【モンティ・ホール問題】


昨日、「ラスベガスをぶっつぶせ」という映画を観ました。
その映画の中で、以下のページにある「モンティ・ホール問題」というのをやっていました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E6%8E%A8%E5%AE%9A

あれは天才が主人公の映画ですが、私はギリ天才ではないので、
モンティ・ホール問題の意味が理解できませんでした。

どうして途中で残りの扉だけ当たりの確率が高くなるのか、ちょっと良く分かりません。
※続きコメントで。

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  • 登録:2010/01/09 15:21:04
  • 終了:2010/01/09 17:40:08

ベストアンサー

id:gday No.3

gday回答回数383ベストアンサー獲得回数712010/01/09 16:07:02

ポイント100pt

この問題は選択肢が3つなどの数が少ない場合の方が直感的に分りにくいと思います。

扉が3つではなく100個あると考えた方が分りやすいですよ。


100個の扉の一つを選んだ後で司会者が残り99個の扉のうち98個の扉を開けて「この98個の扉には当たりは入っていませんでした。さあ、あなたは最初に選んだ扉のままですか?それとも残り1個の扉に鞍替えしますか?」と言われたら明らかですよね。

最初に100個の中から1個をあなたは選んだのが当たりである確率と、司会者が99個の中から98個まではずれを除外してくれた1個が当たりである確率と、どちらが大きいでしょうか?



http://ishi.blog2.fc2.com/blog-entry-182.html

id:ryota11

100個の扉の一つを選んだ後で司会者が残り99個の扉のうち98個の扉を開けて「この98個の扉には当たりは入っていませんでした。さあ、あなたは最初に選んだ扉のままですか?それとも残り1個の扉に鞍替えしますか?」と言われたら明らかですよね。

なんか納得出来そうなのですが、

これでもやはり、どっちも元々100個あったものの1つなのだから、

100分の1同士なんじゃないか・・・と思ってしまうのですが・・・。

もう私の頭は手遅れなんですかね・・・。



あああ、猫の説明のを見たら分かりました!!

ありがとうw

2010/01/09 16:40:00

その他の回答(5件)

id:ekkun22 No.1

ekkun22回答回数35ベストアンサー獲得回数12010/01/09 15:39:57

ポイント10pt

似たような問題をもう一つ。ある人に子供が二人いることがわかっています。二人のうち、一人が男の子だとわかったとき、もう一人が男の子、女の子である確率はどれくらいでしょうか。

「もちろん、50%づつだ」と思う人が多いと思いますが、答えは女の子である確率が3分の2、男の子である確率は3分の1です。二人の子供がいるとき、年上を左、年下を右に書いて、組み合わせを考えると、1)(女、女)2)(女、男)3)(男、女)4)(男、男)です。二人のうち一人が男の子とわかったわけですから、1)はありえません。残った組み合わせは2)、3)、4)ですが、残りの一人も男であるのは4)だけです。したがって、男の子である確率は3分の1となります。

http://realwave.blog70.fc2.com/blog-entry-63.html

id:WATAO71 No.2

WATAO71回答回数319ベストアンサー獲得回数172010/01/09 16:01:58

ポイント20pt

コメントを見る限りではほぼ理解しているように見えますが・・・


司会者は、回答者が最初にハズレを引いていたときには当たりの逆側しか引けない(つまり残りが当たりになる)。

で、回答者が最初にハズレを引く確率は2/3ですから、2/3の確率で残りが当たりになる。

ということは、選択を変えれば2/3で当たりを引ける。


というわけです。

http://q.hatena.ne.jp/1263018063

id:ryota11

なるほど、猫の解説で意味が分かったあとに、

WATAさんの説明を読むととても意味分かりました。

ありがとうございます。

2010/01/09 16:41:10
id:gday No.3

gday回答回数383ベストアンサー獲得回数712010/01/09 16:07:02ここでベストアンサー

ポイント100pt

この問題は選択肢が3つなどの数が少ない場合の方が直感的に分りにくいと思います。

扉が3つではなく100個あると考えた方が分りやすいですよ。


100個の扉の一つを選んだ後で司会者が残り99個の扉のうち98個の扉を開けて「この98個の扉には当たりは入っていませんでした。さあ、あなたは最初に選んだ扉のままですか?それとも残り1個の扉に鞍替えしますか?」と言われたら明らかですよね。

最初に100個の中から1個をあなたは選んだのが当たりである確率と、司会者が99個の中から98個まではずれを除外してくれた1個が当たりである確率と、どちらが大きいでしょうか?



http://ishi.blog2.fc2.com/blog-entry-182.html

id:ryota11

100個の扉の一つを選んだ後で司会者が残り99個の扉のうち98個の扉を開けて「この98個の扉には当たりは入っていませんでした。さあ、あなたは最初に選んだ扉のままですか?それとも残り1個の扉に鞍替えしますか?」と言われたら明らかですよね。

なんか納得出来そうなのですが、

これでもやはり、どっちも元々100個あったものの1つなのだから、

100分の1同士なんじゃないか・・・と思ってしまうのですが・・・。

もう私の頭は手遅れなんですかね・・・。



あああ、猫の説明のを見たら分かりました!!

ありがとうw

2010/01/09 16:40:00
id:winbd No.4

winbd回答回数1050ベストアンサー獲得回数432010/01/09 16:19:54

ポイント60pt

モンティホール問題大好きです!

私も大学の授業で最初この問題と答えを見たとき「そんな馬鹿な!」と思いました(笑)



司会者ははずれの方を選ばなければならず、その1つのはずれを選んで開けたので、

もう1つは当たりの確率が高くなる、

と解釈したのですが、それだと自分が選んだ扉が当たりの確率は変わらないし、

残り1つの扉と自分の選んだ扉に当たる確率の差が出てくるのがどうも納得いきません。

ここまでわかっているのならあと一歩です。


「はずれを選んで残りが当たりになる」という状況。

これは、「自分が最初に当たりを引かなかった場合」です。


最初にはずれを引いた場合、残りは「当たり・はずれ」か「はずれ・当たり」のどちらかですから、

司会者がはずれを引けば残りは必ず当たりになります。


そして最初にはずれを引ける確率は当然3分の2ですよね。


ただし、この問題には条件があります。

時限爆弾に赤・青・緑の3つの配線が接続してある。

このうち2つの線を切れば時限爆弾は解除される。ただし残り1本を切ってしまうと爆発する。

時限爆弾を設置した犯人の目の前で刑事が時限爆弾を解除しようとしている。

刑事は「赤の線を切る」と宣言。

犯人は「ではひとつ教えてやる。緑は切って良い線の1つだ。」

刑事は緑を切る。爆発しない。

残りは赤と青の配線だが、刑事は赤を切るか、青を切るか迷う。

さて、この状況では青の方が爆発する確率が高く、刑事は赤を切るべきなのでしょうか・・・?

実はこれだと選択を変えても確率は上がりません。

モンティホール問題は「選択した後に必ずハズレを教えて貰える」という条件が最初に設定されていることが必要になります。


それが無いこの問題だと、「刑事が正解を選んだからハズレを教えた」という可能性が出てきますよね。

それと、中立性の無い人間が教えているので嘘を言っている可能性もあります。

そうなるとモンティホール問題は成立しなくなります。

http://q.hatena.ne.jp/answer

id:ryota11

これ100個の扉の場合だとよく分かるのですが、

3つの扉だと、100個の扉の場合とはわけが違うような気がしちゃうんですよね。

でもこれは数学なので、「違わないの!そういうもんなの!!」と自分に言い聞かせることでなんとか納得するのですが・・・。


爆弾の場合も同じじゃないですかね・・・?

はずれだよと教えてくれたものを刑事が実際に切って、はずれだったので、

あとは青が当たりの確率が高くなってると思うのですが。

2010/01/09 16:43:57
id:markII No.5

markII回答回数744ベストアンサー獲得回数232010/01/09 16:42:17

ポイント70pt

3番目の回答の解釈だと「選び直して元の扉を選んだ場合」も同じ確率になっちゃうんですよね。

モンティホール問題でもそれで考えると、どちらを選んでも2分の1になってしまいます。


wikiにも書いてありますが、「司会者の知り得る情報」を「平等」に使うからこそ確率が上がります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E6%8E%A...

扉が100個で98個のハズレを教えるとしても、「後で98個のハズレを絶対に教える」という状況下で1個目を選択しなければ確率は上がりません。

急に後から98個のハズレを教えたのなら、確率は選択を変えても変えなくても2分の1です。


自分目線ではなく、司会者目線で考えたほうがわかりやすいと思います。

減った数から私はハズレを選ぶ

これが司会者の状態ですよね。


自分選択後の残りは、

A.××

B.×○

C.○×

の3パターンです。


そのうちからハズレを選ばないといけないのですから、

Aはどちらを選んでも残りはハズレ

Bは左側しか選べないので残りは当たり

Cは右側しか選べないので残りは当たり


と、3パターン中2つは残りが当たりになります。

ですから、3分の2の確率で残りが当たり。つまり選択を変えたほうが3分の2になるということです。

id:ryota11

どうして自分選択後の残りは、

A.××○

B.×○×

C.○××

ではないんですかね・・・?

こうすると結局同じになっちゃう気がするのですが。

ここがよく理解出来ないような気がします。





ああああ、司会者側のパターンですね。

意味分かりました。

ありがとうございます!

2010/01/09 16:53:03
id:rsc96074 No.6

rsc回答回数4401ベストアンサー獲得回数4042010/01/09 17:02:38

ポイント30pt

 扉の数が3つしかないので、分からないときは、全事象のパターン調べてみればいいです。

 (景品のあるドア, プレイヤーが初めに選択したドア)として場合分けすると、次の9パターンしかない。

景品のあるドアとプレイヤーが初めに選択したドアは、独立だから、積の法則が使えて、それぞれの確率は、1/3*1/3=1/9

(1)(A,A) 確率1/9の事象

(2)(A,B) 確率1/9

(3)(A,C) 確率1/9

(4)(B,A) 確率1/9

(5)(B,B) 確率1/9

(6)(B,C) 確率1/9

(7)(C,A) 確率1/9

(8)(C,B) 確率1/9

(9)(C,C) 確率1/9

 次に、ホストが開けたドアを上に追加して、(景品のあるドア, プレイヤーが初めに選択したドア, ホストが開けたドア)を調べてみる。これは、従属になっている。

(1)(A,A)のとき、上の結果から、合計1/9より

 下記URL「ゲームのルール」4番から、

 (A,A,B) 確率1/18

 (A,A,C) 確率1/18

(2)(A,B)のとき、合計1/9

 下記URL「ゲームのルール」3番から、

 (A,B,C) 確率1/9・・・○

 以下同様にして、

(3)(A,C)のとき、合計1/9

 (A,C,B) 確率1/9・・・○

(4)(B,A)のとき、合計1/9

 (B,A,C) 確率1/9・・・○

(5)(B,B)のとき、合計1/9

 (B,B,A) 確率1/18

 (B,B,C) 確率1/18

(6)(B,C)のとき、合計1/9

 (B,C,A) 確率1/9・・・○

(7)(C,A)のとき、合計1/9

 (C,A,B) 確率1/9・・・○

(8)(C,B)のとき、合計1/9

 (C,B,A) 確率1/9・・・○

(9)(C,C)のとき、合計1/9

 (C,C,A) 確率1/18

 (C,C,B) 確率1/18

 以上の12パターン中、「○印」が付いているのが、変えた方が当たる場合で、変えた方が当たる確率は、1/9*6=2/3

ちなみに、変えない方が当たる確率は、1/18*6=1/3

※参考URL

●モンティ・ホール問題

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A...

id:ryota11

だめだ、これは私よりもっと数字得意な人には良い説明なのかもしれませんが、

私の場合はこれだけ数字が並んでいるとちょっと参ってしまいます^^;

言葉ですっと説明されると良いのですが・・・どうも数字の並びは私にとって、

「意味を理解する」という手間が1つ増えるように感じてしまうのです・・・。

すみません。

2010/01/09 17:32:34
  • id:ryota11
    私は、

    自分が選ばなかった2つの扉のうち、
    司会者ははずれの方を選ばなければならず、その1つのはずれを選んで開けたので、
    もう1つは当たりの確率が高くなる、

    と解釈したのですが、それだと自分が選んだ扉が当たりの確率は変わらないし、
    残り1つの扉と自分の選んだ扉に当たる確率の差が出てくるのがどうも納得いきません。


    こんな私でも分かるように、「なるほど、そういうことか!」と言えるように、
    どなたか説明お願いします。

    コメントにて、「これは分かる?」とか「ここまではおk?」という質問は受け付けます。
    宜しくお願いします。
  • id:ryota11
    多分これかなり詳しい人じゃないと分からないと思うんですけど、
    例えば以下のような場合も同じなのかどうかも教えてもらえるとうれしいです。


    【例えばのシチュエーション】
    時限爆弾に赤・青・緑の3つの配線が接続してある。
    このうち2つの線を切れば時限爆弾は解除される。ただし残り1本を切ってしまうと爆発する。
    時限爆弾を設置した犯人の目の前で刑事が時限爆弾を解除しようとしている。
    刑事は「赤の線を切る」と宣言。
    犯人は「ではひとつ教えてやる。緑は切って良い線の1つだ。」
    刑事は緑を切る。爆発しない。
    残りは赤と青の配線だが、刑事は赤を切るか、青を切るか迷う。


    さて、この状況では青の方が爆発する確率が高く、刑事は赤を切るべきなのでしょうか・・・?
  • id:WATAO71
    1の方の問題はモンティホール問題とは関係ないうえに間違ってるような・・・

    >1)(女、女)2)(女、男)3)(男、女)4)(男、男)
    これで一人が男だとわかったのなら1が無くなる代わりに4の確率が2倍になっています。
    ですから3分の1ではなく2分の1が正解です。
  • id:kamikun
    >1の方の問題はモンティホール問題とは関係ない

    前提条件ゆえに「2つの内から1つを選ぶから1/2」とはならないという点で共通している、と言いたいのでしょうね。

    >これで一人が男だとわかったのなら1が無くなる代わりに4の確率が2倍になっています。

    少なくとも一方が男であることに2)、3)、4)で変わりはありません。
    たぶん、2)、3)において片方の性別を調べたとき男である確率は1/2だから、ということでしょうが。
  • id:WATAO71
    >前提条件ゆえに「2つの内から1つを選ぶから1/2」とはならないという点で共通している、と言いたいのでしょうね。

    いやいや、1の方は思いっきり「1/3になる」と書いていますが^^;


    >少なくとも一方が男であることに2)、3)、4)で変わりはありません。

    2)、3)は「少なくとも一方」ではないですよ。
    2)は必ず次男、3)は必ず長男でなければいけません。
    左右の並びを考えないのなら2)と3)はまったく一緒ですから2つに分けることが間違いです。
  • id:kamikun
    >いやいや、1の方は思いっきり「1/3になる」と書いていますが^^;

    そうですよ。
    モンティ・ホール問題は、「『当たり』と『ハズレ』だから1/2」 とはならない 問題。
    1のやつは、「『男』と『女』だから1/2」 とはならない 問題。

    >2)、3)は「少なくとも一方」ではないですよ。
    >2)は必ず次男、3)は必ず長男でなければいけません。

    次男だろうが長男だろうが男であることに変わりはないわけで、間違いなく「少なくとも一方は男」ですよ。

    >左右の並びを考えないのなら2)と3)はまったく一緒ですから2つに分けることが間違いです。

    1)~4)のどれもが確率1/4であることは動かしようがないわけで。
    それぞれ25組ずつ合計100組集めたところから1)を除外したら、片方が女なのが50組、両方男なのが25組でしょう。
  • id:ryota11
    1の回答に関しては、実際に人間の子供が2人いたら、
    A(長男、次男)
    B(長男、長女)
    C(長女、長男)
    D(長女、次女)
    この4パターンになります。
    そのうち1人が男(上が男か下が男かは分からない)だと分かった時点でDは消去になります。
    なので、残り1人が男の確率は、3分の1。

    ※前提の段階で、1人の男が上の子なのか下の子なのか分からないのがポイントだと思います。
    分からない以上は両方の可能性を考えなければならないので、BとCを全く一緒と考えるのは間違いなのかと。

    そして、残りが女である確率は、長女と次女を合わせて、3分の2。
    というようなことで、これに関しては先日理解したんです。
    1の人が仰っているのは、間違いじゃないかと思うのですが、今回の問題との関係性は私には全く分かりません。


    今回の問題に関しては、
    3つの中から1つ選んだら、残りの2つのうちのはずれは教えてあげる、
    だからその後もう1回選び直せ、って言われたら、

    自分が選ぶ3つのうちの1つは、当たりだろうがはずれだろうが、消去させることが出来ない。
    だから自分が選ぶものが当たる確率はどうやっても純粋に3分の1。
    これに対して、自分が選んだ時点で残った2つのうち一方が当たっていれば、はずれ側を消してくれるので、
    自分がAを選べば、そのままAを選ぶか、それとも最初の状態での「BとCの両方」を選ぶか、の選択をさせてもらえるってことになる。
    最初の状態に戻って考えると、「AかB・C両方」ってことなので、明らかにB・Cを選んだ方が当たる確率は高い。
    と解釈しました。

    なんかこれは、確率で考えるより、文章で言われた方が納得しやすいなと思いました。
    (私が数字を拒否してるだけかもしれませんが)


    みなさんありがとうございました!
  • id:WATAO71
    >1のやつは、「『男』と『女』だから1/2」 とはならない 問題。

    1のやつは、「男と女だから1/2となる問題」です。
    そこを勘違いされてるので話が通じないようですね。


    >1)~4)のどれもが確率1/4であることは動かしようがないわけで。
    >それぞれ25組ずつ合計100組集めたところから1)を除外したら、片方が女なのが50組、両方男なのが25組でしょう。

    2)と3)で分けるのなら4)の確率は1/4ではなく2/4
    男女パターンを(男・女)(女・男)の2つに分解してしまっていることに気づけるかどうか、ですね。
  • id:kamikun
    >2)と3)で分けるのなら4)の確率は1/4ではなく2/4

    その理由は?

    そうならない理由は私が挙げた例で25組が50組に増えるわけではないことから明らかですが。
  • id:WATAO71
    「教えられた男の子」は左右どちらの可能性もあるからです。

    教えられた男の子=X とすると、

    (男・女)は(X男・Y女)(Y女・男X)
    に対して
    (男・男)は(X男・Y男)と(Y男・X男)の2種類存在しうることがわかりますね。
  • id:kamikun
    それだと男2人の兄弟を2回数えることになります。
    少なくとも一方が男であることを示すためには男2人兄弟のどちらか一方だけオープンすれば済みます。
    その状態で残り一方の性別はどうなるかですから。
    4)にあたる25組がボワンと分裂して、長男オープン組と次男オープン組が25組ずつになるわけではありません。
  • id:WATAO71
    いやいやいや、それ以前にあなたは(男・女)と(女・男)を分けて25組×2=50組としてカウントしちゃってるんですよ。
    だからその場合は男2人も女2人も50組にしないとおかしいってことです。
  • id:kamikun
    >いやいやいや、それ以前にあなたは(男・女)と(女・男)を分けて25組×2=50組としてカウントしちゃってるんですよ。

    そりゃそうですよ。
    男女どちらが生まれる確率も1/2、よって1)~4)のどれも確率1/4ってのは大前提でしょう。
  • id:Reiaru
    またこちらですか(笑)
    (28 日前に ryota11 様が行われた質問)

    http://q.hatena.ne.jp/1260550177

    > 【解説お願いします】
    > 2人の子供を持つ母親がいる。そのうち1人は女の子であるとき、もう1人の子も女の子である確率はどれだけか?...
  • id:ryota11
    >Reiaru様
    また始まったんですよ(笑)
    私もかなりWATAOさんと同じようなことで悩んでました。。


    「手袋があります。
    1つは右手用です。あともう1つはどっちの手用でしょうか。」
    という問題の場合は、

    「手袋があります。」の時点で左右の組み合わせのパターンは
    (右右、右左、左右、左左)
    の4パターンではなく、
    (右右、右左、左左)
    の3パターン。
    手袋を区別する方法は右か左かだけなので。(柄やメーカーなどは問題文に含まれていないので判断しようがない)
    だから、1つは右手用だと言われたら、
    (右右、右左)
    の2パターンに絞られ、残りの1つがどちらかの確率は2分の1になるっていう。
    これがWATAOさんが仰っていることなんだと思います。


    でも兄弟の場合は、事実として上下差があるので、2人兄弟がいるという時点で、
    (上男下男、上男下女、上女下男、上女下女)
    の4パターンにならなくてはいけないっていうひっかけ問題なんですよね。
    兄弟だからこうなるのであって、ただの数学とはちょっと違うんじゃないかと今では思っています。

    あぁ~私もこれを解説出来るようになるなんて、成長したなぁ~。
    (まぁ正しいかどうかは分からないんですけどね)
  • id:kamikun
    n個のパターンに分けられるからといって、それぞれの確率が1/nであるとは言えません。
    それが言えるのは、それぞれが等確率である場合だけです。
    1組52枚のトランプから1枚抜き出すとき、黒・ダイヤ・ハートの3パターンが考えられますが、それぞれの確率は1/3ですか?
    違いますね。

    また、2枚のコインを投げたとき表が1枚裏が1枚になる確率は、自分がその2枚を区別していないからといって、「(表表、表裏、裏裏)の3パターンだから1/3」とはなりません。


    今回の件については、「二人のうち、一人が男の子だとわかったとき」という表現がまずいんです。
    同じページに「問題を変えて男の子がいて、兄弟が一人いることがわかったとします。その兄弟が男の子である確率と、女の子である確率はどうでなるでしょう。この場合は五分五分です。女の子である確率が3分の2ということはありません。何が違うというのでしょうか。」とありますが、これとは違うということが示しきれていない、というツッコミならわかります。
    http://q.hatena.ne.jp/1260550177 で示されたページのように「2人の子供を持つ母親がいる。そのうち1人は女の子であるとき、もう1人の子も女の子である確率はどれだけか?」という表現なら問題ないでしょう。

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