【ネイピア数】e(=2.71...)に関する9の予想を立てました。コメント欄に載せます。あってるか間違ってるか証明してください。

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ベストアンサー

id:ita No.1

ita回答回数203ベストアンサー獲得回数472010/05/23 13:14:48

ポイント99pt

http://q.hatena.ne.jp/1274539175

Log X は単調増加なので、

X、Y>0ならば X>Y と LogX>LogY は同値。

命題の両辺Logをとったものを考察

  • 2:a>0のとき a/e <(a/x) Log xをみたす正のxは存在しない。

右辺をxで微分すると a/x^2(1-Logx)。したがって右辺はx=eで最大値a/eをとるので2は正しい

  • 3:上と同様。x=eで最小値 a/eをとるので3は正しい
  • 4:a>0のとき -(a/x)Log x<-(a/e)をみたす正のxは存在しない。

両辺ー1倍して (a/x)Log x>a/e 。2と同じなので正しい

  • 5:a<0のとき 3と同じ
  • 6: -xLog x < 1/eをみたす正のxは存在しない

左辺を微分:-(1+Logx) したがって左辺はx=1/eで最大値1/eをとるので6と逆。6の不等号を逆にすれば成立。

こんなところでしょうか。

id:alan_i_jp

微分が苦手なので、自分なりに調べたつもりですが、わからない部分を質問します。

logは自然対数ですか。

あと対数のとり方がわからないです。

2010/05/23 23:22:32
  • id:alan_i_jp
    1.lim[h->0](1-h)^(1/h)=1/e
  • id:alan_i_jp
    2.a>0のときe^(a/e)<x^(a/x)をみたす正のxは存在しない。
  • id:alan_i_jp
    3.a<0のときe^(a/e)>x^(a/x)をみたす正のxは存在しない。
  • id:alan_i_jp
    4.a>0のとき(1/x)^(a/x)<(1/e)^(a/e)をみたす正のxは存在しない。
  • id:alan_i_jp
    5.a<0のとき(1/x)^(a/x)>(1/e)^(a/e)をみたす正のxは存在しない。
  • id:alan_i_jp
    6.x^(-x)<e^(1/e)をみたす正のxは存在しない。
  • id:alan_i_jp
    8.a>0のときlog_[a](a^x)>log_[a](a^e)をみたす正のxは存在しない。
  • id:alan_i_jp
    9.(ax)^(ax)<1/eをみたす正のxは存在しない。
  • id:alan_i_jp
    7.a>0のときlog_[a^x](x)>log_[a^e](e)をみたす正のxは存在しない。
  • id:alan_i_jp
    9番は(ax)^(ax)でなくてx^xです。
    たぶん1が一番簡単そうで6が一番難しそうです。
  • id:ita
    Logは自然対数です。
    Log(exp(x))=x
    Log(a^b)= b Log(a)
    といったところを使って展開。
    あとfの微分をf'と書くと、
    (fg)'= f'g+g'f
    を使って微分を計算します。log x の微分は1/x

  • id:alan_i_jp
    どうもありがとうございます。
    まだわからないので、2年くらい経ったら、自分で考えます。
  • id:ita
    というか微分使わずにどうやって予想されたか興味あります。
  • id:alan_i_jp
    もともと微分の知識はなかったわけではないですが、lim[h->0]f'(x)=(f(x+h)-f(x)/xくらいで、できて、y=ax^nくらいでした。(そのごe^xの微分を知人から習いましたが、テイラー展開(?)難しかったです。)
    今回のは、x^(1/x)って1から0へいくと0に近くなって、十分大きい数からもっと大きくなると1に近くなることにきづいたあとで(連続性もありそう)、1<2^(1/2)=4^(1/4)<3^(1/3)であるから、xが2から4の間に一番大きい点があるとおもい、関数電卓でだいたいの値を求めるとeに近くなりました。

    その他のは、wolfram alphaでグラフを出すと、だいたい目分量でeだなと思い、e+0.001やe-0.001とeを比べて確かめました。

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