HDMI端子のないXBOXを所有しています。PCモニターに繋げて使っていますが、市販のものを使って、HDMI接続をする方法（商品）はありますか？モニターの方はHDMI対応です。

xbox内ではデジタルで画像処理します。
それをD端子に出力するためにアナログ変換します。
モニタ側はアナログ入力された信号を、液晶用のデジタルへ変換して表示します。
D-A変換とA-D変換、2度余分な信号処理が入るので画質が落ちます。
hdmiへ変換するという事は、上記の2度目の変換を外付けの機器で行うだけの意味しかなく、画質は液晶内部の変換機器との品質差がどれだけあるかによります。
昔の液晶は内部変換がかなり悪かった物もあるのですが、当時としてはそういう水準だっただけの事で外部機器でもほとんど同様です。
hdmi端子があるぐらいなので最近の機器でしょうから、外部変換しても変わらないか、逆に画質が落ちる可能性もあります。

双方ともデジタルで直接繋ぐか、D端子などのアナログを経由して繋ぐかは、文字のような元々の輪郭がはっきりしているものは大きく違います。
しかし、映像のような輪郭があいまいなものはあまり違いが分からない場合もあります。
そもそも、元の画像がVGAで作られていて、表示する時だけxgaへ引き延ばすようなゲームはなおさらです。
PCで液晶モニタを使う場合はデジタルのDVI接続の方が確実に画質が良いですが、ゲームに限ると絶対とは言い切れません。
ただ、余分な変換が2度入るので画質が落ちたり、速度が落ちたりするのは確実です。
それが体感できるほど違うかどうかは微妙です。
もちろん、出力側、xboxにデジタル端子が無いのであれば選択の余地は無いです。