1263624910 問:フォイエルバッハの円の中心Oが、外心Pと垂心Qを結んだ線分を2等分することを証明せよ。


という問題について、頭を悩ませております。。。
ウェブ上にヒントはないかと探してみたのですが、
同じような質問↓
http://whs-math.net/math/sec2341.html

はあったものの、証明の内容については詳しく触れていないようでして。
証明の方法をどうしても知りたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/01/16 15:55:12
  • 終了:2010/01/21 02:32:44

ベストアンサー

id:phero No.1

kawasaki回答回数55ベストアンサー獲得回数92010/01/16 20:32:35

ポイント100pt

ベクトルを使った以下の証明はいかがでしょうか。


外心Pを中心とする座標系を考え、

各点A,B,C, ... の位置ベクトルを a,b,c, ... とします。

すると垂心Qについて、

q = a + b + c が成立します。(証明は後述) ----- ①

一方、点Oは長方形DFIJの中心であるので(証明は後述)、 ----- ②

o = (d + f + i + j) / 4
   = ((a+b)/2 + (b+q)/2 + (c+q)/2 + (c+a)/2) / 4
   = (a/2 + b/2 + b/2 + q/2 + c/2 + q/2 + c/2 + a/2) / 4
   = (a + b + c + q) / 4
   = (a + b + c + a + b + c) / 4
   = (a + b + c) / 2

よって点Oは線分PQの中点となります。


上記の方針で証明が可能ですが、

解答用紙には①と②の証明をしておく必要があるかと思います。

①の証明

三角形ABCのA、B、Cから下ろした垂線が1点で交わることは自明で、
その点をXとおき、原点を外心とする位置ベクトルをxとします。
今、2つのベクトルa、bの内積を(a, b)で表すとして、
(a - x, b - c) = 0    ----- (a)
(b - x, c - a) = 0    ----- (b)
(c - x, a - b) = 0    ----- (c)
を満たすので、x = a + b + c とおけば (a)式の左辺は
(a - (a + b + c), b - c) = (-b - c, b - c)
                                = -(b + c, b - c)
となり、b + c が表す点をDとすれば、
この値は
-(b + c, b - c) = -(ベクトルOD, ベクトルCB)
を意味し、|b| = |c| より四角形OBDCは菱形になるので
ODとCBは垂直で、よって内積の値は0となり、
(a)式を示すことができます。
同様に (b)(c) も満たすことができます。

よって上記3式(a)(b)(c)を満たすことができ、
垂心は a + b + c と表せることが示せました。
②の証明

⊿BDFと⊿BAQは相似で、相似比は 1:2 です。
⊿CJIと⊿CAQは相似で、相似比は 1:2 です。
よって DF と JI は長さが等しく、平行です。

⊿QFIと⊿QBCは相似で、相似比は 1:2 です。
⊿ADJと⊿ABCは相似で、相似比は 1:2 です。
よって DJ と FI は長さが等しく、平行です。

今、AG と BC は垂直なので、
DF が AG と平行であることより、
DF と BC は垂直です。
また、FI と BC は並行なので、
よって DF と FI は垂直になります。

よって四角形 DFIJ は長方形となります。
点Oは円の中心であり、円は長方形DFIJを通るので、
O = (d + f + i + j) / 4
となります。
id:moon-fondu

すいません、数ⅡBをほとんどやっていなかったせいで、丁寧に回答いただいたいのですが、疑問を抱いていしまいまして・・・でも、ベクトル使えれば便利そうですよね(^_^;)

私は、pheroさんの、

・・・

2つのベクトルa、bの内積を(a, b)で表すとして、

(a - x, b - c) = 0 ----- (a)

(b - x, c - a) = 0 ----- (b)

(c - x, a - b) = 0 ----- (c)

を満たすので、・・・

という箇所で、「えっ?」と、思考が止まってしまいました(ToT)

そもそも、"内積"について漠然としたイメージしかなかったので、調べたところ、

「内積=平行の度合い」

http://gmr.blog.shinobi.jp/Entry/723/

や、

「内積=力の大きさと進む距離の積」

http://whs-math.net/math/sec193.html

というものだそうで。

ただ、内積以前に、提示してくださった、

(a - x, b - c) = 0 ----- (a)

(b - x, c - a) = 0 ----- (b)

(c - x, a - b) = 0 ----- (c)

この3つの式の意味について、もしよろしければ私の解釈が正しいかどうか、再度ご回答いただけないでしょうか?

ベクトルの本片手に、私なりに解釈したところ、

(a)

ベクトルa(点P→A)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルb(点P→B)のy成分から、ベクトルc(点P→C)のy成分を引くと、結局、原点Pに向かうベクトル(零ベクトル?)となる。

(b)

ベクトルb(点P→B)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルc(点P→C)のy成分から、ベクトルa(点P→A)のy成分を引くと、零ベクトルとなる。

(c)

ベクトルC(点P→B)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルa(点P→A)のy成分から、ベクトルb(点P→B)のy成分を引くと、零ベクトルとなる。

※さんの解答によると、「X=点Q」ですよね!?

だという風に、「,(コンマ)」は"x成分とy成分を分ける仕切り"だと解釈してみたのですが・・・いまいちベクトルの動きをイメージできないので、間違ってるような気もしまして・・・

よろしくお願いします(>_<)

2010/01/19 00:21:49

その他の回答(2件)

id:phero No.1

kawasaki回答回数55ベストアンサー獲得回数92010/01/16 20:32:35ここでベストアンサー

ポイント100pt

ベクトルを使った以下の証明はいかがでしょうか。


外心Pを中心とする座標系を考え、

各点A,B,C, ... の位置ベクトルを a,b,c, ... とします。

すると垂心Qについて、

q = a + b + c が成立します。(証明は後述) ----- ①

一方、点Oは長方形DFIJの中心であるので(証明は後述)、 ----- ②

o = (d + f + i + j) / 4
   = ((a+b)/2 + (b+q)/2 + (c+q)/2 + (c+a)/2) / 4
   = (a/2 + b/2 + b/2 + q/2 + c/2 + q/2 + c/2 + a/2) / 4
   = (a + b + c + q) / 4
   = (a + b + c + a + b + c) / 4
   = (a + b + c) / 2

よって点Oは線分PQの中点となります。


上記の方針で証明が可能ですが、

解答用紙には①と②の証明をしておく必要があるかと思います。

①の証明

三角形ABCのA、B、Cから下ろした垂線が1点で交わることは自明で、
その点をXとおき、原点を外心とする位置ベクトルをxとします。
今、2つのベクトルa、bの内積を(a, b)で表すとして、
(a - x, b - c) = 0    ----- (a)
(b - x, c - a) = 0    ----- (b)
(c - x, a - b) = 0    ----- (c)
を満たすので、x = a + b + c とおけば (a)式の左辺は
(a - (a + b + c), b - c) = (-b - c, b - c)
                                = -(b + c, b - c)
となり、b + c が表す点をDとすれば、
この値は
-(b + c, b - c) = -(ベクトルOD, ベクトルCB)
を意味し、|b| = |c| より四角形OBDCは菱形になるので
ODとCBは垂直で、よって内積の値は0となり、
(a)式を示すことができます。
同様に (b)(c) も満たすことができます。

よって上記3式(a)(b)(c)を満たすことができ、
垂心は a + b + c と表せることが示せました。
②の証明

⊿BDFと⊿BAQは相似で、相似比は 1:2 です。
⊿CJIと⊿CAQは相似で、相似比は 1:2 です。
よって DF と JI は長さが等しく、平行です。

⊿QFIと⊿QBCは相似で、相似比は 1:2 です。
⊿ADJと⊿ABCは相似で、相似比は 1:2 です。
よって DJ と FI は長さが等しく、平行です。

今、AG と BC は垂直なので、
DF が AG と平行であることより、
DF と BC は垂直です。
また、FI と BC は並行なので、
よって DF と FI は垂直になります。

よって四角形 DFIJ は長方形となります。
点Oは円の中心であり、円は長方形DFIJを通るので、
O = (d + f + i + j) / 4
となります。
id:moon-fondu

すいません、数ⅡBをほとんどやっていなかったせいで、丁寧に回答いただいたいのですが、疑問を抱いていしまいまして・・・でも、ベクトル使えれば便利そうですよね(^_^;)

私は、pheroさんの、

・・・

2つのベクトルa、bの内積を(a, b)で表すとして、

(a - x, b - c) = 0 ----- (a)

(b - x, c - a) = 0 ----- (b)

(c - x, a - b) = 0 ----- (c)

を満たすので、・・・

という箇所で、「えっ?」と、思考が止まってしまいました(ToT)

そもそも、"内積"について漠然としたイメージしかなかったので、調べたところ、

「内積=平行の度合い」

http://gmr.blog.shinobi.jp/Entry/723/

や、

「内積=力の大きさと進む距離の積」

http://whs-math.net/math/sec193.html

というものだそうで。

ただ、内積以前に、提示してくださった、

(a - x, b - c) = 0 ----- (a)

(b - x, c - a) = 0 ----- (b)

(c - x, a - b) = 0 ----- (c)

この3つの式の意味について、もしよろしければ私の解釈が正しいかどうか、再度ご回答いただけないでしょうか?

ベクトルの本片手に、私なりに解釈したところ、

(a)

ベクトルa(点P→A)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルb(点P→B)のy成分から、ベクトルc(点P→C)のy成分を引くと、結局、原点Pに向かうベクトル(零ベクトル?)となる。

(b)

ベクトルb(点P→B)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルc(点P→C)のy成分から、ベクトルa(点P→A)のy成分を引くと、零ベクトルとなる。

(c)

ベクトルC(点P→B)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルa(点P→A)のy成分から、ベクトルb(点P→B)のy成分を引くと、零ベクトルとなる。

※さんの解答によると、「X=点Q」ですよね!?

だという風に、「,(コンマ)」は"x成分とy成分を分ける仕切り"だと解釈してみたのですが・・・いまいちベクトルの動きをイメージできないので、間違ってるような気もしまして・・・

よろしくお願いします(>_<)

2010/01/19 00:21:49
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4401ベストアンサー獲得回数4042010/01/17 06:11:08

ポイント100pt

 三角形LGHにおいて、∠LGH=90°より、点Oは直径LHの中点であるから、

 OL=OH・・・①

 点Pは、△ABCの外心だから、(下記URLの外心の図参照)

 PH⊥BCより、LG//PH・・・②

 よって、

 ∠OLQ=∠OHP・・・③

 直線BPと△ABCの外接円との交点をSとすると、BSが直径であるから、∠SCB=90°

また、PS=PB・・・④

 点Pが、外心だから、PH⊥BCより、∠PHB=90°となり、SC//PH・・・⑤

 点HはBCの中点だから、BH=HC・・・⑥

④⑤⑥から、中点連結定理より、

 SC=2PH・・・⑥

 一方、ALQGは一直線だから、②⑤から、

 SC//LG//AQ・・・⑦

 △ABSについて、BSは直径になっているから、∠SAB=90°より、

 AS⊥AB・・・⑧

 点Qは垂心だから、QC⊥AB・・・⑨

⑧⑨から、

 QC//AS・・・⑩

⑦⑩から、四角形AQCSは平行四辺形だから、AQ=SC・・・⑪

⑥⑪から、

 AQ=2PH・・・⑫

 点LはAQの中点だから、

 AQ=2QL・・・⑬

⑫⑬から、

 PH=QL・・・⑭

 よって、①③⑭から、二辺夾角相等で、△LOQ≡△HOP

 したがって、OQ=OPで、

 また、∠QOL=∠POHで対頂角が等しく、もともと、L、O、Hは直径上にあり一直線上にあるから、

 点Q、O、Pは一直線上にあって、点Oは、PQの中点である。

※参考図

http://f.hatena.ne.jp/rsc96074/20100117060018

●外心

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2#.E5.A4....

●中点連結定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E7%82%B9%E9%80%A3%E7%B5%9...

※参考URL

●九点円の話

>Euler線はその十六参照.△ABCの外心O,重心G,垂心Hを通る直線だ.この直線の上に九点円の中心Xが乗っかっているというのだ.しかも外心と垂心の中点だなんて.

http://www.highflyer2.com/math/nine.html

●九点円

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle.htm

id:moon-fondu

rsc96074さん、図までお描きいただき、ありがとうございます!

「PH⊥BCより、~」というところで、「!?」と、疑問に思ってしまいましたが、記載いただいたリンク先を拝見したところ、「外心は、三角形の3辺の垂直二等分線の交点」であることを思い出すことができ、理解できました(^_^;)

2010/01/19 00:35:11
id:boxeur No.3

b回答回数8ベストアンサー獲得回数32010/01/17 06:15:05

ポイント50pt

九点円でググるとすぐ出てきますね.

九点円 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle.htm

美しい公式 http://web2.incl.ne.jp/yaoki/anssiki9.htm

9点円の定理 http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/C9ten-en.html

1つ目の複素数の解法が分かりやすい.>OG:GN:NH=2:1:3

は質問者の図では

PG:GO:OH=2:1:3

で,つまり

PO:OH=3:3=1:1

となり確かに二等分する.

id:moon-fondu

「9点が同一円周中にあることの証明」を、見過ごしてました!

かなり大事ですよね・・・ありがとうございます(^_^;)

一番最初に記載いただいた複素数の解法は、非常に興味深いのですが、数学Bをしっかりやらなかったせいでしょうか、ザっと読んだだけではなかなか頭に入ってきませんでして・・・一度、複素数について復習してから、再度この解法について取り組みたいと思います!

2010/01/19 01:08:37
  • id:moon-fondu
    回答いただきありがとうございます!
    でもすいません、ちょっと私では理解に時間がかかりそうなので、すぐに返信できそうにないです。
    じっくり考え、なんとか理解できるよう取り組みたいと思います・・・(^_^;)
  • id:phero
    ご質問いただきましたので回答いたします。

    --- 記号の意味について ---
    失礼を承知で率直に申し上げますと、moon-fonduさんは誤解されているようです。
    私の記述がわかりづらかったようですので大変申し訳ないのですが、
    (a, b)という表記は座標(x, y)を表すものではありません。
    数学は自由に記号を定義して構わないのです。
    例えば 3 と 5 の和のことを 3 + 5 ではなく {3, 5} と書いてもよいですし、
    1×2×3× ... ×n のことを n! ではなく @n のように書いても構いません。
    ようは「論理的に正しいことさえ言っていれば、記号は問題ではない」のです。
    ただ、いちいち「3 と 5 の和のことを {3, 5} と書きます」ということわりを入れるのも面倒なので、
    一般的に知られている記号として 3 + 5 を暗黙の了解で使っています。
    (実際、割り算の「÷」という記号をアメリカ人に見せても理解できません。)

    同様に、ベクトルの内積の書き方も自由です。
    高校では a・b のような表記で習うかと思いますが、
    大学では (a, b) として書くこともあります。
    自分で定義して a☆b としてももちろん構いません。

    --- 私の回答の考え方について ---
    ベクトルを考えるとき、x成分やy成分を気にしながら考えた方が良い場合と
    各成分を全く気にしない方が良い場合の2種類あるとお考え下さい。
    今回の私の回答は、全く気にしない方が理解が早いかと思います。
    その場合、矢印で絵を描きながら考えるとより理解が進むかと思います。

    --- ベクトルの学習について ---
    ベクトルの考え方に自信が無い場合はあまり使用しない方が良いかと思います。
    これは一見偉そうなことを言っているように聞こえるかもしれませんが、
    テスト(受験)で良い点数を取るためには絶対守るべきだと思います。
    ベクトルは使えればかなり便利な道具で、
    「そういうことか!」と腹の底から理解出来る瞬間がきっと来ると思いますが、
    その瞬間までは地道な勉強をされることをお勧めいたします。

    --- ベクトルの基本について ---
    ベクトルa, bの内積というのは「aの長さ×bの長さ×cos(2つの成す角)」です。
    直感的な表現を使うと、
    「OAからOBに下ろした垂線の足をHとして、線分OHの長さ×線分OBの長さ」
    でもあります。
    (向きが逆の場合は-1をかけなければなりませんが)
    つまり、2つのベクトルが直角であれば、その内積は常にゼロになります。


    以上を踏まえた上で、①の証明をよりわかりやすく書き直してみます。
    (私なりの精一杯ですので、これでもわかりづらければ私のことは忘れて下さい^^;)

    --- ①の証明 ---
    原点をP(外心)とします。
    三角形ABCのA、B、Cから下ろした垂線が1点で交わることは自明で、
    その点をXとおきます。
    すると、
    ベクトルXAとベクトルCBは直角 ----- (イ)
    ベクトルXBとベクトルACは直角 ----- (ロ)
    ベクトルXCとベクトルBAは直角 ----- (ハ)
    を満たします。

    (イ)を変形してみると、
    「ベクトルPA - ベクトルPX」と「ベクトルPB - ベクトルPC」の内積がゼロ
    ということになります。

    ここで、
    ベクトルPX = ベクトルPA + ベクトルPB + ベクトルPC
    とおけると仮定すれば、(これは大事な性質ですので、証明方法を含めて暗記してください^^)

    「ベクトルPA - ベクトルPX」と「ベクトルPB - ベクトルPC」の内積がゼロ
    ⇔ 「ベクトルPA - (ベクトルPA + ベクトルPB + ベクトルPC)」と「ベクトルPB - ベクトルPC」の内積がゼロ
    ⇔ 「-(ベクトルPB + ベクトルPC)」と「ベクトルPB - ベクトルPC」の内積がゼロ
    ⇔ 「ベクトルPB + ベクトルPC」と「ベクトルCB」の内積がゼロ
    ということになります。(これが正しければ、仮定が正しい、ということです。)

    ここで、「ベクトルPB + ベクトルPC」と「ベクトルCB」について考えると、
    三角形PBCは二等辺三角形で(Pが外心なので)、PB = PC です。
    よって「ベクトルPB + ベクトルPC」が表す点をYとすれば、
    線分PYと線分BCはひし形の対角線になるので、直角です。

    よって、
    「ベクトルPB + ベクトルPC」と「ベクトルCB」の内積がゼロ
    が正しいことが示せました。

    (ロ)と(ハ)についても同じ方法で証明できますので、
    仮定が正しかったことが示せます。

    以上より、
    ベクトルPX = ベクトルPA + ベクトルPB + ベクトルPC
    です。
    また、Xは垂心なので、図でいうところのQです。
    よって、
    ベクトルPQ = ベクトルPA + ベクトルPB + ベクトルPC
    と表せることになります。

    (①の証明終了)
  • id:phero
    連続してすみません。

    ベクトルXAとベクトルCBは直角 ----- (イ)

    「ベクトルPA - ベクトルPX」と「ベクトルPB - ベクトルPC」の内積がゼロ
    と書きましたが、
    ここは
    「ベクトルPA - ベクトルPX」と「ベクトルCB」の内積がゼロ
    として考えて下さい。
    (無駄な変換をしてしまっただけですので…申し訳ないです。
     ただ、間違ったことは言っていないはずですので、宜しくお願いいたします。)
  • id:moon-fondu
    こんなに丁寧にご回答いただけるなんて思ってもみなかったです、ありがとうございます!

    ベクトルXAを「ベクトルPA - ベクトルPX」、ベクトルCBを「ベクトルPB - ベクトルPC」と、pheroさんが解説していただいたおかげで、すごくよく理解できました。
    動きがイメージできました(^_^;)

    cos90°=0
    http://www8.plala.or.jp/ap2/suugaku/sankakukansuunoshoho.html

    ということで、「ベクトルPA - ベクトルPX」と「ベクトルCB(ベクトルPB - ベクトルPC)」の内積がゼロになるのも理解できました!
    そして、

    ベクトルPX = ベクトルPA + ベクトルPB + ベクトルPC

    を証明するため、この時に成り立つ"「ベクトルPB + ベクトルPC」と「ベクトルCB」の内積がゼロ"を証明することで、間接的に「ベクトルPX = ベクトルPA + ベクトルPB + ベクトルPC」を示せるということですね!

    (ロ)と(ハ)の証明は・・・

    <(ロ)―ベクトルXBとベクトルACは直角>

    「ベクトルPB - ベクトルPX」と「ベクトルPC - ベクトルPA」の内積がゼロ
    ⇔ 「ベクトルPB - (ベクトルPA + ベクトルPB + ベクトルPC)」と「ベクトルPC - ベクトルPA」の内積がゼロ
    ⇔ 「-(ベクトルPA + ベクトルPC)」と「ベクトルPC - ベクトルPA」の内積がゼロ
    ⇔ 「ベクトルPA + ベクトルPC」と「ベクトルAC」の内積がゼロ

    「ベクトルPA + ベクトルPC」と「ベクトルAC」について考えると、三角形PACは二等辺三角形で(Pが外心なので)、PA=PC。
    よって「ベクトルPA + ベクトルPC」が表す点をTとすれば、線分PTはひし形の対角線として、線分BCに直角に交わる。
    よって、「ベクトルPA + ベクトルPC」と「ベクトルAC」の内積はゼロ。

    <(ハ)―ベクトルXCとベクトルBAは直角>
    「ベクトルPC - ベクトルPX」と「ベクトルPA - ベクトルPB」の内積がゼロ
    ⇔ 「ベクトルPC - (ベクトルPA + ベクトルPB + ベクトルPC)」と「ベクトルPA - ベクトルPB」の内積がゼロ
    ⇔ 「-(ベクトルPA + ベクトルPB)」と「ベクトルPA - ベクトルPB」の内積がゼロ
    ⇔ 「ベクトルPA + ベクトルPB」と「ベクトルBA」の内積がゼロ

    「ベクトルPA + ベクトルPB」と「ベクトルBA」について考えると、三角形PABは二等辺三角形で(Pが外心なので)、PA=PB。
    よって「ベクトルPA + ベクトルPB」が表す点をUとすれば、線分PUはひし形の対角線として、線分ABに直角に交わる。
    よって、「ベクトルPA + ベクトルPB」と「ベクトルBA」の内積はゼロ。


    って感じですね!

    いやはや、pheroさんのおかげですごくよく理解できました、本当にありがとうございます(>_<)

    ただ・・・最後に一つだけ、もしよろしければお答えいただきたいのですが、

    ⇔ 「-(ベクトルPB + ベクトルPC)」と「ベクトルPB - ベクトルPC」の内積がゼロ
    ⇔ 「ベクトルPB + ベクトルPC」と「ベクトルCB」の内積がゼロ

    という箇所で、「-(ベクトルPB + ベクトルPC)」→「ベクトルPB + ベクトルPC」となっているようなのですが、「-ベクトルPB-ベクトルPC」にはならないのでしょうか?

    「-(ベクトルPB + ベクトルPC)」と、「ベクトルPB + ベクトルPC」は、全く同じとみなしてよいのでしょうか?
  • id:phero
    ご理解いただけたようで何よりです^^
    またご質問いただきましたので回答いたします。

    > 「-(ベクトルPB + ベクトルPC)」と、「ベクトルPB + ベクトルPC」は、全く同じとみなしてよいのでしょうか?

    これは違います。
    以下の内容をお読みの上で考えて頂きたいと思います。

    おっしゃる通り、一般的にベクトルa,bについて
    「a + b」と「-(a + b)」は異なります。
    また、内積を考えた際も同様に、(cもベクトルとして)
    「(a + b) と c の内積」と「-(a + b) と c の内積」も異なります。

    ですが、「(a + b) と c の内積」がゼロの時に限って、
    「-(a + b) と c の内積」もゼロになります。

    というのも、ベクトルには(内積を"・"で表すとして)
      k(a・b) = (ka)・(kb) (ただしkは実数)
    という性質がありますので、
    「(a + b) と c の内積」を x とすると、
    「-(a + b) と c の内積」= -x
    「(a + b) と -c の内積」= -x
    「-(a + b) と -c の内積」= x
    という関係が常に成立します。

    直角であれば x = 0 ですので、上記4式は全て同じ値でゼロになります。
    それを利用して、

    「-(ベクトルPB + ベクトルPC)」と「ベクトルPB - ベクトルPC」の内積がゼロ
    ⇔ 「ベクトルPB + ベクトルPC」と「ベクトルCB」の内積がゼロ

    というのが正しい記述となります。
    もし内積の値がゼロでなくてpという値であったとすると、

    「-(ベクトルPB + ベクトルPC)」と「ベクトルPB - ベクトルPC」の内積がp
    ⇔ 「ベクトルPB + ベクトルPC」と「ベクトルCB」の内積がp

    というのは間違いとなります。

    「-(ベクトルPB + ベクトルPC)」と「ベクトルPB - ベクトルPC」の内積がp
    ⇔ 「ベクトルPB + ベクトルPC」と「ベクトルCB」の内積が-p

    というのは正しいです。
    これでご理解いただけますでしょうか?
  • id:phero
    すみません、訂正です。

    >   k(a・b) = (ka)・(kb) (ただしkは実数)
    > という性質がありますので、

    と書いてしまいましたが、正しくは

      k(a・b) = (ka)・b (ただしkは実数)
    という性質がありますので、

    です。(ka)・(kb) の値は k × k × (a・b) ですね^^;
  • id:moon-fondu
    すごくよくわかりました(^_^;)
    何度も質問してしまったのに、最後まで真摯にお答えいただき、本当にありがとうございます!
  • id:phero
    返信遅くなり恐縮ですが、こちらこそありがとうございました^^
    東大受験の頃(だいぶ昔)を思い出しながら楽しく回答させていただきました^^
    ご質問が受験対策か試験対策かわかりませんが、
    身体を壊さぬよう頑張って下さいね。

    個人的にはrsc96074さんのご回答の方が
    中学生にも理解できるように書かれていて素晴らしいと思っておりますので、
    しっかり復習されると良いかと思います。

    以下は余談かつ余計なお世話ですが、私の個人的な経験からのアドバイスです。

    「数学は暗記だ」という意見には賛否両論がありますが、
    証明方法などを含めてなるべく多くのパターンを暗記することをお勧めします。
    私は現役の頃こそその意見には反対しておりましたが、
    当時は結果的に色々なことを暗記していました。(数学ばかりやっていたので^^;)
    今では「暗記できない人は数学で良い点が取れない」と確信めいたものがあります。
    答えを見て「なるほど!」と理解するのは簡単ですが、
    1~2週間後に同じ問題を解いて何も見ずに正しく解答するのは少し難しいはずです。
    それを繰り返して結果的に暗記してしまう、というのが高得点への近道かと思います。

    それでは、失礼します^^
    最後まで長々とすみません^^;
  • id:moon-fondu
    東大受験したんですか、すごいですね・・・だから、ベクトルをほとんど勉強していない私でも理解できる、わかりやすいご解答を提示できるんですね(^_^;)
    本当にありがとうございました。
    なるべく多くのパターンを暗記するよう、がんばります!

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