積分の質問です。とある微分方程式の教科書↓
http://www.yellow-king.com/list.php?search=%E4%BB%8A%E6%97%A5%E3%81%8B%E3%82%89%E4%BD%BF%E3%81%88%E3%82%8B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
を読んでいると・・・
1/(b0－a0)・{dc/(a0－c)－dc/(b0－c)}＝rdt
を積分すると、
1/(b0－a0)・{ln(a0－c)－ln(b0－c)}＝rt＋K (Kは積分定数)
を得ます。
・・・といった記述がありました。
「ln＝loge(自然対数)」ということで、ここでは、
1/xを積分→loge＋C
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2626092.html
の公式が、「1/(a0－c)」と「1/(b0－c)」に使われていると思うのですが、間の計算過程が、よくわからないのです。
「dcが消えてるので、dcで積分しているのかな？」と思ってみたのですが、dcで積分しようとすると、例えば「ln(a0－c)」の項は、
∫{dc/(a0－c)}dc
＝∫{dc・dc/(a0－c)}
となってしまい、「ln(a0－c)」が、導けないような気がするのです・・・また、dcで積分しているのであれば、右辺の「rdt」における"dt"が消えて、「rt＋K」になっているのも、よくわかりません(>_<)
式がうまく記述できないので、添付画像もご覧になっていただきたいのですが、(1)を積分するとどうして(2)になるのか、教えていただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>
No.1
4420
408
100pt
変数分離形だから、左辺はｃで、右辺はｔで積分しています。
↑
下記URLの1/(ax+b)の積分公式によると、ｘの係数の逆数を掛けていますが、この場合、-ｃだから、-1を掛けることになると思うのですが、式の写し間違いはないでしょうか。
●変数分離形
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/separatVariables/
●ax +b =t とおける置換積分の具体例
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henka...
●積分 1/(ax+b)
∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)log|ax+b|+C
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henka...(1)(ax_plus_b).html
No.1
4420408
ここでベストアンサー
100pt
変数分離形だから、左辺はｃで、右辺はｔで積分しています。
↑
下記URLの1/(ax+b)の積分公式によると、ｘの係数の逆数を掛けていますが、この場合、-ｃだから、-1を掛けることになると思うのですが、式の写し間違いはないでしょうか。
●変数分離形
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/separatVariables/
●ax +b =t とおける置換積分の具体例
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henka...
●積分 1/(ax+b)
∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)log|ax+b|+C
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henka...(1)(ax_plus_b).html
参考書のp114を何度も確認してみたのですが、式の写し間違いはないと思います・・・「b0－a0」の、「a0－b0」への変化も、特にしていないですね(>_<)
あと、すいません、まだよく理解できませんでして・・・
rsc96074さんが書いてくださった式の、上から3つめ→4つめに移行する箇所で「？」となってしまいました。
1/(b0－a0)・{∫dc/(a0－c)－∫dc/(b0－c)}dc＝r∫dt
の箇所で、rsc96074さんが添付してくださった、
∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)log|ax+b|+C
の、公式を用いるのですか？
3つめの式で、カッコ内の「dc/(a0－c)」も「dc/(b0－c)」も、分子がdcです。
この状態で、cによる積分を実行すると、「∫dc/(a0－c)・dc」「∫dc/(b0－c)・dc」になると思うのですが、
公式では分子が「1」の状態で、また、添付してくださった1番目のリンク先にも、
∫(1/y)dy＝log|y|
のように、分子が1の状態の時にlogに変換可能であるようでして、今回のように、
∫{dc/(a0－c)}dc
や、
∫{dc/(b0－c}dc
のように、分子が1ではなくdcの場合でも、「log|a0－c|」と「log|b0－c|」にできるのは、どうしてなのでしょうか？
お手数おかけしてすいません。
もしよろしければ、再度ご回答いただければ嬉しいです。
よろしくお願いします<m(__)m>
No.2
12119
50pt
ここでのdは変数ではなく無限小変化(difference?)を表す記号です。
dcは「無限小変化を扱う代数はc」ということを表します。
例えばf'(x) = (d/dx)fなどと書きます。
cとtを馴染みのあるであろうxとXという文字に置き換えて考えると
1/(b0－a0)・{dc/(a0－c)－dc/(b0－c)} ＝ rdt は
1/(b0－a0)・{dx/(a0－x)－dx/(b0－x)} ＝ rdX
となります。
ここで両辺に不定積分という同じ操作を考えると
∫ [1/(b0－a0)・{dx/(a0－x)－dx/(b0－x)}] dx ＝ ∫r dX さらに
1/(b0－a0)・∫ [{1/(a0－x)－1/(b0－x)}] dx ＝ r∫1・dX と変形でき
1/(b0－a0)・{ln(a0－x)－ln(b0－x)}＝rx＋K
が導かれます。
また各項の積分定数Kは具体的な値ではないので、どこかにひとつあれば十分というわけです。
すいません、imo758さんが回答してくださった、
∫ [1/(b0－a0)・{dx/(a0－x)－dx/(b0－x)}] dx ＝ ∫r dX さらに
1/(b0－a0)・∫ [{1/(a0－x)－1/(b0－x)}] dx ＝ r∫1・dX と変形でき
の箇所で、疑問が湧きまして・・・
∫ [1/(b0－a0)・{dx/(a0－x)－dx/(b0－x)}] dx ＝ ∫r dX
の左辺の{}内には、それぞれの項の分子に「dx」があり、[]内の外には、また「dx」があるようで。
そこから、
1/(b0－a0)・∫ [{1/(a0－x)－1/(b0－x)}] dx ＝ r∫1・dX
に持っていく際、左辺の{}内のそれぞれの項の分子にあった「dx」は、どこに消えたのでしょうか？
サディア・ラボン
2010/02/12 05:43:25
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imo758
rsc
参考書のp114を何度も確認してみたのですが、式の写し間違いはないと思います・・・「b0－a0」の、「a0－b0」への変化も、特にしていないですね(>_<)
あと、すいません、まだよく理解できませんでして・・・
rsc96074さんが書いてくださった式の、上から3つめ→4つめに移行する箇所で「？」となってしまいました。
1/(b0－a0)・{∫dc/(a0－c)－∫dc/(b0－c)}dc＝r∫dt
の箇所で、rsc96074さんが添付してくださった、
∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)log|ax+b|+C
の、公式を用いるのですか？
3つめの式で、カッコ内の「dc/(a0－c)」も「dc/(b0－c)」も、分子がdcです。
この状態で、cによる積分を実行すると、「∫dc/(a0－c)・dc」「∫dc/(b0－c)・dc」になると思うのですが、
公式では分子が「1」の状態で、また、添付してくださった1番目のリンク先にも、
∫(1/y)dy＝log|y|
のように、分子が1の状態の時にlogに変換可能であるようでして、今回のように、
∫{dc/(a0－c)}dc
や、
∫{dc/(b0－c}dc
のように、分子が1ではなくdcの場合でも、「log|a0－c|」と「log|b0－c|」にできるのは、どうしてなのでしょうか？
お手数おかけしてすいません。
もしよろしければ、再度ご回答いただければ嬉しいです。
よろしくお願いします<m(__)m>