ベクトルを使えばいいのでしょうか、


-----------------------------------------
A×B=E
とおいて、
(A×B)×(C×D)=E×(C×D)=(A・B×D)C-(A・B×C)D
を証明せよ。
-----------------------------------------

という問題で頭を悩ましておりまして・・・どう証明すればいいのやら・・・皆様のお力をお貸しいただきたい次第です(>_<)
よろしくお願いします<m(__)m>

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/02/23 08:38:48
  • 終了:2010/02/24 03:01:14

ベストアンサー

id:yo-kun No.1

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302010/02/23 11:31:26

ポイント70pt

前提知識として

・スカラー三重積の公式

X・(Y×Z)=Y・(Z×X)=Z・(X×Y)

・ベクトル三重積の公式

X×(Y×Z)=(X・Z)Y-(X・Y)Z

を利用します。

おそらくどの教科書にも書いてあると思います。


A×B=Eとおくと

(A×B)×(C×D)=E×(C×D)

ベクトル三重積の公式から

E×(C×D)=(E・D)C-(E・C)D  ・・・(1)


さて、内積は積の順序を入れ替えても良いこと、およびスカラー三重積の公式より

E・D=D・E=D・(A×B)=A・(B×D)  ・・・(2)

同様に

E・C=C・E=C・(A×B)=A・(B×C)  ・・・(3)


(2)と(3)を(1)に代入すれば

(A×B)×(C×D)=(A・(B×D))C-(A・(B×C))D

が得られます。

id:moon-fondu

ありがとうございます!理解できました!!

2010/02/24 03:00:48
  • id:horonict
    (A・B×D)C-(A・B×C)D
    この「・」と「×」は同じ意味(乗算)ということですか?
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/02/23 10:55:44
    ベクトルの内積と外積で(ご自身で)解いてください。
    内積 a・b=|a||b|cosθ でスカラー積になります。
    外積 axb=|a||b|sinθ でベクトル積になります。
    参考URL
    http://www.deqnotes.net/acmicpc/2d_geometry/products
  • id:rsc96074
     前に質問された、この質問の(2)と同じです。この質問のPをEに変えるだけです。
    http://q.hatena.ne.jp/1264798218
    それから、(A・B×D)C-(A・B×C)Dよりも、(A・(B×D))C-(A・(B×C))Dの方がわかりやすいかも。
    それから、(A・B)でスカラー(R^3だから実数)、(A×B)でベクトルになると憶えておくといいかも。
    それから、公式 A×(B×C)=(A・C)B-(A・B)Cも押さえ所かな。
    それから、内積の交換法則も(A・B)=(B・A)。これは高校でも習ったはず。

     もしかして、E×(C×D)=(E・D)C-(E・C)Dの証明が欲しいのでしょうか。

  • id:moon-fondu
    皆様すいません。
    わかりにく記述をしてしまいました・・・また、rsc96074さんにご指摘された通り、前回の質問内容をしっかり復習していませんでした、申し訳ございません(>_<)

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