複素数の証明問題で困っています。


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問:複素数平面上の3点S1(z1)、S2(z2)、S3(z3)およびT1(w1)、T2(w2)、T3(w3)について、z3-z1/z2-z1=w3-w1/w2-w1であり、この値が実数でないとき、△S1(z1)S2(z2)S3(z3)および△T1(w1)T2(w2)T3(w3)は相似であることを証明せよ。
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を解きたいのですが、どう手をつければいいのやら・・・皆さんのお力をお貸しいただきたい次第です(>_<)

※S1、z1等="1"や"2"は下付き文字なのですが、うまく書けませんでしたので、このように表記させていただきました・・・ご了承ください<m(__)m>

回答の条件
  • 1人10回まで
  • 登録:2010/01/27 03:52:51
  • 終了:2010/01/28 01:48:41

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4394ベストアンサー獲得回数4022010/01/27 09:55:39

ポイント100pt

■基本事項

 複素数平面上において、

●2点A(α),B(β)間の距離は、|β-α|・・・(A)

 複素数平面上の異なる3点をA(α),B(β),C(γ)とすると、

●∠BAC=arg{(γ-α)/(β-α)}・・・(B)

●3点A,B,Cが同じ直線上にある⇔(γ-α)/(β-α)が実数。(∵偏角が0°,180°)・・・(C)

 (z3-z1)/(z2-z1)=(w3-w1)/(w2-w1)・・・①

 ①の値が実数ではないとは、基本事項(C)から、3点S1(z1)S2(z2)S3(z3)および3点T1(w1)T2(w2)T3(w3)がそれぞれ、同じ直線上にはないということ。

 ①から、絶対値が等しく、偏角も等しいから、

|(z3-z1)/(z2-z1)|=|(w3-w1)/(w2-w1)|・・・②

arg{(z3-z1)/(z2-z1)}=arg{(w3-w1)/(w2-w1)}・・・③

 ②から、|z3-z1|/|z2-z1|=|w3-w1|/|w2-w1|

よって、基本事項(A)から、

 S1S3/S1S2=T1T3/T1T2・・・④

 ③から、基本事項(B)より、

 ∠S2S1S3=∠T2T1T3・・・⑤

④⑤から、二辺比夾角相等より、△S1S2S3(z3)∽△T1T2T3

※参考URL

●相似

三角形の相似条件

・3組の辺の比がすべて等しい(三辺比相等)。

・2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい(二辺比夾角相等)。

・2組の角がそれぞれ等しい(二角相等)。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E4%BC%BC

●複素数と複素数平面

>※2点間の距離

http://www.jttk.zaq.ne.jp/phenomenon/math/20.htm

●複素平面 -Part.2-

http://www.aristos-web.com/sozai/sample_bunri_text_2.pdf

id:moon-fondu

すごくよく理解できました!

ありがとうございます(^_^;)

2010/01/28 01:48:25
  • id:kubomi
    z3-z1/z2-z1=w3-w1/w2-w1
    とありますが、
    (z3-z1)/(z2-z1)=(w3-w1)/(w2-w1)
    という意味でしょうか?
  • id:moon-fondu
    あっ、ほんとすいません、z3-z1/z2-z1=w3-w1/w2-w1という表記だと、誤解してしまいますよね、「z1/z2」や「w1/w2」も、一つの項だともみなせますし・・・以後気をつけます(>_<)

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