以前、クラメールの方法で逆行列を解く方法を教えていただいたのですが・・・以下のような、


----------------------
次の連立一次方程式をクラメールの方法で解け。

x-y+z=-1
3x+2y-z=5
2x+y-3z=8
----------------------

連立方程式をクラメールの方法で解くには、どうすればよいのでしょうか?
よろしくお願いします(>_<)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/03/23 01:25:36
  • 終了:2010/03/30 00:22:21

ベストアンサー

id:rsc96074 No.3

rsc回答回数4359ベストアンサー獲得回数3982010/03/23 07:37:29

ポイント100pt
 まず、行列式Dを求めます。
   | 1  -1   1 |
D=| 3   2  -1 |
   | 2   1  -3 |
=1*2*(-3)+(-1)*(-1)*2+1*3*1-1*2*2-(-1)*3*(-3)-1*(-1)*1 ←サラスの方法より
=-6+2+3-4-9+1
=-13
                         (-1)
 次に、上の行列式Dの第1列を( 5)で置き換えた行列式D1を求めます。
                             ( 8)
      ↓
    |-1 -1  1 |
D1=| 5  2 -1 |
    | 8  1 -3 |
=(-1)*2*(-3)+(-1)*(-1)*8+1*5*1-1*2*8-(-1)*5*(-3)-(-1)*(-1)*1
=6+8+5-16-15-1
=-13

 同様にして、D2とD3を求めると、
           ↓
    | 1  -1   1 |
D2=| 3   5  -1 |
    | 2   8  -3 |
=1*5*(-3)+(-1)*(-1)*2+1*3*8-1*5*2-(-1)*3*(-3)-1*(-1)*8
=-15+2+24-10-9+8
=0
              ↓
    | 1  -1  -1 |
D3=| 3   2   5 |
    | 2   1   8 |
=1*2*8+(-1)*5*2+(-1)*3*1-(-1)*2*2-(-1)*3*8-1*5*1
=16-10-3+4+24-5
=26
 クラメールの公式より
x=D1/D=-13/(-13)= 1
y=D2/D=  0/(-13)= 0
z=D3/D= 26/(-13)=-2

 ちなみに、Wolfram Alpha(ウルフラム アルファ)で答え合わせすると、

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%5B%7Bx-y%2Bz%3D%3D-1%...

※参考URL

●第1章 連立方程式

http://www.ee.fit.ac.jp/~kudou/1mathA/01/01-2.html

●連立方程式の解法 例題-1

http://www7a.biglobe.ne.jp/~kamba-home/pdf1006.pdf

●3. 行列式の応用 3.1 クラメールの公式

http://pal.las.osaka-sandai.ac.jp/~ichihara/Teaching/06S/Algebra...

●Rule of Sarrus

http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_Sarrus

id:moon-fondu

シンプルでわかりやすい解法ありがとうございます!

リンク先も参考になりました・・・特に上から2つ目がすごくわかりやすかったです(^_^;)

2010/03/27 10:57:27

その他の回答(6件)

id:imo758 No.1

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192010/03/23 01:57:30

ポイント100pt

\left{\begin{array}{rrrrr} x & -y & +z & = & -1 \\ 3x & 2y & -z & = & 5 \\ 2x & +y & -3z & = & 8 \end{array}

は行列を用いて

\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}-1\\5\\8\end{array}\right)

とかけるので、左から逆行列をかけて

 \left(\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \end{array}\right)^{-1} \left(\begin{array}{rrr}-1\\5\\8\end{array}\right)

あとは逆行列の計算ですので

http://q.hatena.ne.jp/1267124820

を参考してください。

id:moon-fondu

ありがとうございます!行列にしてから処理するのですね~(@_@;)

逆行列の方法は、imo758さんの前回のベストアンサーで思い出すことができました、(-1)^(i+j)の余因子の知識とか、クラメールの方法を知ってればできるんですよね(^_^;)

(1 -1 1 )^-1

(3 2 -1 )

(2 1 -3 )

            |2 -1|   |-1 1|   |-1 1|

           (-1)^2|1 -3|(-1)^3|1 -3|(-1)^4|2 -1|

   1       

=--------------   (-1)^3|3 -1|(-1)^4|1 1|(-1)^5|1 1|

  | 1 -1 1 |      |2 -3|   |2 -3|   |3 -1|

 | 3 2 -1 |

 | 2 1 -3 |    (-1)^4|3 2|(-1)^5|1 -1|(-1)^6|1 -1|

              |2 1|   |2 1|   |3 2|

転置行列であることを忘れて最初取り去る行とか列を間違えましたが、なんとか・・・

| 1 -1 1 |

| 3 2 -1 |=-13 (※rsc96074さんから教えていただいたサラスの方法より)

| 2 1 -3 |

(-1)^2|2 -1|

   |1 -3|=-5

(-1)^3|-1 1|

   |1 -3|=2

(-1)^4|-1 1|

   |2 -1|=-1

(-1)^3|3 -1|

   |2 -3|=7

(-1)^4|1 1|

   |2 -3|=-5

(-1)^5|1 1|

   |3 -1|=4

(-1)^4|3 2|

   |2 1|=1

   

(-1)^5|1 -1|

   |2 1|=-3

   

(-1)^6|1 -1|

   |3 2|=-5

を導くことができました。

つまり、逆行列の値は「(1/-13)・(-123)=13/123」になるのですね。

    (-1) (-13/123)

13/123×( 5)=(65/123)

    ( 8) (104/123)

最終的に、x=-13/123、y=65/123、z=104/123

という結果が出てきたのですが・・・全然違いますよね(ToT)

rsc96074さんのご解答と全く違います・・・

一体どこでミスを犯してしまったのか、もしよろしければ、ご指摘いただけないでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)

2010/03/25 00:42:37
id:p332 No.2

p332回答回数36ベストアンサー獲得回数32010/03/23 01:59:36

ポイント15pt

数値が違いますが、下記サイトに解放がありました

http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/hakidasihou3.html

id:moon-fondu

ありがとうございます!

rsc96074さんも教えてくださった方法ですね~すごいです!

2010/03/27 10:42:49
id:rsc96074 No.3

rsc回答回数4359ベストアンサー獲得回数3982010/03/23 07:37:29ここでベストアンサー

ポイント100pt
 まず、行列式Dを求めます。
   | 1  -1   1 |
D=| 3   2  -1 |
   | 2   1  -3 |
=1*2*(-3)+(-1)*(-1)*2+1*3*1-1*2*2-(-1)*3*(-3)-1*(-1)*1 ←サラスの方法より
=-6+2+3-4-9+1
=-13
                         (-1)
 次に、上の行列式Dの第1列を( 5)で置き換えた行列式D1を求めます。
                             ( 8)
      ↓
    |-1 -1  1 |
D1=| 5  2 -1 |
    | 8  1 -3 |
=(-1)*2*(-3)+(-1)*(-1)*8+1*5*1-1*2*8-(-1)*5*(-3)-(-1)*(-1)*1
=6+8+5-16-15-1
=-13

 同様にして、D2とD3を求めると、
           ↓
    | 1  -1   1 |
D2=| 3   5  -1 |
    | 2   8  -3 |
=1*5*(-3)+(-1)*(-1)*2+1*3*8-1*5*2-(-1)*3*(-3)-1*(-1)*8
=-15+2+24-10-9+8
=0
              ↓
    | 1  -1  -1 |
D3=| 3   2   5 |
    | 2   1   8 |
=1*2*8+(-1)*5*2+(-1)*3*1-(-1)*2*2-(-1)*3*8-1*5*1
=16-10-3+4+24-5
=26
 クラメールの公式より
x=D1/D=-13/(-13)= 1
y=D2/D=  0/(-13)= 0
z=D3/D= 26/(-13)=-2

 ちなみに、Wolfram Alpha(ウルフラム アルファ)で答え合わせすると、

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%5B%7Bx-y%2Bz%3D%3D-1%...

※参考URL

●第1章 連立方程式

http://www.ee.fit.ac.jp/~kudou/1mathA/01/01-2.html

●連立方程式の解法 例題-1

http://www7a.biglobe.ne.jp/~kamba-home/pdf1006.pdf

●3. 行列式の応用 3.1 クラメールの公式

http://pal.las.osaka-sandai.ac.jp/~ichihara/Teaching/06S/Algebra...

●Rule of Sarrus

http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_Sarrus

id:moon-fondu

シンプルでわかりやすい解法ありがとうございます!

リンク先も参考になりました・・・特に上から2つ目がすごくわかりやすかったです(^_^;)

2010/03/27 10:57:27
id:hiroponta No.4

ぽこたん回答回数517ベストアンサー獲得回数262010/03/23 02:38:55

ポイント10pt

上記の人と同じですが、このようになります。

http://okwave.jp/qa/q5629873.html

基本的には、数字だけを並べて、斜めにかけていきます。

だから、数字を並べて斜めに線を引いてみればいいのです。

斜めに数字が無い場合には、後ろ側から回していった感じですね。

id:moon-fondu

ありがとうございます。

リンク先読みました・・・info22_さんのコメントが、私にもグサリときましたσ(^_^;)

2010/03/27 11:00:17
id:IZI No.5

klogg回答回数42ベストアンサー獲得回数02010/03/24 23:50:53

ポイント5pt

定理 4.88 (クラメールの方法) 連立一次方程式 に関して,係数行列

(747)




が 次正方行列でかつ正則なとき,方程式の解 は

(748)




で与えられる.これをクラメールの方法(Cramer's rule)という.



(証明) は正則であるから,方程式 に左から を掛けると


(749)




が成り立つ.成分で表すと

(750)




より

(751)




を得る.これは第 列の余因子展開だから

(752)




が示された.



注意 4.89 (クラメールの方法) 解をもつためには分母 が 0 となってはいけない. である必要がある.すなわち は正則のときクラメールの方法は使用できる.



例 4.90 (クラメールの公式の使用例) 方程式

(753)




を考える.行列式は

(754)




であり,解は

(755)




と求まる.



例 4.91 (クラメールの公式の使用例) 方程式

(756)




の解を求める.

(757)




であり,解は

(758)

(759)

(760)




である.



--------------------------------------------------------------------------------

Next: 16 行列の簡約化と行列式 Up: 4 行列式 Previous: 14 余因子行列と逆行列 Contents

Kondo Koichi

http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2004.linear-algebra-...

id:moon-fondu

リンク先をペーストしてくださったのですね、ありがとうございます(^_^;)

2010/03/27 11:03:38
id:IZI No.6

klogg回答回数42ベストアンサー獲得回数02010/03/25 00:28:50

ポイント5pt

Next: 15 クラメールの公式 Up: 4 行列式 Previous: 13 余因子行列 Contents


14 余因子行列と逆行列


定理 4.82 (行列式と行列の正則性) 正方行列 に対して, のとき は正則である.



(証明)定理


(728)




であるから, とすると各辺を で割って

(729)




が成り立つ.よって は の逆行列であり, は正則である.



定理 4.83 (余因子行列と逆行列) 正方行列 に対して, のとき の逆行列は

(730)




で与えられる.



定理 4.84 (逆行列が存在するための十分条件) 正方行列 , に対して (または )が成立するとき, は の逆行列となる.



(証明) より,両辺の行列式をとると


(731)




が成り立つ.これより を得る.よって, のとき は正則であるから,逆行列 をもつ.さらに が存在することを用いると

(732)




が成り立つ. が示された.




例 4.85 (余因子行列による逆行列の計算の具体例) のとき逆行列は

(733)

(734)




である. のとき逆行列は

(735)

(736)




である.



例 4.86 (余因子行列による逆行列の計算例) 行列

(737)




の逆行列を求める.行列式は

(738)




であるから,逆行列は

(739)




で与えられる.



例 4.87 (余因子行列による逆行列の計算例) 行列

(740)




の逆行列を求める.小行列の行列式は

(741)

(742)

(743)




であり,行列式は

(744)




であるので,逆行列は

(745)

(746)




と与えられる.



--------------------------------------------------------------------------------

Next: 15 クラメールの公式 Up: 4 行列式 Previous: 13 余因子行列 Contents

Kondo Koichi

Created at 2004/11/26

id:IZI No.7

klogg回答回数42ベストアンサー獲得回数02010/03/25 12:20:47

ポイント10pt

http://www.wikihouse.com/mamedalove/index.php?%A5%AF%A5%E9%A5%E1...

ここのサイト1ち度見てください

参考になると思いますよ~

id:moon-fondu

そうなんですか・・・行列って、3元1次連立方程式を簡単に解くために生まれた側面があったんですね!

競馬の話が出てきたのは驚きでした・・・面白いですね・・・まさか競馬の予想に行列が役立つとは・・・

でも難しいです、説明呼んでもいまいちピンときませんでした(ToT)/~~~

結局、どのオッズの馬に賭ければ払い戻し金が同じになるのか、よくわかりません。

例えばS=1000円が元金だとして、3つの馬に賭けるとしたら、a、b、c、それぞれの馬のオッズは、いくらになるのでしょうか?、

2010/03/27 11:24:17
  • id:moon-fondu
    みなさんご回答ありがとうございます!
    すぐに返信できなくてすいません、今日はimo758さんの回答から答えを出そうと試行錯誤するのに精一杯でした・・・明日以降にまた返信したいと思いますのでよろしくお願いします<m(__)m>
  • id:imo758
    トラックバックをどうぞ
  • id:rsc96074
     一般的な逆行列の求め方については、拙ブログを参照下さい。(^_^;
    http://d.hatena.ne.jp/rsc96074/20100317/1268779460
     それから、行列の画面が乱れているようですが、下記のように行頭で「>||」と「||<」で囲むといいです。
    >||
     ここに式を書く
    ||<

  • id:moon-fondu
    >imo758さん、rsc96074さん
    逆行列についてよくわかりました、ありごとうございます(^_^;)
    2つ、符号を間違えていたものがあったようで。正しくは、

    (-1)^3|| -1 1 ||
       || 1 -3 ||=-2

    (-1)^4|| 3 2 ||

       || 2 1 ||=-1

    ですよね。これで計算しなおしてみました・・・すると、

    || -5 -2 1 ||
    || 7 -5 4 ||=(-5)・(-5)・(-5)+(-2)・4・(-1)+1・7・(-3)-1・(-5)・(-1)-(-2)・7・(-5)-(-5)・4・(-3)=-273
    || -1 -3 -5 ||

    (x)          (-1)   (-1) (-21)
    (y)=-(1/13)・-273・( 5)=21・( 5)=(101)
    (z)          ( 8)   ( 8) (161)

    と、全然違う答えが出てきてしまいました(ToT)
    いったいどうしてこうなってしまったのでしょうか・・・もしよろしければ、お助けいただければ幸いです(>_<)
  • id:moon-fondu
    あれ、rsc96074さんのおっしゃる通りにやってみたのですが、式が乱れてしまいますね・・・私の出した答えは、

    (x) (21)
    (y)=(101)
    (z) (161)

    です。何でこうなっちゃうんですかね・・・トホホ・・・(ToT)
  • id:rsc96074
     逆行列を求めたいのですか。余因子の符号は、(-1)^(i+j)をつかうより、チェスボードルールを使った方がいいですよ。
    +-+
    -+-
    +-+
    になります。
     それから、余因子が間違えています。私のブログに逆行列の一般的な解法があります。参照下さい。リンク先は、先のコメントにあります。
     たとえば、A11の場合、符号はプラスで小行列式は、1行と1列を単純に取り除いた行列式になります。これはあっているようですが、A12以降が間違えているようです。同様に、1行全部と2列全部を取り除いた行列式になります。正しくは、次の通り。

    +| 2 -1|=-6+1=-5, -| 3 -1|=-(-9+2)=7, +| 3 2|=3-4=-1
    | 1 -3| | 2 -3| | 2 1|

    -|-1 1|=-(3-1)=-2, +| 1 1|=-3-2=-5, -| 1 -1|=-(1+2)=-3
    | 1 -3| | 2 -3| | 2 1|

    +|-1 1|=1-2=-1, -| 1 1|=-(-1-3)=4, +| 1 -1|=2+3=5
    | 2 -1| | 3 -1| | 3 2|

     転置して、

    -5 -2 -1
    7 -5 4
    -1 -3 5

     あとは、これに、(-1/13)を掛けるだけ。

  • id:rsc96074
    やっぱり画面が乱れてしまいました。エディタにコピペして画面を整えてから見て下さい。
  • id:imo758
    逆行列は行列です。だから(この場合は)3×3個の数値が並んだものになります。

    (-5)・(-5)・(-5)+(-2)・4・(-1)+1・7・(-3)-1・(-5)・(-1)-(-2)・7・(-5)-(-5)・4・(-3)=-273
    までいくと、それは逆行列ではなく、逆行列の『行列式』を求めようとしています。
    必要なのは『逆行列』です。

    あとrsc96074さんも指摘していますが、若干符号を間違えていますね。
    あともうちょっとです。
  • id:moon-fondu
    >rsc96074さん
    ありがとうございます!
    ちゃゃんと逆行列に反映させてなかったです(>_<)
    そうですね、逆行列を求めたいというか、imo758さんが最初に回答してくださった方法から解答を導きたいのですが上手くいかないのです・・・3つ目のrsc96074さんの解答のやり方を覚えればいいのですが、別のやり方からでも導いてみたくて・・・(^_^;)

    てかチェスボードルールすごいですね、絶対値で囲んで、決められたプラスかマイナスの符号をつければいいんですね!!

    -5 -2 -1
    7 -5 4
    -1 -3 5

    で、計算しなおした結果、

    (-5)・(-5)・5+(-2)・4・(-1)+(-1)・7・(-3)-(-1)・(-5)・(-1)-(-2)・7・5-(-5)・ 4・(-3) = 169

    となりました。

    であとは、

    (x)           (-1)   (-1) (13)
    (y)=-(1/13)・169・( 5)=-13・( 5)= (-65)
    (z)           ( 8)   ( 8) (161)

    とすればいいのでしょうか?
    でもこれだと、x=13、y=-65、z=161になってしまいますよね?

    すいませんが、もしよろしければ、imo758さんが一番最初に回答してくださった逆行列の計算から、x、y、zを求める際において、私が間違っているところをご指摘いただけないでしょうか?

    >imo758さん
    行列式にしてはいけないのでしょうか(?_?)
    しかし、imo758さんの最初のご回答からx、y、zを導こうとするのであれば、分解して値を出さないといけない気がするのですが・・・
  • id:moon-fondu
    >rsc96074さん、imo758さん
    すいません、imo758さんのトラックバックちゃんと読んでなかったです!
    行列式にしてはいけないのですね!

    でも、imo758さんが書いてくださった途中の計算の結果が、どうして

    (1)
    (0)
    (-2)

    になるのか、新たに質問を立ち上げました↓
    http://q.hatena.ne.jp/1269876748
    ので、もしよろしければ教えていただけないでしょうか?
    よろしくお願いします(>_<)

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