1271179449 2次曲線の勉強をしております。

教科書を見てもよくわかりませんでして・・・

------------------------------------
次の2次曲線の標準形を求めよ。
(a)・・・
(b)・・・
※添付画像をご覧ください。
------------------------------------

という問題です・・・行列とかが関係するみたいのですが。。。よろしくお願いします(>_<)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/04/14 02:24:13
  • 終了:2010/04/20 00:19:05

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4404ベストアンサー獲得回数4052010/04/14 12:28:12

ポイント100pt

■2次曲面ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0は、適当な座標軸の平行移動と回転によって標準形に直すことが出来る。

 固有方程式|a-λ  h  |=0 の解をλ=α, βとして、
            | h   b-λ|

D=|a  h|, Δ=|a  h  g|とすると、
   |h  b|     |h  b  f|
              |g  f  c|

(1)D=ab-h^2(=αβ)≠0のとき、D>0ならば楕円、D<0ならば双曲線で、
 αx^2+βy^2+Δ/D=0
(2)D=0のとき、
 (i) Δ≠0ならば、放物線で
 y^2={(2/|a+b|)√[-Δ/(a+b)]}x
 (ii)Δ=0ならば、2直線で、
 y=±√[f^2+g^2-(a+b)c]/(a+b)

 書きにくいので、x1=x, x2=yと置き換えると、

(a) x^2-2xy+ y^2-6x-2y+7=0

(b)5x^2-6xy+5y^2-8x-8y+8=0

(a) x^2-2xy+ y^2-6x-2y+7=0

 固有方程式は、
|1-λ  -1 |=0∴λ=0, 2
|-1   1-λ|
 D=0で、Δ=| 1  -1  -3|=-16≠0だから、
              |-1   1  -1|
            |-3  -1   7|
 よって、求める標準形は、放物線で、
 y^2={(2/|1+1|)√[-(-16)/(1+1)]}x
∴y^2=√[8]x
∴y^2=2√[2]x

(b)5x^2-6xy+5y^2-8x-8y+8=0

 固有方程式は、
|5-λ  -3 |=0∴λ=8, 2
| -3  5-λ|
 D=8*2=16>0で、Δ=| 5  -3  -4|=-128だから、
                       |-3   5  -4|
                    |-4  -4   8|
 よって、求める標準形は、楕円で、
 8x^2+2y^2+(-128)/16=0
∴8x^2+2y^2-8=0
∴4x^2+y^2=4

※参考URL

http://okwave.jp/qa/q692116.html

●一般の2次曲線の分類

http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:Jl3dQlkYtzcJ:members.j...

●2次曲線の分類

http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:NDac5-m2s_MJ:www.math....

id:moon-fondu

ありがとうございます、「標準形」が何なのかもおぼろげでしたが、リンクの「2次曲線」の分類を読ませていただき、理解できました!楕円、双曲線、放物線、点、直線、y=0ですか・・・この形に持っていくと。

で、実際のプロセスなのですが・・・最初にrsc96074さんが提示してくださった、「・・・(1)D=ab-h^2(=αβ)≠0のとき、・・・」といった箇所で、いきなり躓きました(>_<)

リンク先の「一般の2次曲線の分類」を読んでも、Dが一体何に相当するのか把握できませんでして(ToT)

すいませんが、もしよろしければ、そもそもDが何なのかについて、お答えいただけないでしょうか?

2010/04/15 01:05:47

その他の回答(3件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4404ベストアンサー獲得回数4052010/04/14 12:28:12ここでベストアンサー

ポイント100pt

■2次曲面ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0は、適当な座標軸の平行移動と回転によって標準形に直すことが出来る。

 固有方程式|a-λ  h  |=0 の解をλ=α, βとして、
            | h   b-λ|

D=|a  h|, Δ=|a  h  g|とすると、
   |h  b|     |h  b  f|
              |g  f  c|

(1)D=ab-h^2(=αβ)≠0のとき、D>0ならば楕円、D<0ならば双曲線で、
 αx^2+βy^2+Δ/D=0
(2)D=0のとき、
 (i) Δ≠0ならば、放物線で
 y^2={(2/|a+b|)√[-Δ/(a+b)]}x
 (ii)Δ=0ならば、2直線で、
 y=±√[f^2+g^2-(a+b)c]/(a+b)

 書きにくいので、x1=x, x2=yと置き換えると、

(a) x^2-2xy+ y^2-6x-2y+7=0

(b)5x^2-6xy+5y^2-8x-8y+8=0

(a) x^2-2xy+ y^2-6x-2y+7=0

 固有方程式は、
|1-λ  -1 |=0∴λ=0, 2
|-1   1-λ|
 D=0で、Δ=| 1  -1  -3|=-16≠0だから、
              |-1   1  -1|
            |-3  -1   7|
 よって、求める標準形は、放物線で、
 y^2={(2/|1+1|)√[-(-16)/(1+1)]}x
∴y^2=√[8]x
∴y^2=2√[2]x

(b)5x^2-6xy+5y^2-8x-8y+8=0

 固有方程式は、
|5-λ  -3 |=0∴λ=8, 2
| -3  5-λ|
 D=8*2=16>0で、Δ=| 5  -3  -4|=-128だから、
                       |-3   5  -4|
                    |-4  -4   8|
 よって、求める標準形は、楕円で、
 8x^2+2y^2+(-128)/16=0
∴8x^2+2y^2-8=0
∴4x^2+y^2=4

※参考URL

http://okwave.jp/qa/q692116.html

●一般の2次曲線の分類

http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:Jl3dQlkYtzcJ:members.j...

●2次曲線の分類

http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:NDac5-m2s_MJ:www.math....

id:moon-fondu

ありがとうございます、「標準形」が何なのかもおぼろげでしたが、リンクの「2次曲線」の分類を読ませていただき、理解できました!楕円、双曲線、放物線、点、直線、y=0ですか・・・この形に持っていくと。

で、実際のプロセスなのですが・・・最初にrsc96074さんが提示してくださった、「・・・(1)D=ab-h^2(=αβ)≠0のとき、・・・」といった箇所で、いきなり躓きました(>_<)

リンク先の「一般の2次曲線の分類」を読んでも、Dが一体何に相当するのか把握できませんでして(ToT)

すいませんが、もしよろしければ、そもそもDが何なのかについて、お答えいただけないでしょうか?

2010/04/15 01:05:47
id:imo758 No.2

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192010/04/14 04:32:58

ポイント20pt

x_1^2-2x_1x_2+x_2^2-6x_1-2x_2+7=0

(x_1-x_2)^2-2(x_1-x_2)-4(x_1+x_2)+7=0

(x_1-x_2-1)^2-4(x_1+x_2)+6=0

\frac{2(x_1+x_2)}{3}-\frac{(x_1-x_2-1)^2}{6}=1

x_1+x_2x_1-x_2-1は直交している


5x_1^2-6x_1x_2+5x_2^2-8x_1-8x_2+8=0

4(x_1-x_2)^2+(x_1+x_2-4)^2=8

\frac{(x_1-x_2)^2}{2}+\frac{(x_1+x_2-4)^2}{8}=1

x_1+x_2-4x_1-x_2は直交している

id:moon-fondu

すいません、解答を掲載していなかったです。

教科書には、計算の過程などは載っていませんが、解答だけは載っていました。

数式エディタの使い方はまだ覚えていませんので、

ここ↓

http://onnsei-okiba.radilog.net/article/561117.html

に解答を載せました。

私にあまりに前提知識がないせいか、rsc96074さんや、imo758さんの解答と、同じなのかどうかも不明です・・・2次曲線に入る前に、対角化とかを勉強しとかないとダメですよね(>_<)

ちなみに、使っている教科書は、

http://sinkan.net/?asin=4873616948&action_item=true

になります。

2010/04/15 01:48:36
id:aosdnb No.3

MR回答回数72ベストアンサー獲得回数02010/04/14 20:28:21

インターネットで調べてみます。

id:hiroponta No.4

ぽこたん回答回数517ベストアンサー獲得回数262010/04/14 06:22:09

ポイント10pt

これは、(a)と(b)を先に良く見比べますね。

それで(a)の全体に3をかけます。

分かりにくいのでXとYにしとえきますね。

そうすると 3x2乗-6xy+3y2-18x-6y+21みたいな(c)が出来ます。

次に、この(b)から(c)を差し引いてみましょう。

そうすると、2x2乗+2y2+10x-2y-13=0みたいになりますね。

ここからちょっと面倒で

2{x2+5x+5/2の2乗}-(25/4)×2+2(y2乗-y+(1/2)2)-(1/4)×2-13=0みたいな感じに。

計算すると・・・

2(x+5/2)2乗+2(y-1/2)2乗-26=0

(x+5/2)2乗+(y-1/2)2乗=13

だからxが-1/2,1/2

yが7/2,5/2 というようになります。

だいたいこんな感じです。

受験でしょうか、頑張ってください。

id:moon-fondu

受験ではないですね。通信制の大学に通っている者です(^_^;)

hiropontaさんの解答はちょっと違うようでして・・・

解答↓

http:/onnsei-okiba.radilog.net/article/561117.html

は、方程式を変形した感じでしょうか。

2次方程式の解を求める問題ではないみたいです。

2010/04/15 01:52:19
  • id:rsc96074
    (b)は、x^2+y^2/4=1まで変形するすべきでした。(^_^;
  • id:rsc96074
     すみません。回答の初めのまとめは、教養の頃使っていた参考書についていた定理を使ったので、参考URLとは別の文字になってしまいました。これが一番よくまとまっていたので使ってしまいました。Web上ではこれほどよくまとまっているのを見つけることが出来ませんでした。(^_^;
     参考URLで言えば、D=ab-h^2は、「一般の2次曲線の分類」の6ページ目の定理4-2のac-b^2に相当します。
  • id:rsc96074
     そもそも、D=ab-h^2というのは、
     2次曲線f(x,y)=ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0の標準化で、
     まず、平行移動 x=X+α, y=Y+βによって、1次の項を消去して、aX^2+2hXY+bY^2+γ=0の形にする事を考えるわけですが、
    結局、この2次曲線f(x,y)=0の中心座標(α,β)は、次の連立1次方程式の解になります。
    /∂f(x,y)/∂x=0
    \∂f(x,y)/∂y=0

    /ax+hy+g=0
    \hx+by+f=0
     これをクラメルの公式で計算したときの、分母D=ab-h^2になります。これが0になると中心を持ちません。つまり放物線のような無心2次曲線になるわけです。
     ちなみに、γを計算すると、結局、γ=Δ/Dになります。
  • id:rsc96074
    (a)楕円や双曲線のような有心2次曲線の場合、平行移動(中心を原点に移すため)→回転の順ですが、放物線のような無心の場合、回転→平行移動(頂点を原点に移すため)の順になります。
    4√[2]x'1=2(x'2+√[2]/2)^2+6
    ∴2√[2]x'1=(x'2+√[2]/2)^2+3
    ∴(x'2+√[2]/2)^2=2√[2](x'1-3/2√[2])
    Y=x'2+√[2]/2,X=x'1-3/2√[2]とおけば、(平行移動すれば)
    Y^2=2√[2]Xの形になりますね。
    (b)恐らく、x'1→(x'1)^2の間違いでは!?
    x'1=X,x'2=Yと置き換えれば、
    8X^2+2Y^2-8=0
    ∴4X^2+Y^2=4
    ∴X^2+Y^2/4=1の形になります。
  • id:moon-fondu
    ありがとうございます、Dは判別式(discriminant)のことですよね(^_^;)
    高校の時にやった判別式↓
    http://www.ask.ne.jp/~gen0721/MA02.htm
    とは違うようですが、rsc96074さんがおっしゃる「一般の2次曲線の分類」の6ページ目の定理4-2を拝見したところ、2次曲線にも判別式があるみたいで。

    そしてこの判別式D(=ab-h^2(=αβ))を使って、それぞれの方程式の標準形を顕わにしていくのですね!?

    D>0
    楕円

    D<0
    双曲線

    D=0

    ・・・すいません、ここでまた疑問に思いまして(>_<)
    rsc96074さんが書いてくださった、

    -----------------
    (2)D=0のとき、
     (i) Δ≠0ならば、放物線で
     y^2={(2/|a+b|)√[-Δ/(a+b)]}x
     (ii)Δ=0ならば、2直線で、
     y=±√[f^2+g^2-(a+b)c]/(a+b)
    -----------------

    における“Δ”は、一体何なのでしょうか?
    Δ≠0のときは、
    y^2={(2/|a+b|)√[-Δ/(a+b)]}x

    Δ=0のときは、
    y=±√[f^2+g^2-(a+b)c]/(a+b)

    という、標準形を求める公式が出てくるみたいなのですが・・・楕円と双曲線の場合の時に使用する、

    αx^2+βy^2+Δ/D=0

    とは、また別の公式なのでしょうか?
    たびたびすいません(>_<)
  • id:rsc96074
    Δは、回答の初めの方のまとめのところのΔです。楕円と双曲線に使っているのと放物線で使っているのはどちらも同じものです。
  • id:rsc96074
     Web上でなかなかいいのが見つかりませんが、こちらが一番近いかな。ΔもDやトレースtrD=a+bと同じく、2次曲線を平行移動や回転の式で変換しても変わらない不変式になっています。この不変式の性質を使うと計算が楽になるようです。
    ●曲線・曲面の分類
    http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/surface.htm
  • id:moon-fondu
    遅くなってすいません、rsc96074さんが教えてくださったリンク先のおかげで、2次曲線に一般形があることがわかりました!
    ありがとうございます。
    でも別解は難しそうです・・・「・・・(x+ay+4)(x+by+5)とおける。」は、どうしてそんなパッと1次式の積に分解できるの?と思いましたし、「・・・が2つの1次式の積に分解されるということは、その交点で特異点を持つということである。よって、・・・」で、「2x-y+9=0」と「-x-12y+k=0」がいきなり出てきてるのもよくわかりませんし・・・ですので、このリンク先については、また別の機会に質問しようと思うので、その時はよろしく願いします(>_<)

    で、実際、rsc96074さんの解答を、理解しようと試みました。
    するといきなり躓きました・・・ほんと初歩的な質問で申し訳ないのですが、固有方程式って、どう解けばよいのでしょうか?
    「固有方程式 解き方」で、グーグルで検索しても、何かしっくりくるものがヒットしません・・・(ToT)

    rsc96074さんの一番最初の回答において、

    |1-λ -1 |=0∴λ=0, 2
    |-1 1-λ|

    と、λがどうして「0」と「2」になったのか、求めるまでのプロセスを、教えていただけないでしょうか?
    よろしくお願いします<m(__)m>
  • id:rsc96074
     2次の行列式だからたすき掛けをすればいいです。
    |1-λ -1 |=(1-λ)(1-λ)-(-1)(-1)=0
    |-1 1-λ|
    ∴(λ-1)^2-1=0
    ∴λ^2-2λ=0
    ∴λ(λ-2)=0
    ∴λ=0, 2
    ※参考URL
    ●行列式 [物理のかぎしっぽ]
    http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/determinant/index.html
  • id:moon-fondu
    そうでした、初歩的な質問でお手を煩わせてしまい申し訳ございません(>_<)
    なんとなくわかりました。
    たすき掛けで求めた値が「D=ab-h^2(=αβ)」で、Dが0になるか否かで、「楕円または双曲線」or「放物線または2直線」が決まるのですね!
    最後まで丁寧にご解説いただき、本当にありがとうございます(^_^;)

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