1274110846 微分方程式についての質問です。とある微分方程式の教科書に出てきた話について、疑問を抱きました。

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例題4-6●より現実的なロケットのモデル(応用分野/航空宇宙工学)
 初期の質量がMである、断面積が「充分小さな」マイクロ・ロケットが、燃料を一定の割合hで消費しながら地球から垂直上昇するときの速度を求めなさい。
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例題に対しての解説は、添付ファイルをご覧になっていただきたいのですが、この添付ファイルの中に出てくる「定数変化法の範囲を越えてしまう」とは、一体どういう意味なのでしょうか?
推力が「f」、重力が「-(M-ht)g」、そして空気抵抗が「-bv」であることは、解説からなんとなくわかります。
しかし「-cv^2は非線形項である」とは一体どういう意味なのでしょうか?
また、非線形項というものが数式に入っていると、「定数変化法」と呼ばれるものの範囲を越えてしまうとは、一体どういうことなのでしょうか?
さらに、この微分方程式の有効な時間が「t<M/h」なのは、どうしてなのでしょうか?
分子が初期の質量Mで、分母が燃料h、それが時間tをどのように定義しているのか・・・いまいちピンと来ないのです (>_<)

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  • 1人5回まで
  • 登録:2010/05/18 00:40:49
  • 終了:2010/05/23 21:46:02

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4399ベストアンサー獲得回数4032010/05/18 06:01:48

ポイント100pt

■「-cv^2は非線形項である」とは一体どういう意味なのでしょうか?

 こちらの1文目が分かりいやすいです。

●ひせんけい0 【非線形・非線型】

http://dic.yahoo.co.jp/dsearch?enc=UTF-8&p=%E9%9D%9E%E7%B7%9A%E5...

※参考URL

●線型性

英語における数学用語の linear に基づく日本語訳としては、線型が本来の用字であるが、他に線形、線状、一次などといった揺れが存在する。ただし「一次」が「線型」を意味しない場合も多い。

数学において、写像 f(x) が線型であるとは、f について以下のふたつの性質

加法性: 任意の x, y に対して f(x + y) = f(x) + f(y)

斉次性(作用との可換性): 任意の x, α に対して f(αx) = αf(x)

が満たされることである。ここで x, y は実数や複素数、あるいはベクトルなど一般に環上の加群の元、α はその環の元を表す。たとえば、一次関数はそのグラフが原点を通るとき、またそのときに限り線型性を持つ。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%80%A7

●線形性の概要1 [物理のかぎしっぽ]

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/linear1/

■非線形項というものが数式に入っていると、「定数変化法」と呼ばれるものの範囲を越えてしまうとは、一体どういうことなのでしょうか?

 もしかしたら、深い意味があるのかも知れませんが、一般に微分方程式は、決まった形のものしか解くことが出来ないので、定数変化法が使えるのは、1階線形微分方程式の形でなければならないといった程度のことじゃないのでしょうか。つまり、2次の項が入って来ると、1階線形微分方程式の形にならないからじゃないでしょうか。

 解答画像の(4.32)式で、t=x,v=yと置き換えると、

(M-hx)(dy/dx)=f-(M-hx)g-by

∴(M-hx)(dy/dx)+by=f-(M-hx)g

∴dy/dx+{b/(M-hx)}y={f/(M-hx)-g}

ここで、P(x)=b/(M-hx),Q(x)=f/(M-hx)-gとおくと、

1階線形微分方程式 dy/dx+P(x)y=Q(x)

の形になります。

●一階線型常微分方程式の一般型とその一般解

dy/dx+P(x)y=Q(x)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8...

※参考URL

●10 1階線形微分方程式

1階線形微分方程式 y'+ P(x)y = Q(x) の解法

step 1: F(x) =∫P(x) dx を計算する。

step 2: G(x) = e^F(x) を簡単にする。

step 3: H(x) =∫Q(x)G(x) dx を計算する。

step 4: y = {H(x) + C}/G(x) が解である。

http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Jugyou/Old/4KHouteishiki/houte...

●簡単な微分方程式 - 1階線形微分方程式

http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_10/liner.html

●線形微分方程式

http://150.19.250.13/MULTIMEDIA/diffpub/node13.html

●定数係数1階線形微分方程式

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/constOneLinearDiffEq/

■この微分方程式の有効な時間が「t<M/h」なのは、どうしてなのでしょうか?

 1階線形微分方程式の基本形

dv/dt+{b/(M-ht)}v={f/(M-ht)-g}

で、M-ht=0であっては困りますし、Mを超えて消費できないので、M-ht>0つまり、t<M/hでなければならないからじゃないでしょうか。

id:moon-fondu

たくさんのリンクありがとうございます!

非線形(非線型)、定数変化法が使える条件、t<M/hである理由も理解できました!

M-htを変形すれば、導けるんですね(^_^;)

ありがとうございます<m(__)m>

2010/05/19 01:37:58

その他の回答(1件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4399ベストアンサー獲得回数4032010/05/18 06:01:48ここでベストアンサー

ポイント100pt

■「-cv^2は非線形項である」とは一体どういう意味なのでしょうか?

 こちらの1文目が分かりいやすいです。

●ひせんけい0 【非線形・非線型】

http://dic.yahoo.co.jp/dsearch?enc=UTF-8&p=%E9%9D%9E%E7%B7%9A%E5...

※参考URL

●線型性

英語における数学用語の linear に基づく日本語訳としては、線型が本来の用字であるが、他に線形、線状、一次などといった揺れが存在する。ただし「一次」が「線型」を意味しない場合も多い。

数学において、写像 f(x) が線型であるとは、f について以下のふたつの性質

加法性: 任意の x, y に対して f(x + y) = f(x) + f(y)

斉次性(作用との可換性): 任意の x, α に対して f(αx) = αf(x)

が満たされることである。ここで x, y は実数や複素数、あるいはベクトルなど一般に環上の加群の元、α はその環の元を表す。たとえば、一次関数はそのグラフが原点を通るとき、またそのときに限り線型性を持つ。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%80%A7

●線形性の概要1 [物理のかぎしっぽ]

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/linear1/

■非線形項というものが数式に入っていると、「定数変化法」と呼ばれるものの範囲を越えてしまうとは、一体どういうことなのでしょうか?

 もしかしたら、深い意味があるのかも知れませんが、一般に微分方程式は、決まった形のものしか解くことが出来ないので、定数変化法が使えるのは、1階線形微分方程式の形でなければならないといった程度のことじゃないのでしょうか。つまり、2次の項が入って来ると、1階線形微分方程式の形にならないからじゃないでしょうか。

 解答画像の(4.32)式で、t=x,v=yと置き換えると、

(M-hx)(dy/dx)=f-(M-hx)g-by

∴(M-hx)(dy/dx)+by=f-(M-hx)g

∴dy/dx+{b/(M-hx)}y={f/(M-hx)-g}

ここで、P(x)=b/(M-hx),Q(x)=f/(M-hx)-gとおくと、

1階線形微分方程式 dy/dx+P(x)y=Q(x)

の形になります。

●一階線型常微分方程式の一般型とその一般解

dy/dx+P(x)y=Q(x)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8...

※参考URL

●10 1階線形微分方程式

1階線形微分方程式 y'+ P(x)y = Q(x) の解法

step 1: F(x) =∫P(x) dx を計算する。

step 2: G(x) = e^F(x) を簡単にする。

step 3: H(x) =∫Q(x)G(x) dx を計算する。

step 4: y = {H(x) + C}/G(x) が解である。

http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Jugyou/Old/4KHouteishiki/houte...

●簡単な微分方程式 - 1階線形微分方程式

http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_10/liner.html

●線形微分方程式

http://150.19.250.13/MULTIMEDIA/diffpub/node13.html

●定数係数1階線形微分方程式

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/constOneLinearDiffEq/

■この微分方程式の有効な時間が「t<M/h」なのは、どうしてなのでしょうか?

 1階線形微分方程式の基本形

dv/dt+{b/(M-ht)}v={f/(M-ht)-g}

で、M-ht=0であっては困りますし、Mを超えて消費できないので、M-ht>0つまり、t<M/hでなければならないからじゃないでしょうか。

id:moon-fondu

たくさんのリンクありがとうございます!

非線形(非線型)、定数変化法が使える条件、t<M/hである理由も理解できました!

M-htを変形すれば、導けるんですね(^_^;)

ありがとうございます<m(__)m>

2010/05/19 01:37:58
id:ita No.2

ita回答回数204ベストアンサー獲得回数482010/05/19 00:37:02

ポイント75pt

非線形について。

問題の方程式は1で説明されている形に変形できます。確認してください。

ちょっと記号変えます。

d v(t)/dt+P(t)v(t)=Q(t)

求めたい量:速度の時間変化 v(t)

問題で与えられている量:P(t)とQ(t)

ここで式を以下のように書き直して見ます

(d/dt + P(t)) v(t)=Q(t)

v(t)をくくり出してあります。d/dt + P(t) というのは、なにか関数にかけると別の関数、具体的には関数を時間微分したものと関数に別の関数P(t)をかけたものの2つを足した関数、に変化させる変換です。関数を別の関数に変化させるもの。ちょうどベクトルに行列をかけると別のベクトルになるようなもんです。

実際、v(t)のような時間の関数は、t=0, t=1, t=2, t=3,...といった時刻での値を表にすればざっくりと表現できます。これはちょうどベクトルが数字を並べて表せるようなもんです。

そして (d/dt+P(t))という奴を二つの関数の和にかけて見ます

(d/dt+P(t))( v(t)+w(t)) = (dv(t)/dt + P(t) v(t)) + (dw(t)/dt + P(t) w(t))

これは何を意味するかというと、それぞれを変換してから足したものと、足してから変換したものが同じ、ということです。

こういう場合、この、関数を別の関数に変換する奴が「線形変換」であるといいます。行列もそうです。

で、行列の場合、あるベクトルPが与えられて M.v = P というのを満たすベクトルvを計算するには逆行列を使って v=M^-1 Pと計算できます。

上の微分方程式の場合も基本的には線形変換の逆をやる、ということで、形式的に v(t)=(d/dt + P(t))^-1 Q(t)と計算できます。

しかしv(t)*v(t)という項が混ざってると、変換が線形変換でなくなってこの議論が使えなくなる、ということです

id:moon-fondu

なるほどです、なんとかして、1階線型常微分方程式の形に持っていくようにすればいいのですね!

でもすいません、もしよろしければ再度ご回答いただきたいのですが、v(t)をくくり出したところで、疑問に思いまして。

左辺の

d v(t)/dt+P(t)v(t)

において、v(t)は分子と分母の両方に掛っているので、v(t)を外にくくり出したら、

(d/dt + P(t))・(v(t)/v(t))

に、なるのではないでしょうか?

また、「w(t)」とは、何なのでしょうか?

2010/05/19 01:50:52
  • id:moon-fondu
    3つも質問して申し訳ございません。1つでも、私の疑問に答えていただければ幸いです。
    よろしくお願いします<m(__)m>
  • id:Mathusala
    サディア・ラボン 2010/05/18 04:42:36
    空気の抵抗は、速度の二乗に比例するので、
    速度と空気の抵抗のグラフは直線になりません。
    非線型は、直線ではないという意味です。
    速いほど加速しにくくなります。
  • id:moon-fondu
    Mathusalaさん、回答ありがとうございます!
    なんとなく非線型のイメージがつかめました(^_^;)
  • id:ita
    (d/dt) v(t) +P(t)v(t)
    と書くと誤解がないでしょうか。
    ( (d/dt) + P(t) ) v(t)と変形できます
    w(t)もこの問題では速度なんですが重ねあわせがイメージ難しいですね。
    ロケットの問題を忘れて、なにか振動みたいなのを計算する問題を想像して、v(t)という振動とw(t)という振動を「重ね合わせ」る感じです。指で一回たたいて出る振動を二つ重ね合わせると二回たたいたときの振動になる、みたいな。
  • id:moon-fondu
    すいません、ちょっと寝ぼけてました、「(d/dt) v(t) 」で大丈夫です!

    (d/dt+P(t))( v(t)+w(t)) = (dv(t)/dt + P(t) v(t)) + (dw(t)/dt + P(t) w(t))

    に関しては、まだイメージがつかめていませんね・・・何か例題を探してみます!

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