JSでもリファラでもやり方がないような気がしますが、ありませんか?
もしくは、リンク先のページでログイン中のTwitterアカウントを知ることができればそれでもいいです。
クリックして欲しいurlを短縮url化して、そこで計測をする、というのが簡単な方法だと思います。
twitterではbit.lyにするのが一般的なようですので、そちらをお使いになられると良いと思います。
アカウントの取得方法、運用方法については「twitterの短縮URL bit.lyの使い方」もしくはGoogle検索などで「bit.ly 使い方」「bit.ly リファラ」などで検索してみてください。
ちょっと意味が違います。
bit.lyでは、確かにリファラは分かりますが、誰がクリックしたのかまではわからないような気がします。
サイトの方に@AnyWhereでも組み込めばいけそうな気はしますが、どうなのかなと。