q)/(ax-1)=(3-p+q)/(-a-1)=0

∴p-q-3=0・・・⑥

 p,qについての連立方程式⑤,⑥から、

⑤+⑥

 2p=0

∴p=0・・・⑦

これを⑤に代入して、

 (0)+q+3=0

∴q=-3・・・⑧

⑦,⑧を③に代入して、

 f(x)=(x-1)(3x^2-3)=3x^3-3x^2-3x+3・・・⑨

 よって、2次の係数は、-3・・・「アイ」

 また、④,⑦,⑧から、

 f(x)/g(x)=(3x^2+px+q)/(ax-1)=(3x^2-3)/(ax-1)=3(x^2-1)/(ax-1)・・・⑩

 lim[x→2]f(x)/g(x)=3と⑩から、

 lim[x→2]3(x^2-1)/(ax-1)=3(2^2-1)/(2a-1)=3

∴3・3/(2a-1)=3

∴2a-1=3

∴a=2・・・⑪

 よって、⑩,⑪から、

 f(x)/g(x)=3(x^2-1)/(ax-1)=3(x^2-1)/(2x-1)・・・⑫

したがって、

 lim[x→3]f(x)/g(x)=3{(3)^2-1}/{2(3)-1}

=3(9-1)/(6-1)

=24/5・・・「ウエ/オ」

※参考URL

http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack/m/thema101.htm

id:palmcoco

ありがとうございました!!!

大変たすかりました(^^)v

2010/01/07 11:34:14

その他の回答(1件)

id:phero No.1

kawasaki回答回数55ベストアンサー獲得回数92010/01/06 02:00:38

ポイント28pt

ロピタルの定理を使うと簡単に解けます。

(出題者の意図はおそらくロピタルの定理を使わせることにあります。)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%94%E3%82%BF%E3%83%A...


以下、解答の方針を簡単にご説明いたします。

(「aのb乗」のことを「a^b」と書きますので、ご了承ください。)

まず、
f(x) = 3x^3 + ax^2 + bx + c
g(x) = dx^2 + ex + 1
とおく。

lim(x→1) f(x)/g(x) = 0
lim(x→-1) f(x)/g(x) = 0
なので、
f(1) = 0
f(-1) = 0
であることがわかる。
つまり、
f(1) = 3 + a + b + c = 0
f(-1) = -3 + a - b + c = 0
よって、
f(1) + f(-1) = 2a + 2c = 0    ∴ c = -a
f(1) - f(-1) = 6 + 2b = 0    ∴ b = -3

以上より
f(x) = 3x^3 + ax^2 - 3x - a
とかける。

ここで、g(1) = 0 であるので、ロピタルの定理より
lim(x→1) f(x)/g(x) = lim(x→1) f'(x)/g'(x) = 0
つまり f'(1) = 0 なので、
f'(x) = 9x^2 + 2ax - 3
より、
f'(1) = 9 + 2ax - 3 = 0
∴ a = -3

つまり f(x) = 3x^3 - 3x^2 -3x + 3 であることがわかった。


今、g(1) = 0 であるので、
g(1) = d + e + 1 = 0    ----- ①

lim(x→2) f(x)/g(x) = 3
であるということは、
f(2) = 24 - 12 - 6 + 3 = 9 より、
g(2) = 3
よって g(2) = 4d + 2e + 1 = 3    ----- ②

①②より、d = 2, e = -3
∴ g(x) = 2x^2 - 3x + 1

以上より、
f(3) = 81 - 27 - 9 + 3 = 48
g(3) = 18 - 9 + 1 = 10
であるので、

lim(x→3) f(x)/g(x) = 48/10 = 24/5

という感じでしょうか。

ロピタルの定理を高校生が使って良いのか、という議論があるかもしれません。

(少なくとも私が高校生の頃、つまり10年前はありました。)

自分で証明できるくらい理解しているなら使って構わない、

という意見が私の周りの教員や講師には多かったので、私は遠慮なく使っておりました。


ロピタルの定理は使いこなせるようになっておくことをおススメします。

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4385ベストアンサー獲得回数4002010/01/06 02:32:42ここでベストアンサー

ポイント42pt

 g(x)の定数項が1だから、g(0)=1・・・①

 g(x)は、2次の多項式で、g(1)=0だから、g(x)は、(x-1)を因数にもち、

 g(x)=(x-1)(ax+b)とおける。

これと①から、

 g(0)=(-1)(b)=1

∴b=-1

 よって、

 g(x)=(x-1)(ax-1)・・・②

 lim[x→1]f(x)/g(x)=0から、f(x)は、(x-1)を因数に持ち、3次の係数が3だから、次のようにおける。

 f(x)=(x-1)(3x^2+px+q)・・・③

②,③から、

 f(x)/g(x)={(x-1)(3x^2+px+q)}/{(x-1)(ax-1)}=(3x^2+px+q)/(ax-1)・・・④

 lim[x→1]f(x)/g(x)=0と④から、

 lim[x→1](3x^2+px+q)/(ax-1)=(3+p+q)/(a-1)=0

∴p+q+3=0・・・⑤

 lim[x→-1]f(x)/g(x)=0と④から、

 lim[x→-1](3x^2+px+q)/(ax-1)=(3-p+q)/(-a-1)=0

∴p-q-3=0・・・⑥

 p,qについての連立方程式⑤,⑥から、

⑤+⑥

 2p=0

∴p=0・・・⑦

これを⑤に代入して、

 (0)+q+3=0

∴q=-3・・・⑧

⑦,⑧を③に代入して、

 f(x)=(x-1)(3x^2-3)=3x^3-3x^2-3x+3・・・⑨

 よって、2次の係数は、-3・・・「アイ」

 また、④,⑦,⑧から、

 f(x)/g(x)=(3x^2+px+q)/(ax-1)=(3x^2-3)/(ax-1)=3(x^2-1)/(ax-1)・・・⑩

 lim[x→2]f(x)/g(x)=3と⑩から、

 lim[x→2]3(x^2-1)/(ax-1)=3(2^2-1)/(2a-1)=3

∴3・3/(2a-1)=3

∴2a-1=3

∴a=2・・・⑪

 よって、⑩,⑪から、

 f(x)/g(x)=3(x^2-1)/(ax-1)=3(x^2-1)/(2x-1)・・・⑫

したがって、

 lim[x→3]f(x)/g(x)=3{(3)^2-1}/{2(3)-1}

=3(9-1)/(6-1)

=24/5・・・「ウエ/オ」

※参考URL

http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack/m/thema101.htm

id:palmcoco

ありがとうございました!!!

大変たすかりました(^^)v

2010/01/07 11:34:14
  • id:rsc96074
     lim[x→1]f(x)/g(x)=0から、f(x)は、(x-1)を因数にもつことが必要で、
     f(x)=(x-1)h(x)とおくと、
     lim[x→1]f(x)/g(x)=lim[x→1]{(x-1)h(x)}/{(x-1)(ax-1)}
    =lim[x→1]h(x)/(ax-1)
    =h(1)/(a-1)=0
    ∴h(1)=0・・・①
     また、
     lim[x→-1]f(x)/g(x)=lim[x→-1]{(x-1)h(x)}/{(x-1)(ax-1)}
    =(-2)h(-1)/(-2)(-a-1)=0
    ∴h(-1)=0・・・②
    ①,②と3次の係数が3であるから、
    f(x)=3(x-1)^2(x+1)=3(x^3-x^2-x+1)=3x^3-3x^2-3x+3
    でもいいですね。
  • id:palmcoco
    お時間をとっていただいて、本当にありがとうございました!!とてもたすかりました!^^

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