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学習・教育

1265909198 積分の質問です。とある微分方程式の教科書↓

http://www.yellow-king.com/list.php?search=%E4%BB%8A%E6%97%A5%E3%81%8B%E3%82%89%E4%BD%BF%E3%81%88%E3%82%8B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
を読んでいると・・・


1/(b0－a0)・{dc/(a0－c)－dc/(b0－c)}＝rdt

を積分すると、

1/(b0－a0)・{ln(a0－c)－ln(b0－c)}＝rt＋K　(Kは積分定数)

を得ます。

・・・といった記述がありました。
「ln＝loge(自然対数)」ということで、ここでは、

1/xを積分→loge＋C
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2626092.html

の公式が、「1/(a0－c)」と「1/(b0－c)」に使われていると思うのですが、間の計算過程が、よくわからないのです。
「dcが消えてるので、dcで積分しているのかな？」と思ってみたのですが、dcで積分しようとすると、例えば「ln(a0－c)」の項は、

∫{dc/(a0－c)}dc
＝∫{dc・dc/(a0－c)}

となってしまい、「ln(a0－c)」が、導けないような気がするのです・・・また、dcで積分しているのであれば、右辺の「rdt」における"dt"が消えて、「rt＋K」になっているのも、よくわかりません(>_<)

式がうまく記述できないので、添付画像もご覧になっていただきたいのですが、(1)を積分するとどうして(2)になるのか、教えていただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録：2010/02/12 02:26:41
  • 終了：2010/02/15 00:26:39

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4399ベストアンサー獲得回数4032010/02/12 06:41:15

ポイント100pt

　変数分離形だから、左辺はｃで、右辺はｔで積分しています。

\frac{1}{b_{0}-a_{0}}\left(\frac{dc}{a_{0}-c}-\frac{dc}{b_{0}-c}\right)=rdt

\frac{1}{b_{0}-a_{0}}\int\left(\frac{1}{a_{0}-c}-\frac{1}{b_{0}-c}\right)dc=\int rdt

\frac{1}{b_{0}-a_{0}}\left(\int\frac{dc}{a_{0}-c}-\int\frac{dc}{b_{0}-c}\right)dc=r\int dt

\frac{1}{a_{0}-b_{0}}\left(\ln\left|a_{0}-c\right|-\ln\left|b_{0}-c\right|\right)=rt+K

　　↑

　下記URLの1/(ax+b)の積分公式によると、ｘの係数の逆数を掛けていますが、この場合、-ｃだから、-1を掛けることになると思うのですが、式の写し間違いはないでしょうか。

●変数分離形

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/separatVariables/

●ax +b =t とおける置換積分の具体例

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henka...

●積分　1/(ax+b)

∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)log|ax+b|+C

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henka...(1)(ax_plus_b).html

id:moon-fondu

参考書のp114を何度も確認してみたのですが、式の写し間違いはないと思います・・・「b0－a0」の、「a0－b0」への変化も、特にしていないですね(>_<)

あと、すいません、まだよく理解できませんでして・・・

rsc96074さんが書いてくださった式の、上から3つめ→4つめに移行する箇所で「？」となってしまいました。

1/(b0－a0)・{∫dc/(a0－c)－∫dc/(b0－c)}dc＝r∫dt

の箇所で、rsc96074さんが添付してくださった、

∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)log|ax+b|+C

の、公式を用いるのですか？

3つめの式で、カッコ内の「dc/(a0－c)」も「dc/(b0－c)」も、分子がdcです。

この状態で、cによる積分を実行すると、「∫dc/(a0－c)・dc」「∫dc/(b0－c)・dc」になると思うのですが、

公式では分子が「1」の状態で、また、添付してくださった1番目のリンク先にも、

∫(1/y)dy＝log|y|

のように、分子が1の状態の時にlogに変換可能であるようでして、今回のように、

∫{dc/(a0－c)}dc

や、

∫{dc/(b0－c}dc

のように、分子が1ではなくdcの場合でも、「log|a0－c|」と「log|b0－c|」にできるのは、どうしてなのでしょうか？

お手数おかけしてすいません。

もしよろしければ、再度ご回答いただければ嬉しいです。

よろしくお願いします<m(__)m>

2010/02/13 16:07:56

その他の回答（1件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4399ベストアンサー獲得回数4032010/02/12 06:41:15ここでベストアンサー

ポイント100pt

　変数分離形だから、左辺はｃで、右辺はｔで積分しています。

\frac{1}{b_{0}-a_{0}}\left(\frac{dc}{a_{0}-c}-\frac{dc}{b_{0}-c}\right)=rdt

\frac{1}{b_{0}-a_{0}}\int\left(\frac{1}{a_{0}-c}-\frac{1}{b_{0}-c}\right)dc=\int rdt

\frac{1}{b_{0}-a_{0}}\left(\int\frac{dc}{a_{0}-c}-\int\frac{dc}{b_{0}-c}\right)dc=r\int dt

\frac{1}{a_{0}-b_{0}}\left(\ln\left|a_{0}-c\right|-\ln\left|b_{0}-c\right|\right)=rt+K

　　↑

　下記URLの1/(ax+b)の積分公式によると、ｘの係数の逆数を掛けていますが、この場合、-ｃだから、-1を掛けることになると思うのですが、式の写し間違いはないでしょうか。

●変数分離形

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/separatVariables/

●ax +b =t とおける置換積分の具体例

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henka...

●積分　1/(ax+b)

∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)log|ax+b|+C

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henka...(1)(ax_plus_b).html

id:moon-fondu

参考書のp114を何度も確認してみたのですが、式の写し間違いはないと思います・・・「b0－a0」の、「a0－b0」への変化も、特にしていないですね(>_<)

あと、すいません、まだよく理解できませんでして・・・

rsc96074さんが書いてくださった式の、上から3つめ→4つめに移行する箇所で「？」となってしまいました。

1/(b0－a0)・{∫dc/(a0－c)－∫dc/(b0－c)}dc＝r∫dt

の箇所で、rsc96074さんが添付してくださった、

∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)log|ax+b|+C

の、公式を用いるのですか？

3つめの式で、カッコ内の「dc/(a0－c)」も「dc/(b0－c)」も、分子がdcです。

この状態で、cによる積分を実行すると、「∫dc/(a0－c)・dc」「∫dc/(b0－c)・dc」になると思うのですが、

公式では分子が「1」の状態で、また、添付してくださった1番目のリンク先にも、

∫(1/y)dy＝log|y|

のように、分子が1の状態の時にlogに変換可能であるようでして、今回のように、

∫{dc/(a0－c)}dc

や、

∫{dc/(b0－c}dc

のように、分子が1ではなくdcの場合でも、「log|a0－c|」と「log|b0－c|」にできるのは、どうしてなのでしょうか？

お手数おかけしてすいません。

もしよろしければ、再度ご回答いただければ嬉しいです。

よろしくお願いします<m(__)m>

2010/02/13 16:07:56
id:imo758 No.2

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192010/02/12 04:33:13

ポイント50pt

ここでのdは変数ではなく無限小変化(difference?)を表す記号です。

dcは「無限小変化を扱う代数はc」ということを表します。

例えばf'(x) = (d/dx)fなどと書きます。


cとtを馴染みのあるであろうxとXという文字に置き換えて考えると

1/(b0－a0)・{dc/(a0－c)－dc/(b0－c)} ＝ rdt　は

1/(b0－a0)・{dx/(a0－x)－dx/(b0－x)} ＝ rdX

となります。

ここで両辺に不定積分という同じ操作を考えると

∫ [1/(b0－a0)・{dx/(a0－x)－dx/(b0－x)}] dx ＝ ∫r dX　さらに

1/(b0－a0)・∫ [{1/(a0－x)－1/(b0－x)}] dx ＝ r∫1・dX　と変形でき

1/(b0－a0)・{ln(a0－x)－ln(b0－x)}＝rx＋K

が導かれます。

また各項の積分定数Kは具体的な値ではないので、どこかにひとつあれば十分というわけです。

id:moon-fondu

すいません、imo758さんが回答してくださった、

∫ [1/(b0－a0)・{dx/(a0－x)－dx/(b0－x)}] dx ＝ ∫r dX　さらに

1/(b0－a0)・∫ [{1/(a0－x)－1/(b0－x)}] dx ＝ r∫1・dX　と変形でき

の箇所で、疑問が湧きまして・・・

∫ [1/(b0－a0)・{dx/(a0－x)－dx/(b0－x)}] dx ＝ ∫r dX

の左辺の{}内には、それぞれの項の分子に「dx」があり、[]内の外には、また「dx」があるようで。

そこから、

1/(b0－a0)・∫ [{1/(a0－x)－1/(b0－x)}] dx ＝ r∫1・dX

に持っていく際、左辺の{}内のそれぞれの項の分子にあった「dx」は、どこに消えたのでしょうか？

2010/02/13 16:24:01

コメント（7件)

  • id:Mathusala
    サディア・ラボン 2010/02/12 05:43:25
    微分と積分は、互いに逆演算です。
    eの値は忘れましたが、式の答えをその数字にしたら、
    答えから式を求めた時に、ちゃんと元の数字に戻ります。


    cについては、
    各瞬間における加速度の式を、積分したら、
    それまでに走った距離を求める式になります。
    この時につく+cは、それまでに、すでに走っている距離を付け足します。
  • id:moon-fondu
    moon-fondu 2010/02/13 16:42:44
    既に走ってる距離が「c」ですか、積分定数について、そこまで深く意識したことありませんでした・・・
    ありがとうございます(^_^;)
  • id:imo758
    imo758 2010/02/13 19:03:40
    誤：
    ∫ [1/(b0－a0)・{dx/(a0－x)－dx/(b0－x)}] dx ＝ ∫r dX　さらに
    1/(b0－a0)・∫ [{1/(a0－x)－1/(b0－x)}] dx ＝ r∫1・dX　と変形でき

    正：
    ∫ [1/(b0－a0)・{dx/(a0－x)－dx/(b0－x)}] ＝ ∫r dX　さらに
    1/(b0－a0)・∫ [{1/(a0－x)－1/(b0－x)}] dx ＝ r∫1・dX　と変形でき

    ですすいません。
  • id:rsc96074
    rsc 2010/02/13 21:11:58
    　1番目の式から2番目の式の変形で一度、dcを括弧の外に出したのは、変数分離形だということが、はっきりするように出してみただけです。普通は飛ばします。
  • id:rsc96074
    rsc 2010/02/14 02:08:25
    　3番目のURLはうまく飛べないですね。2番目のURLの下の方の
    ＞■具体例
    の下の方にあります。導き方は、「ここ」と書いているところをクリックすれば出て来ます。
    ＞⇒計算手順はここ
  • id:rsc96074
    rsc 2010/02/14 02:16:31
    　すみません。3つ目の式は、書き間違いでした。ただしくは、次の通りです。括弧の外の「dc」は要りませんでした。
    1/(b0－a0)・{∫dc/(a0－c)－∫dc/(b0－c)}＝r∫dt
    　それから、∫(dy/y)=∫(1/y)dyで、ただの表記法の違いです。それから、dx/x=d(ln x)は準公式のように使っていました。
    　もう一回書き直すと、
    　1/(b0－a0)・{dc/(a0－c)－dc/(b0－c)}＝rdt
    ∴1/(b0－a0)・∫{1/(a0－c)－1/(b0－c)}dc＝∫rdt
    ∴1/(b0－a0)・{∫dc/(a0－c)－∫dc/(b0－c)}＝r∫dt
    ∴1/(a0－b0)・(ln|a0－c|－ln|b0－c|)＝rt＋K　(Kは積分定数)
    　別の方法で変形してみると、つまり、積分変数ｃの係数が1になるように変形してから積分公式を用いると、
    　1/(b0－a0)・{dc/(a0－c)－dc/(b0－c)}＝rdt
    　「・」の前後にそれぞれ-1を掛けてみると、
    ∴1/(a0－b0)・{dc/(c－a0)－dc/(c－b0)}＝rdt
    　両辺を積分すると、
    ∴1/(a0－b0)・{∫dc/(c－a0)－∫dc/(c－b0)}＝r∫dt
    　3番目のURLの公式を用いて、
    ∴1/(a0－b0)・{ln|c－a0|－ln|c－b0|}＝rt＋K　(Kは積分定数)
    　|c－a0|＝|a0－c|、|c－b0|＝|b0－c|だから、
    ∴1/(a0－b0)・{ln|a0－c|－ln|b0－c|}＝rt＋K

    　ちなみに、こういうのがあります。a0をa、b0をb、cをｘに変えて、次式のようなBASICの記法で式を入れてやると不定積分を計算してくれます。
    1/(b-a)*(1/(a-x)-1/(b-x))
    ●Wolfram Mathematica Online Integrator
    http://integrals.wolfram.com/index.jsp
  • id:moon-fondu
    moon-fondu 2010/02/15 00:25:38
    ＞imo758さん

    すいません、変な質問をしてしまいました(>_<)
    質問文の時点で、

    1/(b0－a0){dc/(a0－c)－dc/(b0－c)}＝rdt

    ですから、dcは外に出して、カッコ内の項の分子は1にできまよね！
    いや～うっかりしていました。
    すいません・・・(^_^;)

    ＞rsc96074さん
    rsc96074さんもすいません、ほんと私のうっかりのせいで、愚問をしてしまいました(>_<)

    3番目はこれ↓
    http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henkan.cgi?target=/math/category/sekibun/example/int-tikansekibun-frac%281%29%28ax_plus_b%29.html
    ですね！
    わかりやすいです(>_<)

    別の変形方法も教えていただき勉強になります！

    最後に教えてくださったウォルフマン何とかもすごいですね！
    キレイに計算結果が出てきました！！
    いろいろ教えていただき、ありがとうございます(^_^;)

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