点と直線の距離

http://www.cfv21.com/math/ptoldist.htm

や、

点と平面の距離
http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2009.intro-seminar/html.dir/node31.html

について、勉強していました。
これらに関連した練習問題だと思うのですが、

---------------------------------
次の直線上にあって原点からの距離が√19である点を求めよ。

(x-1)/2 = (y-4)/1 = (z-6)/3

※直線はパラメータkを用いて x=1+2k , y=4+k , z=6+3k
---------------------------------

という問題を解きたいのですが・・・。
そもそも「パラメータk~」という注釈がある理由も、よくわかりませんでして・・・3つの式は「三次元空間の直線を表している」そうなのですが・・・。
皆様のお力をお貸しいただきたい次第です。
よろしくお願いします(>_<)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/02/02 02:18:01
  • 終了:2010/02/03 02:14:01

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4359ベストアンサー獲得回数3982010/02/02 10:27:25

ポイント100pt

 パラメーター(媒介変数)表示というのは、「比例式は、=kとおけ」から、

 (x-1)/2 = (y-4)/1 = (z-6)/3=k

とおくと、

 x=2k+1・・・①

 y=k+4・・・②

 z=3k+6・・・③

と表したものです。

 問題文の1番目のURLの公式は、平面の場合の点と直線の距離の公式だから、この問題の場合使えません。この場合、2点間の距離の公式を使います。

●空間の2点間の距離AB

 2点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)について、

 AB^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2・・・④

①②③から、直線上の点P(2k+1,k+4,3k+6)と原点(0,0,0)の距離OPについて、④から、

 OP^2=(2k+1-0)^2+(k+4-0)^2+(3k+6-0)^2=(√19)^2

∴(2k+1)^2+(k+4)^2+(3k+6)^2=19

∴14k^2+48k+53=19

∴14k^2+48k+34=0

∴7k^2+24k+17=0

∴(k+1)(7k+17)=0

∴k=-1 または、k=-17/7・・・⑤

 これを①②③に代入して、求める点の座標は、

(-1,3,3) または、(-27/7,11/7,-9/7)

※参考URL

●直線の方程式

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/iroiro-kansu/h...

●空間における直線・平面の方程式

http://naop.jp/kyouzai/yosyu/bessi/bessi17.html

●媒介変数

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AA%92%E4%BB%8B%E5%A4%89%E6%95%B...

●2点間の距離

>■座標空間の場合

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kika/henkan-tex.cgi?s...

id:moon-fondu

すごくよく理解できました!

問題文の3式がどうして直線の方程式を示しているのかも、1番目のリンクから理解できました!!

ありがとうございます<m(__)m>

2010/02/03 02:13:05

その他の回答(1件)

id:taka-hr No.1

taka-hr回答回数57ベストアンサー獲得回数42010/02/02 03:30:45

ポイント85pt

http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2009.intro-seminar/h...


に、R^3(空間)における直線のベクトル方程式があります。ここでいうところの

パラメータt と上記の問題の k が同じことです。


式変形という立場から見ると

(x-1)/2 = (y-4)/1 = (z-6)/3 = k と置くとパラメータ表示に変換できます。


あとは距離の公式に入れるだけなので解法は問題ないとは思いますが

k = -1, -(17/7) で (x, y, z) = (-1, 3, 3), (-27/7, 11/7, -9/7) になります。



以下余談ですが、R^2(平面)上の直線は ax + by + c = 0 として置けますが

R^3 では ax + by + cz + d = 0 は平面になります。で、2つの平行ではない

平面の共有点が直線になるので、


(x-1)/2 = (y-4)/1 = (z-6)/3


の式は、(x-1)/2 = (y-4)/1 と (x-1)/2 = (z-6)/3 という2つの平面の交線としても

解釈できます。

(ここでは省きますがもちろん (y-4)/1 = (z-6)/3 も同じ交線を共有する平面になります。)


たとえば (x-1)/2 = (y-4)/1 を展開すると x - 2y + 7 = 0 で、R^2 なら

直線ですが R^3 なので z 軸と平行な平面になります。同様に

(x-1)/2 = (z-6)/3 は展開すると 3x - 2z + 9 = 0 となり y 軸と平行な平面で、

その交線として直線が定義できています。


これは、z軸の方向からみる(xy平面に投影する)と x - 2y + 7 = 0 の直線に見えて、

y軸の方向からみる(xz平面に投影する)と 3x - 2z + 9 = 0 の直線に見えるような

図形である、ということに対応します。


以上余談でした。これを説明するための画像など探したのですが見当たらなくて、

余計混乱させたらすみませんw;

id:moon-fondu

ご回答いただきありがとうございます!

余談も面白いですね。ちょっと私の想像力では、平面が交わっている像をイメージできませんでしたが・・・興味深いです(^_^;)

2010/02/03 02:12:56
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4359ベストアンサー獲得回数3982010/02/02 10:27:25ここでベストアンサー

ポイント100pt

 パラメーター(媒介変数)表示というのは、「比例式は、=kとおけ」から、

 (x-1)/2 = (y-4)/1 = (z-6)/3=k

とおくと、

 x=2k+1・・・①

 y=k+4・・・②

 z=3k+6・・・③

と表したものです。

 問題文の1番目のURLの公式は、平面の場合の点と直線の距離の公式だから、この問題の場合使えません。この場合、2点間の距離の公式を使います。

●空間の2点間の距離AB

 2点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)について、

 AB^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2・・・④

①②③から、直線上の点P(2k+1,k+4,3k+6)と原点(0,0,0)の距離OPについて、④から、

 OP^2=(2k+1-0)^2+(k+4-0)^2+(3k+6-0)^2=(√19)^2

∴(2k+1)^2+(k+4)^2+(3k+6)^2=19

∴14k^2+48k+53=19

∴14k^2+48k+34=0

∴7k^2+24k+17=0

∴(k+1)(7k+17)=0

∴k=-1 または、k=-17/7・・・⑤

 これを①②③に代入して、求める点の座標は、

(-1,3,3) または、(-27/7,11/7,-9/7)

※参考URL

●直線の方程式

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/iroiro-kansu/h...

●空間における直線・平面の方程式

http://naop.jp/kyouzai/yosyu/bessi/bessi17.html

●媒介変数

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AA%92%E4%BB%8B%E5%A4%89%E6%95%B...

●2点間の距離

>■座標空間の場合

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kika/henkan-tex.cgi?s...

id:moon-fondu

すごくよく理解できました!

問題文の3式がどうして直線の方程式を示しているのかも、1番目のリンクから理解できました!!

ありがとうございます<m(__)m>

2010/02/03 02:13:05
  • id:karuishi
    x=1+2k , y=4+k , z=6+3k の
    「パラメータk~」というのは自由に数値を入れればいいのですよ。
    k=-0.5なら (x,y,z)=(0,3.5,4.5)
    k=-2なら (x,y,z)=(-3,2,0)
    k=-4なら (x,y,z)=(-7,0,-6)
    できた(x,y,z)座標は、kの一次関数なので1つの直線上にあります。

    原点(0,0,0)から距離が√19である点の集合は何か判りますよね。
    x^2+y^2+z^2が 19になるkを求めて代入すればOKです。

  • id:moon-fondu
    パラメーターって「自由に数値を入れていいもの」なのですね!
    ありがとうございます、勉強になります(^_^;)

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