「スカラー積」や「ベクトルの3重積」などを勉強していると、次の問題で行き詰ってしまいまして。


-------------------------
A、B、C、Dは、R^3のベクトルとする
このとき、

(1)A×B・C×D=(A・C)(B・D)-(A・D)(B・C)
(2)(A×B)×(C×D)=A・(B×D)C-A・(B×C)D

を証明せよ。
-------------------------

ベクトルの話の中で出てきた問題なので、ベクトルを使うと思うのですが・・・Rの3乗がどう関わってくるのかもよくわかりませんでして・・・よろしくお願いします(>_<)

回答の条件
  • 1人10回まで
  • 登録:2010/01/30 05:50:18
  • 終了:2010/02/01 00:13:32

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4380ベストアンサー獲得回数3982010/01/30 11:55:46

ポイント100pt

■基本事項

●スカラー3重積

A ・ (B × C) = B ・ (C × A) = C ・ (A × B)   ・・・①

元の式 A ・ (B × C) のベクトルはサイクリックに入れ替えても値は変わらないといえる.

●ベクトル3重積

A × (B × C) = B(A ・ C) - C(A ・ B)   ・・・②

●3 ベクトルの3重積

http://www.akita-nct.ac.jp/yamamoto/lecture/2007/p1/2nd/html/nod...

(1)(A×B)・(C×D)=(A・C)(B・D)-(A・D)(B・C)

 A×Bはベクトルだから、分かりやすくするために、これをP=A×Bとおくと、

(左辺lhs)=P・(C×D)

 基本事項①から、サイクリックに入れ替えて、

lhs=C・(D×P)

 Pを元に戻して、

lhs=C・{D×(A×B)}

 基本事項②を{}内に適用すると、

D×(A×B)=A(D・B)-B(D・A)

∴lhs=C・{A(D・B)-B(D・A)}

=(C・A)(D・B)-(C・B)(D・A)

=(A・C)(B・D)-(A・D)(B・C)=(右辺rhs)

(2)(A×B)×(C×D)=(A・(B×D))C-(A・(B×C))D

 P=A×Bとおいて、基本事項②を用いると、

lhs=P×(C×D)

=C(P・D)-D(P・C)

 内積の交換の法則から、

lhs=C(D・P)-D(C・P)

 Pを元に戻して、

lhs=C(D・(A×B))-D(C・(A×B))

 基本事項①から、()内をサイクリックに入れ替えて、

lhs=C(A・(B×D))-D(A・(B×C))

=(A・(B×D))C-(A・(B×C))D=rhs

 「R^3」とは、「3次元実数ベクトル空間」のことで、複素数までは扱いませんという程度のことであまり深い意味はないかも。

※参考URL

●Dグレード | 検定基準 | TOMACとは | 数学能力検定 TOMAC

※以下で、Rを実数全体の集合、R^2を2次元実数ベクトル空間、R^3を3次元実数ベクトル空間とします。

http://www.suriken.com/about_tomac/range/grade_d.html

●第7回講義 基礎数学Ⅰ/数学入門

R^n={(a1, a2, ・・・, an)|ai∈R:実数、i=1,2,・・・,n} を 実n次元数空間R^n という。

数が複素数のときは複素n次元数空間C^nという。今後は、すべて実n次元数空間に限って話をする。

http://sun.ac.jp/prof/hnagano/houkoku/h19kisomathe1-07.html

id:moon-fondu

ありがとうございます、ベクトルとスカラー違いもよくわかりました!

「A×B」だとベクトル、「A・(B×C)」or「A×B×C」だとスカラー3重積、括弧を省略しない「A・(B×C)」だとベクトル3重積ですね(^_^;)

すいません、でも1つだけ、疑問に思ったことが残りまして・・・

(2)の問題で、rsc96074さんは、

lhs=C(D・(A×B))-D(C・(A×B))

 基本事項①から、()内をサイクリックに入れ替えて、

lhs=C(A・(B×D))-D(A・(B×C))

と、「D・(A×B)」を「A・(B×D)」、「C・(A×B)」を「A・(B×C)」に、入れ替えになられましたが、「D・(A×B)」と「C・(A×B)」は、スカラー3重積なのでしょうか?

rsc96074さんが教えてくださったリンク先を参考にすると、ベクトル3重積は入れ替えてはいけないようで。

なので、「D・(A×B)」や「C・(A×B)」が、「これらはベクトル3重積ではなく、スカラー3重積なので、サイクリックに入れ替えてもよい」と、断定できなければならないと思うのですが、その決定打が私にも思い浮かびませんでして・・・“一度、基本事項②で、ベクトル3重積の公式を使って「C(P・D)-D(P・C)」を導き、ベクトルとして扱ったが、Pを元に戻したならば、それはベクトル3重積の縛りをほどいた最初の段階と同じなので、ベクトルで表してもスカラーで表してもどちらでもよいから、スカラー3重積として扱い、サイクリックに入れ替えた”・・・といった感じですか?

すいません、もしよろしければ、この点に関して、もう1度お答えいただけないでしょうか?

よろしくお願いします<m(__)m>

2010/01/31 14:39:01

その他の回答(2件)

id:Hyperion64 No.1

Hyperion64回答回数791ベストアンサー獲得回数842010/01/30 10:50:31

ポイント40pt

R^3とは三次元ベクトルという注釈ではないでしょうか?

公式&定義より

1) Ax(BxC)=B(AC)-C(AB)

2) A(BxC)=B(CxA)=C(AxB) ={A,B,C} 三重積

2)でのABCの順番交換を適用してから、1)を使います

(AxB)(CxD)=C[Dx(AxB)]=C{A(DB)-B(DA)}=(AC)(BD)-(AD)(BC)

1)より変形してから、三重積を適用すると

(AxB)x(CxD)=C[(AxB)D]-D[(AxB)C]=C{A,B,D}-D{A,B,C}

id:moon-fondu

ありがとうございます、なんとなく理解できました!

特に問題文に注釈はなかったのですが・・・・pyopyopyoさんがおっしゃるように、自明のことなのかもしれません・・・。

2010/01/31 14:37:42
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4380ベストアンサー獲得回数3982010/01/30 11:55:46ここでベストアンサー

ポイント100pt

■基本事項

●スカラー3重積

A ・ (B × C) = B ・ (C × A) = C ・ (A × B)   ・・・①

元の式 A ・ (B × C) のベクトルはサイクリックに入れ替えても値は変わらないといえる.

●ベクトル3重積

A × (B × C) = B(A ・ C) - C(A ・ B)   ・・・②

●3 ベクトルの3重積

http://www.akita-nct.ac.jp/yamamoto/lecture/2007/p1/2nd/html/nod...

(1)(A×B)・(C×D)=(A・C)(B・D)-(A・D)(B・C)

 A×Bはベクトルだから、分かりやすくするために、これをP=A×Bとおくと、

(左辺lhs)=P・(C×D)

 基本事項①から、サイクリックに入れ替えて、

lhs=C・(D×P)

 Pを元に戻して、

lhs=C・{D×(A×B)}

 基本事項②を{}内に適用すると、

D×(A×B)=A(D・B)-B(D・A)

∴lhs=C・{A(D・B)-B(D・A)}

=(C・A)(D・B)-(C・B)(D・A)

=(A・C)(B・D)-(A・D)(B・C)=(右辺rhs)

(2)(A×B)×(C×D)=(A・(B×D))C-(A・(B×C))D

 P=A×Bとおいて、基本事項②を用いると、

lhs=P×(C×D)

=C(P・D)-D(P・C)

 内積の交換の法則から、

lhs=C(D・P)-D(C・P)

 Pを元に戻して、

lhs=C(D・(A×B))-D(C・(A×B))

 基本事項①から、()内をサイクリックに入れ替えて、

lhs=C(A・(B×D))-D(A・(B×C))

=(A・(B×D))C-(A・(B×C))D=rhs

 「R^3」とは、「3次元実数ベクトル空間」のことで、複素数までは扱いませんという程度のことであまり深い意味はないかも。

※参考URL

●Dグレード | 検定基準 | TOMACとは | 数学能力検定 TOMAC

※以下で、Rを実数全体の集合、R^2を2次元実数ベクトル空間、R^3を3次元実数ベクトル空間とします。

http://www.suriken.com/about_tomac/range/grade_d.html

●第7回講義 基礎数学Ⅰ/数学入門

R^n={(a1, a2, ・・・, an)|ai∈R:実数、i=1,2,・・・,n} を 実n次元数空間R^n という。

数が複素数のときは複素n次元数空間C^nという。今後は、すべて実n次元数空間に限って話をする。

http://sun.ac.jp/prof/hnagano/houkoku/h19kisomathe1-07.html

id:moon-fondu

ありがとうございます、ベクトルとスカラー違いもよくわかりました!

「A×B」だとベクトル、「A・(B×C)」or「A×B×C」だとスカラー3重積、括弧を省略しない「A・(B×C)」だとベクトル3重積ですね(^_^;)

すいません、でも1つだけ、疑問に思ったことが残りまして・・・

(2)の問題で、rsc96074さんは、

lhs=C(D・(A×B))-D(C・(A×B))

 基本事項①から、()内をサイクリックに入れ替えて、

lhs=C(A・(B×D))-D(A・(B×C))

と、「D・(A×B)」を「A・(B×D)」、「C・(A×B)」を「A・(B×C)」に、入れ替えになられましたが、「D・(A×B)」と「C・(A×B)」は、スカラー3重積なのでしょうか?

rsc96074さんが教えてくださったリンク先を参考にすると、ベクトル3重積は入れ替えてはいけないようで。

なので、「D・(A×B)」や「C・(A×B)」が、「これらはベクトル3重積ではなく、スカラー3重積なので、サイクリックに入れ替えてもよい」と、断定できなければならないと思うのですが、その決定打が私にも思い浮かびませんでして・・・“一度、基本事項②で、ベクトル3重積の公式を使って「C(P・D)-D(P・C)」を導き、ベクトルとして扱ったが、Pを元に戻したならば、それはベクトル3重積の縛りをほどいた最初の段階と同じなので、ベクトルで表してもスカラーで表してもどちらでもよいから、スカラー3重積として扱い、サイクリックに入れ替えた”・・・といった感じですか?

すいません、もしよろしければ、この点に関して、もう1度お答えいただけないでしょうか?

よろしくお願いします<m(__)m>

2010/01/31 14:39:01
id:pyopyopyo No.3

pyopyopyo回答回数337ベストアンサー獲得回数792010/01/30 11:57:24

ポイント40pt

おそらく「A、B、C、D は、3次元実数ベクトルとする。」という意味です。

その問題なり教科書の前段で「R^3 を3次元実数空間とする。」と言うかんじで R^3 を定義していませんか?

数学では、定義していない記号を勝手に使うのはルール違反です。厳密には、 R^3の定義が漏ているならば、その問題なり教科書は間違いですね。moon-fonduさんが混乱するのも当然です。

ちゃんとした問題や教科書なら

http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/08zenki-kyotsuu.pdf

このようにちゃんと定義しています

とはいえ、一般にスカラー積などの話をしているときに R^3 といえば、3次元実数空間のことです。まあ書き忘れたんだな、うっかりさんだなぁ、ぐらいで多めに見てあげましょう。

id:moon-fondu

教科書には「内積の定義されたRの元を成分にもつn項数ベクトル全体の集合をR^nと表し、n次元ユークリッド空間と呼ぶ」といったことは書かれているのですが、「3次元実数空間」といった言葉は見当たらないようでして・・・全然ピンときませんでした(>_<)

ありがとうございます、R^3は「3次元実数空間」なのですね、勉強になります(^_^;)

2010/01/31 14:39:42
  • id:rsc96074
    >「A×B」だとベクトル、「A・(B×C)」or「A×B×C」だとスカラー3重積、括弧を省略しない「A・(B×C)」だとベクトル3重積ですね(^_^;)
    「(A・B)」→実数
    「A×B」→ベクトル
    「A・(B×C)」→スカラー3重積
    「A×B×C」→括弧を省略してはならない.
    「A×(B×C)」→ベクトル3重積
    ※ベクトル3重積は、「A×(B×C)」です。括弧は省略できません。「A・(B×C)」は、スカラー3重積です。

    >「D・(A×B)」と「C・(A×B)」は、スカラー3重積なのでしょうか?
    はい、スカラー3重積です。ちなみに、昔は、(A,B,C)みたいに書いていました。
  • id:rsc96074
     こちらの方がよくまとまっているかな。
    ●物理数学演習 I - (5) - ベクトルの3重積 -
    http://jody.sci.hokudai.ac.jp/~okuda/enshuu/math05.pdf
  • id:moon-fondu
    いや~“「(A・B)」→実数”で、“「A×B」→ベクトル”なんて驚きです、ここまで厳密に指定されているとは知りませんでした(>_<)
    rsc96074さんのおかげで、ベクトル3重積の公式の中に、スカラー3重積が含まれていることに、気づくことができました。
    本当にありがとうございます<m(__)m>

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