とある数学の本で、複素数の勉強をしていますと、以下のような問題がありました。


【問題】
複素数αを極刑式で表すと

α=r(cosΘ+isinΘ)だとします。

このとき、複素数1/αを極形式で表すと、角度はどうなるか。

--------------------------------------------
【解答】
αと1/αの積を計算すると、α・1/α=1
また、点1と実軸とのなす角は0°です。
したがって、α・1/α=1より、αの角Θと1/αの角との和は0°
つまり、Θ+(1/αの角)=0°
だから、1/αの角は、0°-Θ=-Θ

※つまり、1/αを掛ける(αで割る)と、角度はΘだけ引きます。
--------------------------------------------

といったことが記載されていたのですが、なぜいきなり、「αと1/αの積を計算すると」という発想に至るのでしょうか?
αと1/αの積を求めるのは、座標の位置を把握するためのセオリーなのでしょうか?
どうしていきなり「αと1/αの積を求めるのか」について、教えていただければ幸いです。
よろしくお願いします(>_<)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/01/21 08:17:17
  • 終了:2010/01/24 21:35:27

ベストアンサー

id:U-tan No.5

U-tan回答回数64ベストアンサー獲得回数102010/01/22 01:16:32

ポイント100pt

何の本か正確な書誌情報明示したほうがより簡明な解答が得られるでしょう.

「とある数学の本」に論理的な記述があることを期待すると,この問題の前に複素数の積と商の定義,複素数の絶対値と偏角による表示の定義と,極形式での複素数の積の定義とが,全てあるはずです.極形式で二つの複素数を実数の組,(r,θ),(s,φ)を用いて,α=r(cosθ+isinθ),β=s(cosφ+isinφ),とあらわせると積はα・β=rs(cos(θ+φ)+isin(θ+φ))となります.すなわち,α=r(cosθ+isinθ)のとき,α=(r,θ)と書くことにすると,β=(s,φ)と書け,極形式での複素数の積の定義は(r,θ)・(s,φ)=(rs,θ+φ)と書けるのです.

「問題」では,複素数 1/α を別の複素数と掛け合わせたときに積が極形式でどうなるかを考えているのです.

rがゼロでないとき,1/α=(1/r,-θ)になる.この関係のうちθの前に負号がつくことを示すことが問題の趣旨です.複素数の積と商の定義より,α・(1/α)=1=(1,0).さてα=(r,θ)かつ1/α=(s,φ)と定義すると,α・(1/α)=(rs,θ+φ)から,β=1/α=(1/r,-θ)となります.つまり複素数α=(r,θ)につき,1/αを他の複素数にかけることは,絶対値を1/r倍し,偏角を-θ加えることなのです.つまり複素数1/αを他の複素数にかけることは(1/r,-θ)をかけることなのです.

「問題」では,α=rcosθ+irsinθのとき,α=(r,θ)と書くことにすると,β=(s,φ)と書け,α・β=(rs,θ+φ)となることから,1/α=(1/r,-θ)を導いているのです.







複素数と極形式の話題について.

一,実数の組(x,y)(r,θ)につき,x+iy=r(cosθ+isinθ)のとき,1/(x+iy) = (x-iy)/(x^2 + y^2) =r(cosθ-isinθ)/r^2=(cosθ-isinθ)/r.つまり,(x,y)と(r,θ)の同値関係と同様に,(x/Sqrt[x^2 + y^2],-y/Sqrt[x^2 + y^2])と(1/r,-θ)の同値関係が対応するのです.


二,一と実質的に同じ議論ですが,

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E5%8D%98%E4%BD%8...

のように複素数と同じ構造を二次正方行列の単位行列Eと上記のJとから二次正方行列上で構成することができます.(rcosθ) E + (rsinθ) Jの逆行列は(cosθ/r) E - (sinθ/r) Jです.xE+yJは複素数x+iyと対応します.xE+yJの逆行列を計算すれば,x/Sqrt[x^2+y^2] E-y/Sqrt[x^2+y^2] Jとなります.二次の正方行列は複素数に同型な構造を含むのです.


三,絶対値と偏角による表示が,二次元ユークリッド平面上の座標表示(二次元デカルト座標)と一対一に対応することを考えましょう.偏角θの範囲を0以上2π以下に制限すれば,原点を除く任意の(x,y)について(r,θ)と一対一対応させられます.複素数の積の定義につき下記が参考になります.

(a+bi)・(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,(a,b)・(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

r(cosθ+isinθ)・s(cosφ+isinφ)=rs(cos(θ+φ)+isin(θ+φ)),(r,θ)・(s,φ)=(rs,θ+φ).

id:moon-fondu

>この問題の前に複素数の積と商の定義,複素数の絶対値と偏角による表示の定義と,極形式での複素数の積の定義とが,全てあるはずです.

おっしゃる通りです、前のページにありました!U-tanさんが書いてくださった、

α・β=rs(cos(Θ+φ)+isin(Θ+φ))

を、三角関数の加法定理等を用いて導いていました!そして、

>α=(r,Θ)かつ1/α=(s,φ)と定義すると,α・(1/α)=(rs,Θ+φ)から,β=1/α=(1/r,-Θ)となります.

という箇所で、「えっ?」と、一瞬思考が止まってしまいましたが、U-tanさんの、

>(r,Θ)・(s,φ)=(r・s,Θ+φ)という定義のもと,(1,0)=(r,Θ)・(s,φ)のとき,(s,φ)=(1/r,-Θ)と決まる.これが骨です.

というコメントのおかげでなんとなく理解できました(^_^;)

「複素数と極形式の話題」も教えていただき、ありがとうございます。ただ、

>実数の組(x,y)(r,Θ)につき,x+iy=r(cosΘ+isinΘ)のとき,1/(x+iy) = (x-iy)/(x^2 + y^2) =r(cosΘ-isinΘ)/r^2=(cosΘ-isinΘ)/r.つまり,(x,y)と(r,Θ)の同値関係と同様に,(x/(x^2 + y^2),-y/(x^2 + y^2))と(1/r,-Θ)の同値関係が対応するのです.

という箇所で、また詰まってしまいました(ToT)

「1/(x+iy) = (x-iy)/(x^2 + y^2)」という式の展開が、よくわからないのです、

「1/(x+iy)」に、「(x-iy)/(x-iy)」を掛けるのですか?そうしたら確かに、「(x-iy)/(x^2 + y^2)」になるのは理解できるのですが、どうして「(x-iy)/(x-iy)」を掛けるのでしょうか・・・「1/(x+iy) 」は、「1/r(cosΘ+isinΘ)」ではないのでしょうか?

すいませんがもしよろしければ、再度アドバイスをいただけないでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)

2010/01/23 14:01:28

その他の回答(6件)

id:nobnob3 No.1

考え中回答回数321ベストアンサー獲得回数292010/01/21 08:44:43

ポイント45pt

素人ですが、答えてみました。

α・1/α=1というのは、思いつきやすいと思います。

というのはこの極形式の形からもsin^2φ+cos^2φ=1という関係が思いつくからです。

私の場合は、α・1/α=1はすぐに思いつきましたが、その後の展開が分からなかったので次のように解きました。

1=sin^2φ+cos^2φ

=(cosφ+i・sinφ)(cosφ-i・sinφ)

=r(cosφ+i・sinφ)・1/r(cosφ-i・sinφ)

=α・1/r(cosφ-i・sinφ)

よって

1/α=1/r(cosφ-i・sinφ)

ここで

cosφ=cos(-φ)

sinφ=-sin(-φ)

よって

1/α=1/r(cosφ-i・sinφ)

=1/r(cos(-φ)+i・sin(-φ))

よって1/αの角度は-φと言える。

id:moon-fondu

ありがとうございます!

ただ、nobnob3さんが書いてくださった、

--------------

よって

1/α=1/r(cosφ-i・sinφ)

ここで

cosφ=cos(-φ)

sinφ=-sin(-φ)

--------------

という箇所が、理解できないのですが・・・(>_<)

どうして「cosφ=cos(-φ)」「sinφ=-sin(-φ)」となるのでしょうか?

"φ"(ファイ)は、"Θ"(シータ)とはまた、別物なのでしょうか?

すいません、もしよろしければ、再度ご回答いただければ幸いです。

よろしくお願いします<m(__)m>

2010/01/22 04:25:46
id:taka-hr No.2

taka-hr回答回数57ベストアンサー獲得回数42010/01/21 08:49:33

ポイント20pt

http://www.asp.c.dendai.ac.jp/folder1/jugyo/kihon_complex01.pdf

上記URLでは虚数単位がjなのでわかりにくかったらすみません。

もともとの問題が、定理を説明するための問題なので無理があるともいえますが

複素数の計算のときには、演算結果が実数になるようにするために

a * 1/a を使ったり、(x + yi) * (x - yi) = x^2 + y^2 (共役複素数との積)を

使ったりするのはセオリーだともいえると思います。

id:moon-fondu

「複素数の要点」わかりやすいです、ありがとうございます(^_^;)

2010/01/22 04:29:30
id:rsc96074 No.3

rsc回答回数4385ベストアンサー獲得回数4002010/01/21 11:33:16

ポイント100pt

 うまく定数を作っているだけだと思います。

>点1と実軸とのなす角は0°です。 1=1(cos0°+isin0°)

>αの角Θと1/αの角φとの和は0°⇔θ+φ=0°

というのは、こちらを前提にしていると思われます。

●複素数の積

複素数の積は 絶対値は積に, 偏角は和

3.図形の回転+拡大/縮小

 複素平面上に描いた図形の各点を示す複素数に,絶対値がr偏角がθの複素数 z=r(cosθ+isinθ) を掛けると,図形をθ回転させ,かつr倍にすることができる。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/fukusosuu/henkan-tex....

 もしかして、複素数の積の図形的意味が先に説明されていないですか。

 ちなみに、こっちの方が分かりやすいと思います。

 1/α=1/{r(cosθ+isinθ)}

分母子に(cosθ-isinθ)をかけて、

=1/{r(cosθ+isinθ)}*{(cosθ-isinθ)/(cosθ-isinθ)}

=(1/r)(cosθ-isinθ)/{(cosθ+isinθ)*(cosθ-isinθ)}

=(1/r)(cosθ-isinθ)/{(sinθ)^2+(cosθ)^2}

=(1/r)(cosθ-isinθ)

=(1/r){cos(-θ)+isin(-θ)}

 それから、豆知識として、「Cosθ+iSinθ=Cisθ」と表記することもあります。こっちが楽かも。(^_^;

※参考URL

e^iθ=Cosθ+iSinθ=Cisθと書けるのでした。

Cisθは最近アメリカの文献ではよくお目にかかるもので、e^iθと書くと指数的イメージが強いですが、周期や振幅などを議論する際など、三角関数としてのイメージを強めたい場合に

よく使われます(Cosθ+iSinθと書くのがメンドクサイのかな・・・)

http://dxdy.blog4.fc2.com/blog-entry-7.html

id:moon-fondu

定数を作って、公式に当てはめやすくするということですか~なんとなくわかりました(^_^;)

>複素数の積の図形的意味が先に説明されていないですか。

この本↓

http://www.creage.ne.jp/app/BookDetail?isbn=4860642090

の章末問題なのですが、rsc96074さんが書いてくださった「複素数の積」に関することについても、前ページに書かれていますね・・・読んだのですがしっかり理解してなかったです(>_<)

「複素数の掛け算→実軸とのなす角の足し算」と、本には書かれています。

また、確かにrsc96074さんが「こっちの方が分かりやすい」と提示してくださった、

=1/{r(cosθ+isinθ)}*{(cosθ-isinθ)/(cosθ-isinθ)}

=(1/r)(cosθ-isinθ)/{(sinθ)^2+(cosθ)^2}

=(1/r)(cosθ-isinθ)

=(1/r){cos(-θ)+isin(-θ)}

といったやり方の方が、わかりやすいです!

αの極形式が判明しているので、1/αも、αを変形することで極形式の形に持っていけるということですね!

リンクもありがとうございます。

「楕円関数」なんて初めて耳にしました、すごく難しそうですが、面白そうですね。

でも「2次式の平方根の積分の逆関数」=「おなじみの三角関数」で「ん?」と思ってしまうレベルですので、「3次式、4次式の平方根の積分(楕円積分)」「5次以上の平方根の積」等は、私には想像もつきませんね・・・トホホ・・・Σ( ̄Д ̄;)

2010/01/22 03:53:49
id:ita No.4

ita回答回数203ベストアンサー獲得回数472010/01/21 12:15:15

ポイント15pt

ある数aの逆数というのは、そもそも 「aにそれをかけると1になる数」というのが定義です。その未知なる数について何か知りたいとすれば、

a×その数=1

というそもそもの定義を考えて、そこからいろいろ導き出すというのは自然な論理展開でしょう。

id:moon-fondu

そう言われてみれば、そうですよね・・・(^_^;)

やっぱり、そういう回路が通ってないんですね私は(>_<)

2010/01/22 04:31:44
id:U-tan No.5

U-tan回答回数64ベストアンサー獲得回数102010/01/22 01:16:32ここでベストアンサー

ポイント100pt

何の本か正確な書誌情報明示したほうがより簡明な解答が得られるでしょう.

「とある数学の本」に論理的な記述があることを期待すると,この問題の前に複素数の積と商の定義,複素数の絶対値と偏角による表示の定義と,極形式での複素数の積の定義とが,全てあるはずです.極形式で二つの複素数を実数の組,(r,θ),(s,φ)を用いて,α=r(cosθ+isinθ),β=s(cosφ+isinφ),とあらわせると積はα・β=rs(cos(θ+φ)+isin(θ+φ))となります.すなわち,α=r(cosθ+isinθ)のとき,α=(r,θ)と書くことにすると,β=(s,φ)と書け,極形式での複素数の積の定義は(r,θ)・(s,φ)=(rs,θ+φ)と書けるのです.

「問題」では,複素数 1/α を別の複素数と掛け合わせたときに積が極形式でどうなるかを考えているのです.

rがゼロでないとき,1/α=(1/r,-θ)になる.この関係のうちθの前に負号がつくことを示すことが問題の趣旨です.複素数の積と商の定義より,α・(1/α)=1=(1,0).さてα=(r,θ)かつ1/α=(s,φ)と定義すると,α・(1/α)=(rs,θ+φ)から,β=1/α=(1/r,-θ)となります.つまり複素数α=(r,θ)につき,1/αを他の複素数にかけることは,絶対値を1/r倍し,偏角を-θ加えることなのです.つまり複素数1/αを他の複素数にかけることは(1/r,-θ)をかけることなのです.

「問題」では,α=rcosθ+irsinθのとき,α=(r,θ)と書くことにすると,β=(s,φ)と書け,α・β=(rs,θ+φ)となることから,1/α=(1/r,-θ)を導いているのです.







複素数と極形式の話題について.

一,実数の組(x,y)(r,θ)につき,x+iy=r(cosθ+isinθ)のとき,1/(x+iy) = (x-iy)/(x^2 + y^2) =r(cosθ-isinθ)/r^2=(cosθ-isinθ)/r.つまり,(x,y)と(r,θ)の同値関係と同様に,(x/Sqrt[x^2 + y^2],-y/Sqrt[x^2 + y^2])と(1/r,-θ)の同値関係が対応するのです.


二,一と実質的に同じ議論ですが,

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E5%8D%98%E4%BD%8...

のように複素数と同じ構造を二次正方行列の単位行列Eと上記のJとから二次正方行列上で構成することができます.(rcosθ) E + (rsinθ) Jの逆行列は(cosθ/r) E - (sinθ/r) Jです.xE+yJは複素数x+iyと対応します.xE+yJの逆行列を計算すれば,x/Sqrt[x^2+y^2] E-y/Sqrt[x^2+y^2] Jとなります.二次の正方行列は複素数に同型な構造を含むのです.


三,絶対値と偏角による表示が,二次元ユークリッド平面上の座標表示(二次元デカルト座標)と一対一に対応することを考えましょう.偏角θの範囲を0以上2π以下に制限すれば,原点を除く任意の(x,y)について(r,θ)と一対一対応させられます.複素数の積の定義につき下記が参考になります.

(a+bi)・(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,(a,b)・(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

r(cosθ+isinθ)・s(cosφ+isinφ)=rs(cos(θ+φ)+isin(θ+φ)),(r,θ)・(s,φ)=(rs,θ+φ).

id:moon-fondu

>この問題の前に複素数の積と商の定義,複素数の絶対値と偏角による表示の定義と,極形式での複素数の積の定義とが,全てあるはずです.

おっしゃる通りです、前のページにありました!U-tanさんが書いてくださった、

α・β=rs(cos(Θ+φ)+isin(Θ+φ))

を、三角関数の加法定理等を用いて導いていました!そして、

>α=(r,Θ)かつ1/α=(s,φ)と定義すると,α・(1/α)=(rs,Θ+φ)から,β=1/α=(1/r,-Θ)となります.

という箇所で、「えっ?」と、一瞬思考が止まってしまいましたが、U-tanさんの、

>(r,Θ)・(s,φ)=(r・s,Θ+φ)という定義のもと,(1,0)=(r,Θ)・(s,φ)のとき,(s,φ)=(1/r,-Θ)と決まる.これが骨です.

というコメントのおかげでなんとなく理解できました(^_^;)

「複素数と極形式の話題」も教えていただき、ありがとうございます。ただ、

>実数の組(x,y)(r,Θ)につき,x+iy=r(cosΘ+isinΘ)のとき,1/(x+iy) = (x-iy)/(x^2 + y^2) =r(cosΘ-isinΘ)/r^2=(cosΘ-isinΘ)/r.つまり,(x,y)と(r,Θ)の同値関係と同様に,(x/(x^2 + y^2),-y/(x^2 + y^2))と(1/r,-Θ)の同値関係が対応するのです.

という箇所で、また詰まってしまいました(ToT)

「1/(x+iy) = (x-iy)/(x^2 + y^2)」という式の展開が、よくわからないのです、

「1/(x+iy)」に、「(x-iy)/(x-iy)」を掛けるのですか?そうしたら確かに、「(x-iy)/(x^2 + y^2)」になるのは理解できるのですが、どうして「(x-iy)/(x-iy)」を掛けるのでしょうか・・・「1/(x+iy) 」は、「1/r(cosΘ+isinΘ)」ではないのでしょうか?

すいませんがもしよろしければ、再度アドバイスをいただけないでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)

2010/01/23 14:01:28
id:taka-hr No.6

taka-hr回答回数57ベストアンサー獲得回数42010/01/23 20:03:39

ポイント30pt

U-tan さんじゃないのですが、

> どうして「(x-iy)/(x-iy)」を掛けるのでしょうか

これが、共役複素数を掛けるパターンです。

> 「1/(x+iy) 」は、「1/r(cosΘ+isinΘ)」ではないのでしょうか?

これが間違っているわけじゃないのですが、分母に複雑な式がきていると扱いにくいので

それを避けるために変形しているわけです。

ちなみに、1/r(cosΘ+isinΘ) の分子と分母に cosΘ-isinΘ を掛けることで

cos^2Θ + sin^2Θ = 1 を導出することもできます。まぁ x - iy を掛けるのと

結果的に同じことなのですが、三角関数の変形のときのパターンをつかって解くことも

できます、ということで。

id:moon-fondu

ああ、そうですよね!

(x-iy)/(x-iy)=1だから、別に掛けても問題ないですよね・・・(^_^;)

初歩的な質問でお手を煩わせてしまいすいません、ご回答いただきありがとうございました<m(__)m>

2010/01/24 14:51:40
id:sasaki30234 No.7

sasaki30234回答回数18ベストアンサー獲得回数02010/01/24 15:29:35

ポイント20pt

実は高校で習わないのですが、大学で習うもっと根源的な部分から発想が出てきています。

複素数は大学では、 r exp(*** i) (expは自然対数を基とするべき乗、iは虚数)で表現します。

expというイメージは 2の3乗は 2*2*2=8 のとき、3の部分が括弧の中に入っているというイメージです。

つまり、べき乗の世界では、普通の計算がかけ算なので、かけて 1になるようにするという発想が普通に出てくるのです。

大学の数学を学ばれるようになるとそのときにやっと「なるほど」とお思いになることでしょう。

id:moon-fondu

一応大学生なのですが・・・expもどこかで見たことあるのですが、まだまだ詳しくは理解できてないですね・・・(^_^;)

アドバイスいただきありがとうございます<m(__)m>

2010/01/24 21:29:50
  • id:U-tan
    「三」の「偏角θの範囲を0以上2π以下」の「以下」は未満と間違えました.
  • id:U-tan
    回答すべき発想の源泉の核心について書き忘れた気がするので補います.
    四実数r,s,θ,φにつき積rsが0でないとき,極形式の二数の積を,(r,θ)・(s,φ)=(r・s,θ+φ)と定義します.複素数体の「掛け算」における逆元(→※)の定義は,α・(1/α) = 1.複素数1と(1,0),αと(r,θ),1/αと(s,φ)を対応させると,(s,φ)=(1/r,-θ)と定義から導くために,定義された演算だけを使うためにα・(1/α)=1考えるのです.
    >>
    【解答】
    αと1/αの積を計算すると、α・1/α=1
    また、点1と実軸とのなす角は0°です。
    したがって、α・1/α=1より、αの角Θと1/αの角との和は0°
    つまり、Θ+(1/αの角)=0°
    だから、1/αの角は、0°-Θ=-Θ
    <<
    という記述よりも,
    >>
    1を1(cos0+sin0),αをr(cosθ+isinθ),1/αを極形式でs(cosφ+isinφ)と定義したとき,α・(1/α)=1という定義と極形式の二数の積の定義(すなわちr(cosθ+isinθ)・s(cosφ+isinφ)=rs(cos(θ+φ)+isin(θ+φ),すなわち(r,θ)・(s,φ)=(r・s,θ+φ))とから,φが-θと決まる.
    <<
    という記述がわかりやすいと僕には思われます.数学において代数化(文字の設定)は記述を明快にすることがあります.ただし,偏角は普通0以上2π未満と制限され,例えば2π≦θ+φ<4πとなる場合は2πで割った「あまり」が偏角となります.
    ※普通の(実数体上の),掛け算における単位元は1.足し算における単位元は0.aの掛け算における逆元は逆数1/a.足し算における逆元は負の数-a.aの逆元の定義はaに作用させると単位元となる元.単位元は任意の元に作用させても変わらない.2・1=2,3+0=3.掛け算では0の逆元がない.こういう基礎的なお話を「集合論」の上の「群論」で学習する.二整数の足し算は整数の集合中の三つの元(必ずしも全て違う三つの元ではない)を結びつける演算.
    齋藤正彦『数学の基礎 集合・数・位相』(東京大学出版,2002).
  • id:U-tan
    (r,θ)・(s,φ)=(r・s,θ+φ)という定義のもと,(1,0)=(r,θ)・(s,φ)のとき,(s,φ)=(1/r,-θ)と決まる.これが骨です.
  • id:moon-fondu
    U-tanさんありがとうございます!
    書誌情報を明記していなくてすいません(>_<)

    『ゼロからわかる虚数・複素数』
    http://bookweb.kinokuniya.co.jp/guest/cgi-bin/tanass.cgi?REV-COD=AB31%2FA29

    です。U-tanさんの濃密なご回答は、今日は遅いので週末にじっくり拝読したいと思うのですが、それ以前に前提として聞きたいことがありまして・・・非常に初歩的な質問なような気がして申し訳ないのですが、U-tanさんのご回答に登場してくる"φ"とは、何なのでしょうか?

    偏角(実軸とのなす角)
    http://www.ee.fit.ac.jp/~kudou/1mathA/03/03-2.html

    を表す記号なのでしょうか?
  • id:U-tan
    φ(ファイ)というのはギリシア文字のひとつでθ(シータ)もそうなのですが,しばしば三角関数の独立変数となります.独立変数というのは,よくある関数の表記で,y=f(x)のxで,(xに依存して決まる)yを従属変数といいます.
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AE%E3%83%AA%E3%82%B7%E3%82%A2%E6%96%87%E5%AD%97


    >>
    よって
    1/α=1/r(cosφ-i・sinφ)
    ここで
    cosφ=cos(-φ)
    sinφ=-sin(-φ)
    <<
    「ここで」,というのは但し書きで「伏線」として後に使われていく情報であることをあらわします.cosφ=cos(-φ),sin(-φ)=-sin(φ)は常になりたちます.だから
    1/α=1/r(cosφ-i・sinφ)
    =(1/r)・(cos(-φ)+i・sin(-φ))
    が成り立つことがいえるのです.そして,cosθ+isinθの形と照らし合わせ,-φが1/αの偏角だといえるのです.

  • id:U-tan
    誤:(x/Sqrt[x^2 + y^2],-y/Sqrt[x^2 + y^2])と(1/r,-θ)の同値関係が対応するのです.
    正:(x/(x^2 + y^2),-y/(x^2 + y^2))と(1/r,-θ)の同値関係が対応するのです.

    誤:x/Sqrt[x^2+y^2] E-y/Sqrt[x^2+y^2] J
    正:x/(x^2+y^2) E-y/(x^2+y^2) J
  • id:nobnob3
    もうU-tanさんが書いてくださっていますが一応書いてみます。


    >"φ"(ファイ)は、"Θ"(シータ)とはまた、別物なのでしょうか?

    φ"(ファイ)とか、"Θ"(シータ)は変数を表す記号なので極論すれば何でも良いはずです。
    ただ、便宜上、角度を表す変数にはφ"(ファイ)とか、"Θ"(シータ)が使われるようです。
    私の回答も"Θ"(シータ)にすれば良かったんですが済みません。

    >どうして「cosφ=cos(-φ)」「sinφ=-sin(-φ)」となるのでしょうか?

    これは公式みたいなものです。
    実際図示してみるとよく分かると思います。

    後は、U-tanさんが書いているように
    >cosθ+isinθの形と照らし合わせ
    てください。
  • id:moon-fondu
    >U-tanさん
    すいません、なぜか回答欄ではうまく書き込めなかったので、こちらにコメントさせていただきます<m(__)m>

    --------------------------
    >この問題の前に複素数の積と商の定義,複素数の絶対値と偏角による表示の定義と,極形式での複素数の積の定義とが,全てあるはずです.

    おっしゃる通りです、前のページにありました!U-tanさんが書いてくださった、

    α・β=rs(cos(Θ+φ)+isin(Θ+φ))

    を、三角関数の加法定理等を用いて導いていました!そして、

    >α=(r,Θ)かつ1/α=(s,φ)と定義すると,α・(1/α)=(rs,Θ+φ)から,β=1/α=(1/r,-Θ)となります.

    という箇所で、「えっ?」と、一瞬思考が止まってしまいましたが、U-tanさんの、

    >(r,Θ)・(s,φ)=(r・s,Θ+φ)という定義のもと,(1,0)=(r,Θ)・(s,φ)のとき,(s,φ)=(1/r,-Θ)と決まる.これが骨です.

    というコメントのおかげでなんとなく理解できました(^_^;)

    「複素数と極形式の話題」も教えていただき、ありがとうございます。ただ、

    >実数の組(x,y)(r,Θ)につき,x+iy=r(cosΘ+isinΘ)のとき,1/(x+iy) = (x-iy)/(x^2 + y^2) =r(cosΘ-isinΘ)/r^2=(cosΘ-isinΘ)/r.つまり,(x,y)と(r,Θ)の同値関係と同様に,(x/(x^2 + y^2),-y/(x^2 + y^2))と(1/r,-Θ)の同値関係が対応するのです.

    という箇所で、また詰まってしまいました(ToT)

    「1/(x+iy) = (x-iy)/(x^2 + y^2)」という式の展開が、よくわからないのです、
    「1/(x+iy)」に、「(x-iy)/(x-iy)」を掛けるのですか?そうしたら確かに、「(x-iy)/(x^2 + y^2)」になるのは理解できるのですが、どうして「(x-iy)/(x-iy)」を掛けるのでしょうか・・・「1/(x+iy) 」は、「1/r(cosΘ+isinΘ)」ではないのでしょうか?

    すいませんがもしよろしければ、再度アドバイスをいただけないでしょうか?

    よろしくお願いします(>_<)
    --------------------------



    >nobnob3さん
    公式ありました!
    http://www.ffortune.net/kazu/formula/trigonometric.htm
    初歩的な質問でお手を煩わしてしまいすいません・・・(^_^;)
  • id:U-tan
    >「1/(x+iy)」に、「(x-iy)/(x-iy)」を掛けるのですか?そうしたら確かに、「(x-iy)/(x^2 + y^2)」になるのは理解できるのですが、どうして「(x-iy)/(x-iy)」を掛けるのでしょうか・・・「1/(x+iy) 」は、「1/r(cosΘ+isinΘ)」ではないのでしょうか?
    1/(x+iy)= 1/r(cosθ+isinθ)はたしかになりたちます.仮定が,x+iy=r(cosθ+isinθ)だからです.つまり左辺の「直交座標表示」と右辺の「極形式」が対応します.
    x+iy=r(cosθ+isinθ)における,(x,y)と(r,θ)の関係を求めましょう.
    式変形をすると,x+iy=Sqrt[x^2+y^2](x/Sqrt[x^2+y^2] +iy/Sqrt[x^2+y^2])です.
    ゆえにr=Sqrt[x^2+y^2],θをcosθ=x/Sqrt[x^2+y^2]かつsinθ=y/Sqrt[x^2+y^2]を満たす0以上2π未満の数といえます.(x,y)と(r,θ)の間にこういう同値関係があります.


    根号を含む数の分母の有利化をご存知ですか.√2をSqrt[2]と書くことにすると,たとえば1/(Sqrt[x] - Sqrt[y])= (Sqrt[x] +Sqrt[y])/(x-y)などです.分子分母に(Sqrt[5] +Sqrt[2])をかけることで分母にあった根号が分母からなくなります.それと同様に1/(x+iy)と1=(x-iy)/(x-iy)(ただしxかyは0でない)とをかけて分母を実数化することがあります.ここでは絶対値と偏角とを求めるために分母を実数化しました.
    ここではそうすることで,1/(x+iy)=(x/(x^2+y^2))-i(y/(x^2+y^2))が言えます.これは実部がx/(x^2+y^2),虚部は-y/(x^2+y^2),の複素数です.これは極形式の(1/r,-θ)と対応します.なぜなら,(x/(x^2+y^2))-i(y/(x^2+y^2))=1/(Sqrt[x] +Sqrt[y])・(x/Sqrt[x^2+y^2] - iy/Sqrt[x^2+y^2]))で絶対値は1/r,偏角は-θなのです.(cos(-θ)=cosθ=x/Sqrt[x^2+y^2]かつsin(-θ)=-sinθ=y/Sqrt[x^2+y^2]です.)
  • id:moon-fondu
    何度もご回答いただき、ありがとうございます!
    (x-iy)/(x-iy)を掛けたのは、分母を実数化するための変形だったのですね、理解できました。

    また、行列を使って表す方法も教えていただき、ありがとうございます。
    座標平面との対応関係も教えていただき、ありがとうございます。
    「ac-bd+(ad+bc)i」と、「rs(cos(θ+φ)+isin(θ+φ))」が、同値関係であるということですよね?
    いやはや、勉強になります。

    すいません、最後に一つだけ、もしよろしければお答えいただきたいのですが、U-tanさんが上記コメント欄に書いてくださった、

    (x/(x^2+y^2))-i(y/(x^2+y^2))=1/(Sqrt[x] +Sqrt[y])・(x/Sqrt[x^2+y^2] - iy/Sqrt[x^2+y^2]))

    は、どうしてイコールなのでしょうか?右辺の、

    1/(Sqrt[x] +Sqrt[y])・(x/Sqrt[x^2+y^2] - iy/Sqrt[x^2+y^2]))

    を、計算してみたのですが、どうしても「(x/(x^2+y^2))-i(y/(x^2+y^2))」を導くことができませんでして・・・(>_<)

    1/√x+√yに、x/√(x^2+y^2)を掛けて→x/x^2+y^2
    1/√x+√yに、i・y/√(x^2+y^2)を掛けて→i・y/x^2+y^2

    に、なるような気はするのですが、平方根の計算がうまくできていないのでしょうか、「(x/(x^2+y^2))-i(y/(x^2+y^2))」にできないのです・・・
  • id:U-tan
    ごめんなさい.
    誤:1/(Sqrt[x] +Sqrt[y])・(x/Sqrt[x^2+y^2] - iy/Sqrt[x^2+y^2])
    正:1/(Sqrt[x^2+y^2])・(x/Sqrt[x^2+y^2] - iy/Sqrt[x^2+y^2])
    単に打ち間違えました.「誤」のままでは絶対に恒等式(この場合任意の(x,y)についてなりたつ等式)になりません.
  • id:U-tan
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