http://www.yellow-king.com/list.php?search=%E4%BB%8A%E6%97%A5%E3%81%8B%E3%82%89%E4%BD%BF%E3%81%88%E3%82%8B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
を読んでいると・・・
1/(b0-a0)・{dc/(a0-c)-dc/(b0-c)}=rdt
を積分すると、
1/(b0-a0)・{ln(a0-c)-ln(b0-c)}=rt+K (Kは積分定数)
を得ます。
・・・といった記述がありました。
「ln=loge(自然対数)」ということで、ここでは、
1/xを積分→loge+C
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2626092.html
の公式が、「1/(a0-c)」と「1/(b0-c)」に使われていると思うのですが、間の計算過程が、よくわからないのです。
「dcが消えてるので、dcで積分しているのかな?」と思ってみたのですが、dcで積分しようとすると、例えば「ln(a0-c)」の項は、
∫{dc/(a0-c)}dc
=∫{dc・dc/(a0-c)}
となってしまい、「ln(a0-c)」が、導けないような気がするのです・・・また、dcで積分しているのであれば、右辺の「rdt」における"dt"が消えて、「rt+K」になっているのも、よくわかりません(>_<)
式がうまく記述できないので、添付画像もご覧になっていただきたいのですが、(1)を積分するとどうして(2)になるのか、教えていただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>
変数分離形だから、左辺はcで、右辺はtで積分しています。
↑
下記URLの1/(ax+b)の積分公式によると、xの係数の逆数を掛けていますが、この場合、-cだから、-1を掛けることになると思うのですが、式の写し間違いはないでしょうか。
●変数分離形
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/separatVariables/
●ax +b =t とおける置換積分の具体例
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henka...
●積分 1/(ax+b)
∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)log|ax+b|+C
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henka...(1)(ax_plus_b).html
変数分離形だから、左辺はcで、右辺はtで積分しています。
↑
下記URLの1/(ax+b)の積分公式によると、xの係数の逆数を掛けていますが、この場合、-cだから、-1を掛けることになると思うのですが、式の写し間違いはないでしょうか。
●変数分離形
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/separatVariables/
●ax +b =t とおける置換積分の具体例
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henka...
●積分 1/(ax+b)
∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)log|ax+b|+C
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henka...(1)(ax_plus_b).html
参考書のp114を何度も確認してみたのですが、式の写し間違いはないと思います・・・「b0-a0」の、「a0-b0」への変化も、特にしていないですね(>_<)
あと、すいません、まだよく理解できませんでして・・・
rsc96074さんが書いてくださった式の、上から3つめ→4つめに移行する箇所で「?」となってしまいました。
1/(b0-a0)・{∫dc/(a0-c)-∫dc/(b0-c)}dc=r∫dt
の箇所で、rsc96074さんが添付してくださった、
∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)log|ax+b|+C
の、公式を用いるのですか?
3つめの式で、カッコ内の「dc/(a0-c)」も「dc/(b0-c)」も、分子がdcです。
この状態で、cによる積分を実行すると、「∫dc/(a0-c)・dc」「∫dc/(b0-c)・dc」になると思うのですが、
公式では分子が「1」の状態で、また、添付してくださった1番目のリンク先にも、
∫(1/y)dy=log|y|
のように、分子が1の状態の時にlogに変換可能であるようでして、今回のように、
∫{dc/(a0-c)}dc
や、
∫{dc/(b0-c}dc
のように、分子が1ではなくdcの場合でも、「log|a0-c|」と「log|b0-c|」にできるのは、どうしてなのでしょうか?
お手数おかけしてすいません。
もしよろしければ、再度ご回答いただければ嬉しいです。
よろしくお願いします<m(__)m>
ここでのdは変数ではなく無限小変化(difference?)を表す記号です。
dcは「無限小変化を扱う代数はc」ということを表します。
例えばf'(x) = (d/dx)fなどと書きます。
cとtを馴染みのあるであろうxとXという文字に置き換えて考えると
1/(b0-a0)・{dc/(a0-c)-dc/(b0-c)} = rdt は
1/(b0-a0)・{dx/(a0-x)-dx/(b0-x)} = rdX
となります。
ここで両辺に不定積分という同じ操作を考えると
∫ [1/(b0-a0)・{dx/(a0-x)-dx/(b0-x)}] dx = ∫r dX さらに
1/(b0-a0)・∫ [{1/(a0-x)-1/(b0-x)}] dx = r∫1・dX と変形でき
1/(b0-a0)・{ln(a0-x)-ln(b0-x)}=rx+K
が導かれます。
また各項の積分定数Kは具体的な値ではないので、どこかにひとつあれば十分というわけです。
すいません、imo758さんが回答してくださった、
∫ [1/(b0-a0)・{dx/(a0-x)-dx/(b0-x)}] dx = ∫r dX さらに
1/(b0-a0)・∫ [{1/(a0-x)-1/(b0-x)}] dx = r∫1・dX と変形でき
の箇所で、疑問が湧きまして・・・
∫ [1/(b0-a0)・{dx/(a0-x)-dx/(b0-x)}] dx = ∫r dX
の左辺の{}内には、それぞれの項の分子に「dx」があり、[]内の外には、また「dx」があるようで。
そこから、
1/(b0-a0)・∫ [{1/(a0-x)-1/(b0-x)}] dx = r∫1・dX
に持っていく際、左辺の{}内のそれぞれの項の分子にあった「dx」は、どこに消えたのでしょうか?
参考書のp114を何度も確認してみたのですが、式の写し間違いはないと思います・・・「b0-a0」の、「a0-b0」への変化も、特にしていないですね(>_<)
あと、すいません、まだよく理解できませんでして・・・
rsc96074さんが書いてくださった式の、上から3つめ→4つめに移行する箇所で「?」となってしまいました。
1/(b0-a0)・{∫dc/(a0-c)-∫dc/(b0-c)}dc=r∫dt
の箇所で、rsc96074さんが添付してくださった、
∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)log|ax+b|+C
の、公式を用いるのですか?
3つめの式で、カッコ内の「dc/(a0-c)」も「dc/(b0-c)」も、分子がdcです。
この状態で、cによる積分を実行すると、「∫dc/(a0-c)・dc」「∫dc/(b0-c)・dc」になると思うのですが、
公式では分子が「1」の状態で、また、添付してくださった1番目のリンク先にも、
∫(1/y)dy=log|y|
のように、分子が1の状態の時にlogに変換可能であるようでして、今回のように、
∫{dc/(a0-c)}dc
や、
∫{dc/(b0-c}dc
のように、分子が1ではなくdcの場合でも、「log|a0-c|」と「log|b0-c|」にできるのは、どうしてなのでしょうか?
お手数おかけしてすいません。
もしよろしければ、再度ご回答いただければ嬉しいです。
よろしくお願いします<m(__)m>