大学生が使う数学の教科書の、二項分布について説明している箇所で、


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問題:52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数をxとしたときのxの確率分布を求めよ。(この分布は超幾何分布という)
-----------------------

という問題がありました。解答は、

-----------------------
P(X=1)=0.439, P(X=2)=0.213, P(X=3)=0.041, P(X=4)=0.003
-----------------------

となっているのですが、解答までどうやって導けばいいのか、その過程や、なぜ答えが4つも出てきているのか、よくわかりません(>_<)

また、二項定理と二項分布の関係について全くイメージできませんでして・・・

「二項定理は、二項分布と呼ばれるある種の確率分布に関連している」
http://www.geocities.jp/daylife20040717/math/fe_probab5.html

という風に書かれているサイトなどがあったので、関連性はあるとは思うのですが・・・。

解答までの計算の過程等と、もし可能でしたら、二項分布に関するこの問題が、高校の時に習った二項定理とどのように関連しているのか、説明していただけないでしょうか?
よろしくお願いします<m(__)m>

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/05/12 00:39:37
  • 終了:2010/05/16 08:01:40

ベストアンサー

id:rsc96074 No.4

rsc回答回数4399ベストアンサー獲得回数4032010/05/12 06:53:47

ポイント100pt

■解法の手順

 まず、確率変数Xの取り得る値を調べる→確率変数はエース(A)の枚数だから、X=0,1,2,3,4となります。

 次に、Xに対する確率P(X=x_k)を求めます。

※確率分布では、確率の和が1になっていなければならない。つまり、Σ{P(X=x_k)}=1に注意!

 確率変数Xの取り得る値は、0,1,2,3,4のいずれかで、X=rとなる確率をP(X=r)とすると、

エースが4枚とそれ以外48(=52-4)枚の合計52枚のトランプの中から、同時に13枚を取り出す方法の数は、

52C13=635013559600

[1] X=0、つまり、エース0枚、それ以外を13枚取り出す方法の数は、

4C0×48C13=1×192928249296=192928249296

よって、P(X=0)=192928249296/635013559600=6327/20825=0.303817527010804≒0.304

[2] X=1、つまり、エース1枚、それ以外を12枚取り出す方法の数は、

4C1×48C12=4×69668534468=278674137872

よって、P(X=1)=278674137872/635013559600=9139/20825=0.438847539015606≒0.439

[3] X=2、つまり、エース2枚、それ以外を11枚取り出す方法の数は、

4C2×48C11=6×22595200368=135571202208

よって、P(X=2)=135571202208/635013559600=4446/20825=0.213493397358944≒0.213

[4] X=3、つまり、エース3枚、それ以外を10枚取り出す方法の数は、

4C3×48C10=4×6540715896=26162863584

よって、P(X=3)=26162863584/635013559600=858/20825=0.0412004801920768≒0.041

[5] X=4、つまり、エース4枚、それ以外を9枚取り出す方法の数は、

4C4×48C9=1×1677106640=1677106640

よって、P(X=4)=1677106640/635013559600=11/4165=0.00264105642256903≒0.003

P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=(6327+9139+4446+858+55)/20825=1

以上より、求める確率分布は次表のようになる。


 X |   0      1      2      3      4   | 計  
---+-----------------------------------+---- 
 P | 0.304  0.439  0.213  0.041  0.003 | 1   


 この問題は何の問題か分類すれば、これは「確率分布」の問題で、まだ、二項分布は含まれていないようです。

 二項分布は、反復試行の確率に関する確率分布だから、二項係数を含んでいます。

※参考URL

●確率分布

http://case.f7.ems.okayama-u.ac.jp/statedu/lispstat-book/node62....

●二項分布

数学において、二項分布(にこうぶんぷ)は、結果が成功か失敗のいずれかである n 回の独立な試行を行ったときの成功数で表される離散確率分布である。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%8...

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/statistics/binomial.htm

●反復試行の確率について

http://kakuritsu.hp.infoseek.co.jp/hampuku.html

id:moon-fondu

そうなんですか!二項分布の問題ではないのですね~教えていただき、ありがとうございます<m(__)m>リンクもたくさんありがとうございます(^_^;)

4つ目のリンクの(5)の問題の表はまさに、二項定理の計算と同じですね!

「なんで分母が3^5なのかな?」と一瞬戸惑いましたが、「サイコロの3と6が出る確率」=「2/6」=「1/3」ということで、「(1/3)^5の中で、3と6の場合はどれだけありうるか?」を考えればいいのですね~いやはや、いろいろ忘れてますね(汗)

2010/05/14 23:29:25

その他の回答(4件)

id:ko8820 No.1

ko8820回答回数1221ベストアンサー獲得回数692010/05/12 01:45:28

ポイント10pt

>なぜ答えが4つも出てきているのか、よくわかりません

トランプの52枚のカードにはAが4枚含まれてます。

>13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数をxとしたときのxの確率分布を求めよ

13毎選んだときのエースの枚数は、0,1,2,3,4のどれかです。

id:moon-fondu

なるほどです、だから解答は4つの場合について考えているわけですね!

2010/05/14 02:00:27
id:monologue1990 No.2

monologue1990回答回数38ベストアンサー獲得回数32010/05/12 20:28:22

ポイント20pt

Xの確率分布を求めよ、ということで曲線のグラフが描かれるかのように想像されているのかもしれませんが、ここで問われているのはもっと簡単なことで、

「52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数をxとしたとき、X=1,2,3,4となる場合のそれぞれについてその確率を求めよ。」

ということです。

なので、

P(X=1)~P(X=4)までのそれぞれの値は、52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエースの枚数が1,2,3,4枚である確率を示している訳です。

で、解答の求め方を簡単に述べると、P(X=1)ならば、

(4枚のエースのカードから1枚のカードを選び、エースを除いた残り48枚のカードから3枚のカードを選ぶ方法)/(52枚のカードの中から4枚のカードを選ぶ方法)

ということになります。同様に、P(X=2)、P(X=3)、P(X=4)も計算することが出来ます。

恐らく高校数学は一通り勉強された方だと思いますので、これだけ述べれば後は大丈夫ですよね?結局二項分布というのはこうして計算したデータを一つのグラフにまとめたものなのです。

id:moon-fondu

そうなのですね!「二項分布」という名称に委縮していましたかもしれません・・・ありがとうございます。

2010/05/14 23:23:29
id:nobnob3 No.3

考え中回答回数324ベストアンサー獲得回数292010/05/12 02:27:46

ポイント50pt

まずは、

問題1:52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数を1枚としたときの確率を求めなさい。

これなら分かりやすいでしょう。

選び方は、4枚のAのうちの一枚=4C1と、その他48枚の中から自由に12枚=48C12、そしてすべての可能性は52C13となるから

答えは 4C1x48C12/52C13=0.4388475

Combination組み合わせのCの計算の仕方は下記を見てください。

http://www.dinop.com/vc/combination.html


同様に

問題2:52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数を2枚としたときの確率を求めなさい。

答えは 4C2x48C11/53C12=0.2134934

問題3:52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数を3枚としたときの確率を求めなさい。

答えは 4C3x48C10/53C12=0.04120048

問題4:52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数を4枚としたときの確率を求めなさい。

答えは 4C4x48C9/53C12=0.002641056


この4つの問題を同時に表したのが

問題:52枚のトランプから13枚を選んだ中に含まれるエース(A)の枚数をxとしたときのxの確率分布を求めよ。(この分布は超幾何分布という)

ということになります。

id:moon-fondu

なるほどです!

ありがとうございます、問題の趣旨が明確になりました!X=0のときも求めてようやく、確率の和が1になるのですね。。。

2010/05/14 23:24:19
id:rsc96074 No.4

rsc回答回数4399ベストアンサー獲得回数4032010/05/12 06:53:47ここでベストアンサー

ポイント100pt

■解法の手順

 まず、確率変数Xの取り得る値を調べる→確率変数はエース(A)の枚数だから、X=0,1,2,3,4となります。

 次に、Xに対する確率P(X=x_k)を求めます。

※確率分布では、確率の和が1になっていなければならない。つまり、Σ{P(X=x_k)}=1に注意!

 確率変数Xの取り得る値は、0,1,2,3,4のいずれかで、X=rとなる確率をP(X=r)とすると、

エースが4枚とそれ以外48(=52-4)枚の合計52枚のトランプの中から、同時に13枚を取り出す方法の数は、

52C13=635013559600

[1] X=0、つまり、エース0枚、それ以外を13枚取り出す方法の数は、

4C0×48C13=1×192928249296=192928249296

よって、P(X=0)=192928249296/635013559600=6327/20825=0.303817527010804≒0.304

[2] X=1、つまり、エース1枚、それ以外を12枚取り出す方法の数は、

4C1×48C12=4×69668534468=278674137872

よって、P(X=1)=278674137872/635013559600=9139/20825=0.438847539015606≒0.439

[3] X=2、つまり、エース2枚、それ以外を11枚取り出す方法の数は、

4C2×48C11=6×22595200368=135571202208

よって、P(X=2)=135571202208/635013559600=4446/20825=0.213493397358944≒0.213

[4] X=3、つまり、エース3枚、それ以外を10枚取り出す方法の数は、

4C3×48C10=4×6540715896=26162863584

よって、P(X=3)=26162863584/635013559600=858/20825=0.0412004801920768≒0.041

[5] X=4、つまり、エース4枚、それ以外を9枚取り出す方法の数は、

4C4×48C9=1×1677106640=1677106640

よって、P(X=4)=1677106640/635013559600=11/4165=0.00264105642256903≒0.003

P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=(6327+9139+4446+858+55)/20825=1

以上より、求める確率分布は次表のようになる。


 X |   0      1      2      3      4   | 計  
---+-----------------------------------+---- 
 P | 0.304  0.439  0.213  0.041  0.003 | 1   


 この問題は何の問題か分類すれば、これは「確率分布」の問題で、まだ、二項分布は含まれていないようです。

 二項分布は、反復試行の確率に関する確率分布だから、二項係数を含んでいます。

※参考URL

●確率分布

http://case.f7.ems.okayama-u.ac.jp/statedu/lispstat-book/node62....

●二項分布

数学において、二項分布(にこうぶんぷ)は、結果が成功か失敗のいずれかである n 回の独立な試行を行ったときの成功数で表される離散確率分布である。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%8...

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/statistics/binomial.htm

●反復試行の確率について

http://kakuritsu.hp.infoseek.co.jp/hampuku.html

id:moon-fondu

そうなんですか!二項分布の問題ではないのですね~教えていただき、ありがとうございます<m(__)m>リンクもたくさんありがとうございます(^_^;)

4つ目のリンクの(5)の問題の表はまさに、二項定理の計算と同じですね!

「なんで分母が3^5なのかな?」と一瞬戸惑いましたが、「サイコロの3と6が出る確率」=「2/6」=「1/3」ということで、「(1/3)^5の中で、3と6の場合はどれだけありうるか?」を考えればいいのですね~いやはや、いろいろ忘れてますね(汗)

2010/05/14 23:29:25
id:aosdnb No.5

MR回答回数72ベストアンサー獲得回数02010/05/12 07:10:50

13毎選んだときのエースの枚数は、0,1,2,3のどれかです。

  • id:nobnob3
    P(X=0)の計算を忘れていました
    P(X=0)=0.3038175
    です。
    ちなみに
    P(X>4)つまりエースが5枚、6枚、・・・ということはありえないので
    P(X>4)=0になります。
    また、
    P(X=0)+P(X=1)+・・P(X=4)+P(X>4)=1になります。
  • id:ita
    トランプの問題は二項分布にならないから、二項分布を知りたいのなら「サイコロを4つ振って1が2つ出る確率」とか考えたほうがいいんでは?
  • id:moon-fondu
    コメントありがとうございます!X=0のときも大事なんですね~(^_^;)
    itaさんアドバイスありがとうございます<m(__)m>二項分布の問題は、またの機会に質問させていただきたいと思います!

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