完全な平面地面で、垂直に重力加速度が均質に掛かった土地では、最速降下曲線がサイクロイド曲線と成ることには、異議(も疑問)はありませんが、その(最速降下曲線)説明に「球を転がした時」とあるURLが多いですが納得できません。おそらく、定義として「物体を(球でも、円柱でも、直方体でも)摩擦・抵抗無く滑らせた時」が正しいのではないでしょうか。なぜならば球でも、円柱、円筒を曲線に沿わせて転がす(回転させる)と慣性モーメント(慣性能率)が働くので、転がり始めはそれぞれの形状に応じ、完全な最速降下曲線の理論値より遅れると思うのですが。本当のところをお教えください。

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  • 登録:2010/02/06 22:01:56
  • 終了:2010/02/12 21:34:43

ベストアンサー

id:ita No.1

ita回答回数204ベストアンサー獲得回数482010/02/06 23:17:35

ポイント100pt

結論から言えば解は同じになります。

まず質点の場合、hだけ降下した時の速さvは mgh=1/2 mv^2 から v=sqrt(2gh)と計算でき、

横方向の座標xの関数として経路をh(x)と表すと xからx+dxまでの距離は dx sqrt(1+h'(x)^2),これを速度v=sqrt(2gh)で走破する時間はdt= dx sqrt(1+h'(x)^2)/sqrt(2gh), これをxについて積分したのが降下にかかる時間となり、それを最小化します。

次に滑らない球あるいは円柱の場合。速度vで回転速度ωの時、慣性モーメントをIとすると運動エネルギーは 1/2 m v^2 + 1/2 I ω^2 となりますが、滑らないという条件から半径をRとするとω=v/Rとなります。すなわち運動エネルギー= 1/2 (m+I/R^2) v^2

これが位置エネルギー分 mgh に等しいとして速度は sqrt(2mgh/ (m+I/R^2))と求まります。sqrt(h)に比例するのは質点の場合と同じで係数だけ違います。ここから先は上と同じ計算で定数倍だけ違うだけです。

そして最小にすべき式を定数倍しても、それを最小にする関数は同じになるので結局同じ経路が最速になります。

id:Moonbal_Sunbal

ありがとうございました。

2010/02/12 21:33:04
  • id:ita
    補足:自分の解答で示したのは球などの重心の軌跡なので、坂の形状はその軌跡から距離r(球の半径)離れた点の包絡線になり若干ずれます。
  • id:Moonbal_Sunbal
    Moonbal_Sunbal 2010/02/10 22:22:31
    itaさんが質問後すぐに回答頂いた事は、先々重々承知ですが、おそらく完璧な(または完璧に近い)回答を頂いていると想像しいています。それで、早々に開けると、他の方が回答し難いと思い、開いていません。的外れでも一人でも多くの人から回答を期待しています。6日目までには必ず開けて、評価させていただきます。

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