1264375324 複素数平面での幾何学を勉強してる際、有名な「角の二等分線の定理」で、疑問が生じまして。

「三角形の一つの内角の二等分線は、対辺を、他の二辺の比に内分する」という定理ですが、複素数を使って証明することもできるそうです。

添付致しました画像が、その証明です。

でも私は、その証明を読んでも、意味がよくわかりませんでした。

【1】どうしていきなり「実数k」なるものが出てきて、「kc」と表す必要があるのでしょうか?
【2】「u=sc+tb/s+t」の図形的意味は、何なのでしょうか?複素数平面上で、どういう動きをするのでしょうか?
【3】rは、極形式における絶対値の部分ですか?rがいきなり出てきたのは、何のためでしょうか?
【4】すいません、全体的にわからない部分が多いので、この証明について解説いただきたいです・・・(>_<)

と、次々と疑問が湧きまして・・・。
複素数を使ってどうやって角の二等分線の定理を証明するのか、教えていただければ幸いです。
よろしくお願いします。

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  • 1人10回まで
  • 登録:2010/01/25 08:22:04
  • 終了:2010/01/27 00:08:20

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4388ベストアンサー獲得回数4012010/01/25 17:23:36

ポイント100pt

【1】どうしていきなり「実数k」なるものが出てきて、「kc」と表す必要があるのでしょうか?

 一般に、3点A(α),B(β),C(γ)とすると、∠BAC=arg{(γ-α)/(β-α)}

 一般に、3点A(α),B(β),C(γ)が同じ直線上にある⇔(γ-α)/(β-α)が実数(偏角が0°,180°)

∵iSin0°=iSin180°=0

 ここで、A(0)は原点だから、題意の回転させた点をz(z)として、また、C(c)とおくと、

(z-0)/(c-0)=z/c=k(実数)

∴z=kcと表せる。

【2】「u=(sc+tb)/(s+t)」の図形的意味は、何なのでしょうか?複素数平面上で、どういう動きをするのでしょうか?

 内分点を表しています。

 一般に、2点A(α),B(β)を結ぶ線分ABをm:nの比に分ける点を表す複素数は、(nα+mβ)/(m+n) ただし、m+n≠0

【3】rは、極形式における絶対値の部分ですか?rがいきなり出てきたのは、何のためでしょうか?

 z=r(Cosθ+iSinθ)の極形式で表したものだと思われます。全部書くのが面倒だから、r(Cosθ+iSinθ)=re^iθと略記したのでしょう。

【4】すいません、全体的にわからない部分が多いので、この証明について解説いただきたいです・・・(>_<)

 ちょっと、表記法が違う気がします。arg∠cau→arg(u/c) ∵Aは原点

uに(u/c)をかけると∠UAB=∠CAUだから、回転した点は直線AB上にあるから、実数kを用いて、

 u^2/c=kb・・・① ←bとcが違うかも。

と表せる。

 u=(sc+tb)/(s+t)にとると、

両辺を2乗して分母を払うと、

(s+t)^2・u^2=(sc+tb)^2・・・②

①から、u^2=kbcだから、これを②に代入して、

(s+t)^2(kbc)=(sc+tb)^2

右辺と左辺を入れ替えて、

(sc+tb)^2=(s+t)^2(kbc)

左辺を展開して、

s^2・c^2+2st・bc+t^2・b^2=(s+t)^2(kbc)

両辺をbcで割って、

s^2・(c/b)+2st+t^2・(b/c)=(s+t)^2・k

∴s^2・(c/b)+t^2・(b/c)=(s+t)^2・k-2st

s、t、kは実数だから、

s^2・(c/b)+t^2・(b/c)=(s+t)^2・k-2st=(実数)・・・③

b/c=r(Cosθ+iSinθ)・・・④とすると、逆数をとって、

c/b=(1/r){Cos(-θ)+iSin(-θ)}=(1/r)(Cosθ-iSinθ)

 これらを③の左辺に代入して、

s^2・(1/r)(Cosθ-iSinθ)+t^2・r(Cosθ+iSinθ)

={s^2・(1/r)Cosθ+t^2・rCosθ}+i{s^2・(-1/r)Sinθ+t^2・rSinθ}

よって、③の虚部Im(③の左辺)=0だから、

 s^2・(-1/r)Sinθ+t^2・rSinθ=0

∴Sinθ{(t^2)r-(s^2)/r}=0

∠CAB≠0だから、Sinθ≠0より、

(t^2)r=(s^2)/r

∴(s^2)/(t^2)=r^2=|b/c|^2 ←∵④の極形式で、r=|z|でこの場合、z=b/c

したがって、

s/t=|b|/|c|

 一般に、P:Q=P/Qだから、

∴|b|:|c|=s:t

※参考URL

●複素数と図形

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch01/node21.html

●テーマ10 ..... 複素平面 part2

http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack/m/thema11a.htm

id:moon-fondu

【1】で、「∠BAC=arg{(γ-α)/(β-α)}」の時点で「ん?」と疑問に思いましたが、↓

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa419380.html

を見て、なんとか理解できました(^_^;)

【2】は初歩的な質問でした・・・内分点の座標↓

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/bunten02.htm

ですよね。この公式は、デカルト座標でも複素数平面でも関係なく成り立つんですね~。

【4】も、ご回答いただきありがとうございました、鮮やかですごくわかりやすかったです!

「(s+t)^2・k-2st=実定数」が、何なのかよくわからなかったのですが、sとtが実軸上にあることを見落としておりました(^_^;)

sinθが0でなければ、「(t^2)r-(s^2)/r」が0ですよね、右辺は0ですし。

リンク先もいただき、ありがとうございます!

2010/01/26 01:48:23

その他の回答(3件)

id:imo758 No.1

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192010/01/25 10:39:41

ポイント50pt

【1】どうしていきなり「実数k」なるものが出てきて、「kc」と表す必要があるのでしょうか?


■あれ、なんかこれ間違ってないかな……。

uに\frac{u}{c}をかけると、点aは原点なので、arg∠cauだけ回転します。またarg∠cau=arg∠uabです。よって移動先の点\frac{u^2}{c}は直線a『b』上になります。

\frac{u^2}{c}と点cは同一直線a『b』上かつ点aは原点なので、実数kを用いて\frac{u^2}{c}=k『b』と表せます。

『』内は訂正です。多分こっちが正しい。(ほんとかな)


【2】「u=\frac{sc+tb}{s+t}」の図形的意味は、何なのでしょうか?複素数平面上で、どういう動きをするのでしょうか?

■点uを点bと点cを用いて表した、という意味でしかありません。幾何ベクトルとほぼ同じです。通常の幾何ではx軸とy軸を基準に(x+yi)などと表しますが、点b、点cを基準にとるとこうなる、というだけです。


【3】rは、極形式における絶対値の部分ですか?rがいきなり出てきたのは、何のためでしょうか?

■前半はそのとおりです。後半は、角度を考察するために極形式を持ち出したという意味だけです。rは(0以外の実数なら)何でも構いません。


【4】すいません、全体的にわからない部分が多いので、この証明について解説いただきたいです・・・(>_<)

■というかIm({s^2}\frac{e^{i\theta}}{r}+{t^2}re^{i\theta})ではなくIm({s^2}\frac{e^{-i\theta}}{r}+{t^2}re^{i\theta})とここもマイナスが抜けているような気がするし。(ほんとかな)


====================

■要は『”「三角形の一つの内角の二等分線」が「対辺を内分する比」”を計算すると、「他の二辺の比」となる』ということです。

あとはテクニックと具体化の問題に過ぎません。

id:moon-fondu

すいません、忠実に入力したと思ったのですが、ぽつぽつと抜けがあったようで・・・(>_<)

「u^2/c=kb」の理由、imo758さんのおかげでよくわかりました、ありがとうございます(^_^;)

【2】は幾何ベクトルとほぼ同じですよね、ここ↓

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/bunten02.htm

で説明されている、内分点の座標の求め方を忘れていました・・・。

Im・・・も、間違っていました、私の入力ミスです。

でも、どうして「-」(マイナス)がつくのでしょうか・・・すいません、もしよろしければ、最後に一つ、お答えいただきたいんのですが、

【5】「s^2(c/b)+t^2(b/c)」を、

Im(s^2(e^-iθ/r)+t^2re^iθ)

と表すのは、何の意味があるのでしょうか?「Im(・・・)」は、何なのですか?

また、それが「=-(s^2/r)sinθ+t^2rsinθ=0」になるのは、どうしてなのでしょうか?

2010/01/26 01:43:22
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4388ベストアンサー獲得回数4012010/01/25 17:23:36ここでベストアンサー

ポイント100pt

【1】どうしていきなり「実数k」なるものが出てきて、「kc」と表す必要があるのでしょうか?

 一般に、3点A(α),B(β),C(γ)とすると、∠BAC=arg{(γ-α)/(β-α)}

 一般に、3点A(α),B(β),C(γ)が同じ直線上にある⇔(γ-α)/(β-α)が実数(偏角が0°,180°)

∵iSin0°=iSin180°=0

 ここで、A(0)は原点だから、題意の回転させた点をz(z)として、また、C(c)とおくと、

(z-0)/(c-0)=z/c=k(実数)

∴z=kcと表せる。

【2】「u=(sc+tb)/(s+t)」の図形的意味は、何なのでしょうか?複素数平面上で、どういう動きをするのでしょうか?

 内分点を表しています。

 一般に、2点A(α),B(β)を結ぶ線分ABをm:nの比に分ける点を表す複素数は、(nα+mβ)/(m+n) ただし、m+n≠0

【3】rは、極形式における絶対値の部分ですか?rがいきなり出てきたのは、何のためでしょうか?

 z=r(Cosθ+iSinθ)の極形式で表したものだと思われます。全部書くのが面倒だから、r(Cosθ+iSinθ)=re^iθと略記したのでしょう。

【4】すいません、全体的にわからない部分が多いので、この証明について解説いただきたいです・・・(>_<)

 ちょっと、表記法が違う気がします。arg∠cau→arg(u/c) ∵Aは原点

uに(u/c)をかけると∠UAB=∠CAUだから、回転した点は直線AB上にあるから、実数kを用いて、

 u^2/c=kb・・・① ←bとcが違うかも。

と表せる。

 u=(sc+tb)/(s+t)にとると、

両辺を2乗して分母を払うと、

(s+t)^2・u^2=(sc+tb)^2・・・②

①から、u^2=kbcだから、これを②に代入して、

(s+t)^2(kbc)=(sc+tb)^2

右辺と左辺を入れ替えて、

(sc+tb)^2=(s+t)^2(kbc)

左辺を展開して、

s^2・c^2+2st・bc+t^2・b^2=(s+t)^2(kbc)

両辺をbcで割って、

s^2・(c/b)+2st+t^2・(b/c)=(s+t)^2・k

∴s^2・(c/b)+t^2・(b/c)=(s+t)^2・k-2st

s、t、kは実数だから、

s^2・(c/b)+t^2・(b/c)=(s+t)^2・k-2st=(実数)・・・③

b/c=r(Cosθ+iSinθ)・・・④とすると、逆数をとって、

c/b=(1/r){Cos(-θ)+iSin(-θ)}=(1/r)(Cosθ-iSinθ)

 これらを③の左辺に代入して、

s^2・(1/r)(Cosθ-iSinθ)+t^2・r(Cosθ+iSinθ)

={s^2・(1/r)Cosθ+t^2・rCosθ}+i{s^2・(-1/r)Sinθ+t^2・rSinθ}

よって、③の虚部Im(③の左辺)=0だから、

 s^2・(-1/r)Sinθ+t^2・rSinθ=0

∴Sinθ{(t^2)r-(s^2)/r}=0

∠CAB≠0だから、Sinθ≠0より、

(t^2)r=(s^2)/r

∴(s^2)/(t^2)=r^2=|b/c|^2 ←∵④の極形式で、r=|z|でこの場合、z=b/c

したがって、

s/t=|b|/|c|

 一般に、P:Q=P/Qだから、

∴|b|:|c|=s:t

※参考URL

●複素数と図形

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch01/node21.html

●テーマ10 ..... 複素平面 part2

http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack/m/thema11a.htm

id:moon-fondu

【1】で、「∠BAC=arg{(γ-α)/(β-α)}」の時点で「ん?」と疑問に思いましたが、↓

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa419380.html

を見て、なんとか理解できました(^_^;)

【2】は初歩的な質問でした・・・内分点の座標↓

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/bunten02.htm

ですよね。この公式は、デカルト座標でも複素数平面でも関係なく成り立つんですね~。

【4】も、ご回答いただきありがとうございました、鮮やかですごくわかりやすかったです!

「(s+t)^2・k-2st=実定数」が、何なのかよくわからなかったのですが、sとtが実軸上にあることを見落としておりました(^_^;)

sinθが0でなければ、「(t^2)r-(s^2)/r」が0ですよね、右辺は0ですし。

リンク先もいただき、ありがとうございます!

2010/01/26 01:48:23
id:sasaki30234 No.3

sasaki30234回答回数18ベストアンサー獲得回数02010/01/25 23:29:30

ポイント20pt

1. 実数k は、「同一直線上にある」という意味です。

2. u=sc+tb/s+t はベクトルでよく使う、 s:t にbとcの間を内分するという意味です。

3. rは絶対値です。実数という条件を使うため、角度=0を使いたい場面ですが、角度を使うと縮尺に相当する rの部分が自動的に出てきます。

id:moon-fondu

ご回答いただき、ありがとうございます!

もしよろしければ、疑問【5】をお答えいただければ嬉しいのですが・・・(^_^;)

2010/01/26 01:49:33
id:imo758 No.4

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192010/01/26 10:20:38

ポイント50pt

まず訂正してお詫びします。

【1】どうしていきなり「実数k」なるものが出てきて、「kc」と表す必要があるのでしょうか?


■あれ、なんかこれ間違ってないかな……。

uに\frac{u}{c}をかけると、点aは原点なので、arg∠cauだけ回転します。またarg∠cau=arg∠uabです。よって移動先の点\frac{u^2}{c}は直線a『b』上になります。

\frac{u^2}{c}と点 b は同一直線a『b』上かつ点aは原点なので、実数kを用いて\frac{u^2}{c}=k『b』と表せます。

『』内は訂正です。多分こっちが正しい。(ほんとかな)


さて

【5】「s^2\frac{c}{b}+t^2\frac{b}{c}」を、

Im({s^2}\frac{e^{-i\theta}}{r}+{t^2}re^{i\theta})

と表すのは、何の意味があるのでしょうか?「Im(・・・)」は、何なのですか?

また、それが「=-\frac{s^2}{r} sin\theta + t^2 r sin\theta=0」になるのは、どうしてなのでしょうか?


Im(~)はimaginary、虚数成分のことです。カッコ内の式のうち虚数成分だけを取り出します。

 Im(\frac{s^2}{r}e^{-i\theta}+{t^2}re^{i\theta})

 = Im(\frac{s^2}{r}(cos\theta-isin\theta)+{t^2}r(cos\theta+isin\theta))

 = Im(\frac{s^2}{r}cos\theta+{t^2}rcos\theta - \frac{s^2}{r}isin\theta+{t^2}risin\theta)

 = -\frac{s^2}{r}sin\theta+{t^2}rsin\theta (虚数成分だけ取り出す)

また

s^2\frac{c}{b}+t^2\frac{b}{c} = \frac{s^2}{r}e^{-i\theta}+{t^2}re^{i\theta}=実定数 なので

Im(\frac{s^2}{r}e^{-i\theta}+{t^2}re^{i\theta})

Im(s^2\frac{c}{b}+t^2\frac{b}{c})

=Im(実定数)

=0 (実数たる実定数に虚数成分はない)

よって両者をつなげると


 -\frac{s^2}{r}sin\theta+{t^2}rsin\theta =0


が導かれます。

id:moon-fondu

なるほどです、「Im(・・・)」は、「虚数成分だけを取り出す」という意味だったんですね(^_^;)

いや~rsc96074さんに既に「虚部Im(③の左辺)=0」と解説していただいていたのに、気付けないとは・・・応用力がないですね(汗)

ありがとうございました!

2010/01/27 00:04:42
  • id:imo758
    私の回答の【2】は間違っているので、その分ポイント配分を差し引いてください。
    内分点でよかったところを変なこと書いてしまってる……。
  • id:imo758
    マイナスが付く理由ですが、極形式において値の逆数は、距離rを逆数にし、角度θを逆回転させることに他なりません。
    任意の複素数とその逆数の積を計算すれば確かめられます。
  • id:moon-fondu
    ありがとうございます!
    例を探してみます・・・(^_^;)

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