高校数学(高1くらい?)の関数の問題です。苦手のためお願い致します。


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(x+y)^3/(x^3+y^3)≦a

x,yが0より大きい範囲でどのような実数値をとっても、
この不等式を満たすような実数aがあります。
aはどのような値(範囲)をとり得ますか?
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簡単かもしれませんが、高校までに習う知識で解けると嬉しいです。
どうぞよろしくお願い致します!

なんとなくaの上限は無限大のような気がしていますが、
下限がどうなるのか興味があります。

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2010/01/09 10:03:27
  • 終了:2010/01/10 04:06:52

回答(2件)

id:U-tan No.1

U-tan回答回数64ベストアンサー獲得回数102010/01/09 14:08:05

ポイント60pt

x>0かつy>0より

(x + y)^3/(x^3 + y^3) = 1 + 3 / {(y/x) - 1 + (x/y)}

y/x + x/y = (Sqrt[y/x] - Sqrt[x/y])^2 + 2 ≧ 2

第一式が (y/x) + (x/y) ≧ 2 のもとでとりうる値の範囲は(1より大きく)4以下.

以上より a ≧ 4




ただし,(x + y)^3/(x^3 + y^3) = (x + y)^3 / (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)^2 / (x^2 - xy + y^2) = 1 + 3xy / (x^2 - xy + y^2) = 1 + 3 / {(y/x) - 1 + (x/y)}


別の解法としては第一式の左辺をx^3で分子・分母を割って y/x = r の一変数関数としてしみて微分法を用いて左辺のとりうる値の範囲を考えることが考えられます.

id:miku1973

いつもありがとうございます。

わかりやすすぎて感動です!

2010/01/09 19:38:36
id:imo758 No.2

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192010/01/09 14:46:07

ポイント10pt

\frac{(x+y)^3}{x^3+y^3} = \frac{x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3}{x^3+y^3}

=1 + \frac{3xy(x+y)}{(x+y)(x^2 - xy + y^2)

=1 + \frac{3}{(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 1)

ここで相加・相乗の法則より

\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} \ge \sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}

\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2 等号は\frac{x}{y} = \frac{y}{x}のとき成立

よって

1 + \frac{3}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 1} \le 1 + \frac{3}{2 - 1} = 4

まとめると

\frac{(x+y)^3}{x^3+y^3} \le 4

よって 4 ≦ a が求める a の範囲となる。

  • id:U-tan
    補足:
    正の実数 r について f(r) = r + 1/r のとりうる値の範囲を定める.
    df/dr = 1 - r^-2 = (1 + 1/r)(1 - 1/r)
    正の実数 r について g(r) = 1 / r は dg/dr = -r^2よりrが正の範囲で単調減少.
    r = 1のとき f(r)= 2で f(r) は最小,r→+0または+∞で f(r)→+∞,f(r)はrが正の範囲で連続.
    という注意があったほうが論理的に厳密でした.
  • id:imo758
    U-tanさんの解法に同じですので
    回答は未開封でかまいません。

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