クラメールの方法を用いて逆行列を求めるには、どうすればよいのでしょうか?


--------------------------
次の行列の逆行列をクラメールの方法で求めよ。

(1)
(a 0 b)
(0 a 0)
(b 0 a)

(2)
(a 0 0)
(b a b)
(0 0 a)

--------------------------

という問題でして・・・行列の勉強は今年始めたばかりなので、まだ普通の(一般的な)逆行列の求め方との違いもよく把握していないのですが・・・よろしくお願いします(>_<)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2010/02/26 04:07:00
  • 終了:2010/03/04 22:24:58

ベストアンサー

id:imo758 No.6

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192010/03/02 17:39:03

ポイント100pt

1.転置行列

転置行列とは、行と列を入れ替えた行列で、行列の右上肩に^Tなどとして表します。例えば

\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)^{T}=\left(\begin{array}{ccc} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & a \end{array}\right)

となります。

2.余因子

i行j列を取り去った行列の行列式に(-1)^{(i+j)}を乗じたものを(i,j)-余因子といいます。例えば

\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)における(1,2)-余因子は、i行が(a,b,c)、j列が\left(\begin{array}{ccc} b \\ e \\ h \end{array}\right)ですから(-1)^{(1+2)}\dot{}\left|\begin{array}{cc} d & f \\ g & i \end{array}\right|となります。

3.一般の3行3列の逆行列

いま行列Aの(i,j)-余因子を\Delta_{i,j}と記すとします。例えばAが一般の3行3列の行列

\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)

とすると、Aの逆行列A^{-1}

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{ccc} \Delta_{1,1} & \Delta_{1,2} & \Delta_{1,3} \\ \Delta_{2,1} & \Delta_{2,2} & \Delta_{2,3} \\ \Delta_{3,1} & \Delta_{3,2} & \Delta_{3,3} \end{array}\right)^{T}

とかける、というのがクラメールの方法です。おまけとしてもう少し続けると

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{ccc} \Delta_{1,1} & \Delta_{2,1} & \Delta_{3,1} \\ \Delta_{1,2} & \Delta_{2,2} & \Delta_{3,2} \\ \Delta_{1,3} & \Delta_{2,3} & \Delta_{3,3} \end{array}\right)

 = \frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{ccc} (-1)^2\left|\begin{array}{cc} e & f \\ h & i \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} b & c \\ h & i \end{array}\right| & (-1)^4\left|\begin{array}{cc} b & c \\ e & f \end{array}\right| \\ (-1)^3\left|\begin{array}{cc} d & f \\ g & i \end{array}\right| & (-1)^4\left|\begin{array}{cc} a & c \\ g & i \end{array}\right| & (-1)^5\left|\begin{array}{cc} a & c \\ d & f \end{array}\right| \\ (-1)^4\left|\begin{array}{cc} d & e \\ g & h \end{array}\right| & (-1)^5\left|\begin{array}{cc} a & b \\ g & h \end{array}\right| & (-1)^6\left|\begin{array}{cc} a & b \\ d & e \end{array}\right| \end{array}\right)

となります。

(前回の回答では(-1)の指数が2つずつ少ないですが、どのみち同じです。)

4.前回の回答への質問に関して

|a 0|
|0 a|
と、
|0 b|
|a 0|
と、
|0 a|
|b 0|
と、
|a 0|
|0 a|
は、単に左上、右上、左下、右下から、2行2列取っただけですよね?

想像を働かせるに恐らく、言うなれば"右下"、右上、左下、"左上"ということになります。

|a b| 
|b a|
などは、いったい何がどうなったのかよくわかりませんでして

行列のうち中央の十字部分を消し去って、残った四隅をとってきています。

どうして、bを転置させると、dなのでしょうか?

行と列を入れ替えた場所だからです。

id:moon-fondu

なるほどです、「転値行列」なんてあるんですね、はじめて知りました!

「余因子」も勉強になります、(1,2)だから、1行目と2列目が取り去られてしまうのですね(@_@;)

また、クラメールの公式の中には余因子が含まれているのですね~ちゃんと意識してなかったです(>_<)

私の疑問も解消されました。

余因子を取得する過程で、おのずと、

|a b|

|b a|

が出てくるのですね。

ありがとうございます、クラメールの公式について、以前よりも理解できたような気がします(^_^;)

2010/03/03 02:03:41

その他の回答(5件)

id:imo758 No.1

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192010/02/26 08:18:43

ポイント50pt

2行2列の行列式のところは、該当する位置を転置させたところの行と列を消し去ったものです。例えば

\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)

のbの位置には、まずbを転置させてd、そしてdと同じ行と列のa d g とd e f を無視した

\left|\begin{array}{cc} b & c \\ h & i \end{array}\right|

がきます。

\left(\begin{array}{ccc} a & 0 & b \\ 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \end{array}\right)^{-1}

=\frac{1}{\left|\begin{array}{ccc} a & 0 & b \\ 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \end{array}\right|}\left(\begin{array}{ccc} (-1)^0\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^1\left|\begin{array}{cc} 0 & b \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^2\left|\begin{array}{cc} 0 & b \\ a & 0 \end{array}\right| \\ (-1)^1\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ b & a \end{array}\right| & (-1)^2\left|\begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & 0 \end{array}\right| \\ (-1)^2\left|\begin{array}{cc} 0 & a \\ b & 0 \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ b & 0 \end{array}\right| & (-1)^4\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right|\end{array}\right)

=\left(\begin{array}{ccc}\frac{a}{a^2-b^2} & 0 & \frac{-b}{a^2-b^2} \\ 0 & \frac{1}{a} & 0 \\ \frac{-b}{a^2-b^2} & 0 & \frac{a}{a^2-b^2} \end{array}\right)



\left(\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ b & a & b \\ 0 & 0 & a \end{array}\right)^{-1}

=\frac{1}{\left|\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ b & a & b \\ 0 & 0 & a \end{array}\right|}\left(\begin{array}{ccc} (-1)^0\left|\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^1\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^2\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ a & b \end{array}\right| \\ (-1)^1\left|\begin{array}{cc} b & b \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^2\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ b & b \end{array}\right| \\ (-1)^2\left|\begin{array}{cc} b & a \\ 0 & 0 \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right| & (-1)^4\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ b & a \end{array}\right|\end{array}\right)

=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{a} & 0 & 0 \\ \frac{-b}{a^2} & \frac{1}{a} & \frac{-b}{a^2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{a} \end{array}\right)

…で計算ミスってないと思うけれども…。間違えていたらすいません。

id:moon-fondu

返信遅くなってすいません!

ありがとうございます<m(__)m>

でもちょっとわからないですね・・・「該当する位置を転置させたところの行と列を消し去ったもの」が、

|b c|

|h i|

になるのはわかるのですが、

|a 0|

|0 a|

と、

|0 b|

|a 0|

と、

|0 a|

|b 0|

と、

|a 0|

|0 a|

は、単に左上、右上、左下、右下から、2行2列取っただけですよね?

しかし他の5つは、imo758さんがおっしゃる「該当する位置を転置させたところの行と列を消し去る」という過程を経ているようで・・・。

|0 b|

|0 a|

などは、最初に、imo758さんが例示してくださった操作をすれば、確かにこれになります。

しかし、

|a b|

|b a|

などは、いったい何がどうなったのかよくわかりませんでして・・・そもそも、最初の例において「bを転置させてd」というのは、なぜなのでしょうか?

どうして、bを転置させると、dなのでしょうか?

他のa、c、e、f、g、h、iではない理由を、もしよろしければ、再度ご回答いただけないでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)

2010/03/02 04:55:45
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4401ベストアンサー獲得回数4042010/02/26 10:51:14

ポイント100pt

■基本事項

●4.4 逆行列の公式・クラメールの公式

http://pal.las.osaka-sandai.ac.jp/~ichihara/Teaching/04S/LinearA...

●Rule of Sarrus

http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_Sarrus

●1-5 行列其の弐

>(図1-5.1)

http://homepage2.nifty.com/skimp-studio/htm/crawl/1_5_matrix2.ht...

 上記URLの公式を用いて逆行列を求めてみます。

(1)求める逆行列A^-1を次のようにおくと、
 (p  u  x)
 (q  v  y)
 (r  w  z)

(a  0  b)(p  u  x) (1  0  0)
(0  a  0)(q  v  y)=(0  1  0)
(b  0  a)(r  w  z) (0  0  1)
∴
(a  0  b)(p)  (1)
(0  a  0)(q)=(0) ・・・①
(b  0  a)(r)  (0)

(a  0  b)(u)  (0)
(0  a  0)(v)=(1) ・・・②
(b  0  a)(w)  (0)

(a  0  b)(x)  (0)
(0  a  0)(y)=(0) ・・・③
(b  0  a)(z)  (1)

①②③をクラメールの公式で解いて、元の行列の行列式を|A|、上記1番目のURLの公式のAj,BをAjと略記すると、

p=|Ap|/|A|, u=|Au|/|A|, x=|Ax|/|A|
q=|Aq|/|A|, v=|Av|/|A|, y=|Ay|/|A|
r=|Ar|/|A|, w=|Aw|/|A|, z=|Az|/|A|

 よって、求める逆行列A^-1は、

        1  (|Ap| |Au| |Ax|)
A^-1=---- (|Aq| |Av| |Ay|)
      |A| (|Ar| |Aw| |Az|)

    |a  0  b|
|A|=|0  a  0|=a^3-ab^2
    |b  0  a|

     |1  0  b|           |0  0  b|               |0  0  b|
|Ap|=|0  a  0|=a^2  |Au|=|1  a  0|=0        |Ax|=|0  a  0|=-ab
     |0  0  a|           |0  0  a|               |1  0  a|

     |a  1  b|           |a  0  b|               |a  0  b|
|Aq|=|0  0  0|=0    |Av|=|0  1  0|=a^2-b^2  |Ay|=|0  0  0|=0
     |b  0  a|           |b  0  a|               |b  1  a|

     |a  0  1|           |a  0  0|               |a  0  0|
|Aq|=|0  a  0|=-ab  |Aw|=|0  a  1|=0        |Az|=|0  a  0|=a^2
     |b  0  0|           |b  0  0|               |b  0  1|

 したがって、求める逆行列A^-1は、

          1      (a^2     0     -ab)
A^-1=---------- ( 0   a^2-b^2   0 )
      a^3-ab^2  (-ab     0     a^2)

(2)同様にして、

     |a  0  0|
|A|=|b  a  b|=a^3
    |0  0  a|

     |1  0  0|           |0  0  0|           |0  0  0|
|Ap|=|0  a  b|=a^2  |Au|=|1  a  b|=0    |Ax|=|0  a  b|=0
     |0  0  a|           |0  0  a|           |1  0  a|

     |a  1  0|           |a  0  0|           |a  0  0|
|Aq|=|b  0  b|=-ab  |Av|=|b  1  b|=a^2  |Ay|=|b  0  b|=-ab
     |0  0  a|           |0  0  a|           |0  1  a|

     |a  0  1|           |a  0  0|           |a  0  0|
|Aq|=|b  a  0|=0    |Aw|=|b  a  1|=0    |Az|=|b  a  0|=a^2
     |0  0  0|           |0  0  0|           |0  0  1|

 したがって、求める逆行列A^-1は、a=0だと逆行列が存在しないので、a≠0で、

          1   (a^2   0    0 )     1   ( a  0   0)
A^-1 = ----- (-ab  a^2  -ab) = ----- (-b  a  -b)
        a^3  ( 0    0   a^2)    a^2  ( 0  0   a)

 ちなみに、Wolframで答え合わせすると、

(1)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse%5B%7B%7Ba%2C0%2Cb%7...

(2)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse%5B%7B%7Ba%2C0%2C0%7...

id:moon-fondu

たくさんの参考リンクありがとうございます!

クラメールの公式は、3つ目の参考リンクが詳しいようで。

でもすいません、クラメールの公式を使う手前、「①②③をクラメールの公式で解いて・・・」より前の段階で、頭を抱えてしまいまして。。。

最初に確認したいのですが、

(a 0 b)(p u x) (1 0 0)

(0 a 0)(q v y)=(0 1 0)

(b 0 a)(r w z) (0 0 1)

は、「逆行列の公式」

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_inverce.html

における、分母の△(上記リンクにおける)を、両辺に掛けたのでしょうか?

また、

(1 0 0)

(0 1 0)

(0 0 1)

は、どこから出てきたのでしょうか?

さらに、

(a 0 b)(p) (1)

(0 a 0)(q)=(0) ・・・①

(b 0 a)(r) (0)

と、3行3列の元の行列と、それの逆行列の1列目との積が、

(1)

(0)

(0)

となる根拠は、どこにあるのでしょうか?

3つも質問してすいません、しかもすごく初歩的な質問のような気もするのですが、もしよろしければ、再度ご回答たいただければ幸いです(>_<)

2010/03/02 05:14:42
id:masaki1006 No.3

turu回答回数29ベストアンサー獲得回数02010/02/26 18:05:32

いみわからん???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

id:masaki1006 No.4

turu回答回数29ベストアンサー獲得回数02010/02/27 08:05:30

mkん;l

id:rsc96074 No.5

rsc回答回数4401ベストアンサー獲得回数4042010/03/02 09:12:37

ポイント60pt

 コメント欄だと画面が乱れてしまうので回答欄にて失礼します。

(a  0  b)(p  u  x) (1  0  0)
(0  a  0)(q  v  y)=(0  1  0)
(b  0  a)(r  w  z) (0  0  1)

 これは、AA^-1=Eで、元の行列と逆行列をかけると単位行列になることを表しています。定義的なものです。

したがって、

(1  0  0)=E(単位行列)
(0  1  0)
(0  0  1)

 ①②③についてですが、一般的に、行列の積の結果は次の通りです。ただ分割しただけです。

(a  b  c)(p  u  x) (ap+bq+cr  au+bv+cw  ax+by+cz)
(d  e  f)(q  v  y)=(dp+eq+fr  du+ev+fw  dx+ey+fz)
(g  h  i)(r  w  z) (gp+hq+ir  gu+hv+iw  gx+hy+iz)

(a  b  c)(p) (ap+bq+cr)
(d  e  f)(q)=(dp+eq+fr)
(g  h  i)(r) (gp+hq+ir)

(a  b  c)(u) (au+bv+cw)
(d  e  f)(v)=(du+ev+fw)
(g  h  i)(w) (gu+hv+iw)

(a  b  c)(x) (ax+by+cz)
(d  e  f)(y)=(dx+ey+fz)
(g  h  i)(z) (gx+hy+iz)

※参考URL

●正方行列 ←2ページ目上「逆行列」参照

http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:6ldGIz3kXTEJ:www22.atw...

id:moon-fondu

理解できました!

ありがとうございます(^_^;)

そして、クラメールの公式をいざ使うのですね。①ですと、

(a b c)(p) (ap+bq+cr)

(d e f)(q)=(dp+eq+fr)

(g h i)(r) (gp+hq+ir)

ですので、

ap+bq+cr=1

dp+eq+fr=0

gp+hq+ir=0

という、「3個の方程式からなる連立1次方程式」を考えればよいそうで。

rsc96074さんのご解答と3番目のリンクを参考にすると。

ここでクラメールの公式を使って、

p=|Ap|/|A|

q=|Aq|/|A|

r=|Ar|/|A|

ですね。これらは、3番目のリンクにおける、

x0=(1/D)(A00C0+A10C1+A20C2)

x1=(1/D)(A01C0+A11C1+A21C2) (式1-5.7)

x2=(1/D)(A02C0+A12C1+A22C2)

に、対応しているのでしょうか?

さらに逆行列の公式を使って、

1 (|Ap| |Au| |Ax|)

A^-1=---- (|Aq| |Av| |Ay|)

|A| (|Ar| |Aw| |Az|)

ですよね。

すいません、また質問してしまいました・・・

p=|Ap|/|A|

q=|Aq|/|A|

r=|Ar|/|A|

が、「式1-5.7」に相当しているのかどうか、もしよろしければお答いただければ嬉しいです・・・たびたびすいません(>_<)

2010/03/03 01:01:42
id:imo758 No.6

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192010/03/02 17:39:03ここでベストアンサー

ポイント100pt

1.転置行列

転置行列とは、行と列を入れ替えた行列で、行列の右上肩に^Tなどとして表します。例えば

\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)^{T}=\left(\begin{array}{ccc} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & a \end{array}\right)

となります。

2.余因子

i行j列を取り去った行列の行列式に(-1)^{(i+j)}を乗じたものを(i,j)-余因子といいます。例えば

\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)における(1,2)-余因子は、i行が(a,b,c)、j列が\left(\begin{array}{ccc} b \\ e \\ h \end{array}\right)ですから(-1)^{(1+2)}\dot{}\left|\begin{array}{cc} d & f \\ g & i \end{array}\right|となります。

3.一般の3行3列の逆行列

いま行列Aの(i,j)-余因子を\Delta_{i,j}と記すとします。例えばAが一般の3行3列の行列

\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)

とすると、Aの逆行列A^{-1}

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{ccc} \Delta_{1,1} & \Delta_{1,2} & \Delta_{1,3} \\ \Delta_{2,1} & \Delta_{2,2} & \Delta_{2,3} \\ \Delta_{3,1} & \Delta_{3,2} & \Delta_{3,3} \end{array}\right)^{T}

とかける、というのがクラメールの方法です。おまけとしてもう少し続けると

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{ccc} \Delta_{1,1} & \Delta_{2,1} & \Delta_{3,1} \\ \Delta_{1,2} & \Delta_{2,2} & \Delta_{3,2} \\ \Delta_{1,3} & \Delta_{2,3} & \Delta_{3,3} \end{array}\right)

 = \frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{ccc} (-1)^2\left|\begin{array}{cc} e & f \\ h & i \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} b & c \\ h & i \end{array}\right| & (-1)^4\left|\begin{array}{cc} b & c \\ e & f \end{array}\right| \\ (-1)^3\left|\begin{array}{cc} d & f \\ g & i \end{array}\right| & (-1)^4\left|\begin{array}{cc} a & c \\ g & i \end{array}\right| & (-1)^5\left|\begin{array}{cc} a & c \\ d & f \end{array}\right| \\ (-1)^4\left|\begin{array}{cc} d & e \\ g & h \end{array}\right| & (-1)^5\left|\begin{array}{cc} a & b \\ g & h \end{array}\right| & (-1)^6\left|\begin{array}{cc} a & b \\ d & e \end{array}\right| \end{array}\right)

となります。

(前回の回答では(-1)の指数が2つずつ少ないですが、どのみち同じです。)

4.前回の回答への質問に関して

|a 0|
|0 a|
と、
|0 b|
|a 0|
と、
|0 a|
|b 0|
と、
|a 0|
|0 a|
は、単に左上、右上、左下、右下から、2行2列取っただけですよね?

想像を働かせるに恐らく、言うなれば"右下"、右上、左下、"左上"ということになります。

|a b| 
|b a|
などは、いったい何がどうなったのかよくわかりませんでして

行列のうち中央の十字部分を消し去って、残った四隅をとってきています。

どうして、bを転置させると、dなのでしょうか?

行と列を入れ替えた場所だからです。

id:moon-fondu

なるほどです、「転値行列」なんてあるんですね、はじめて知りました!

「余因子」も勉強になります、(1,2)だから、1行目と2列目が取り去られてしまうのですね(@_@;)

また、クラメールの公式の中には余因子が含まれているのですね~ちゃんと意識してなかったです(>_<)

私の疑問も解消されました。

余因子を取得する過程で、おのずと、

|a b|

|b a|

が出てくるのですね。

ありがとうございます、クラメールの公式について、以前よりも理解できたような気がします(^_^;)

2010/03/03 02:03:41
  • id:rsc96074
     たぶん合っていると思います。
     ちなみに、式に余因子が出てきているので、豆知識として余因子の符号は、チェスボードの模様のようになります。
    http://www.akita-pu.ac.jp/system/elect/comp1/kusakari/japanese/teaching/LinearAlgebra/2005/note/7/Slide05.html
  • id:moon-fondu
    最期までご指導いただき、ありがとうございます<m(__)m>
    クラメールの方法を使いこなすには、余因子の理解が重要そうですね~(^_^;)

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません