1274900796 以前、


2次曲線の問題
http://q.hatena.ne.jp/1271179449

について質問させていただきました。
今回は「2次曲"面"」で、頭を悩ませておりまして・・・

---------------------
【問】次の2次曲面の標準形を求めよ。
(3×3行列Aと、4×4行列A'を求め、Aを対角化する直行行列Tを求めること)

(a)2x^2+4y^2+z^2+4xy-2xz-1=0
(b)3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2xz-1=0
---------------------

という問題です。解き方も疑問なのですが、この方程式は、2次曲線の時の問題と似たような2次方程式なのに、曲面を示す方程式になるのでしょうか?
曲線ではなく、どうして(a)と(b)は、曲"面"を示す方程式になるのか疑問です・・・よろしくお願いします(>_<)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/05/27 04:06:36
  • 終了:2010/06/02 00:55:58

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4380ベストアンサー獲得回数3982010/05/27 15:15:27

ポイント100pt

【問】次の2次曲面の標準形を求めよ。(3×3行列Aと、4×4行列A'を求め、Aを対角化する直行行列Tを求めること)

 (b)の方が解きやすいから、(b)から求めます。

(b)3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2xz-1=0

 まず、AとA'を求めます。参考URLで言うと、行列Aの行列式はΔ、行列A'の行列式はDになります。

A=( 3  1  1 ), A'=( 3  1  1  0 )
  ( 1  2  0 )     ( 1  2  0  0 )
  ( 1  0  2 )     ( 1  0  2  0 )
                  ( 0  0  0 -1 )
Δ=|A|=8, D=|A'|=-8

 次に、Δ(λ)=0を求めると、
Δ(λ)=| 3-λ  1    1   |=-λ^3+7λ^2-14λ+8=0
     |  1   2-λ  0   |
     |  1    0   2-λ |
∴Δ2=7,Δ1=14 ←Δ1,Δ2は、上の計算結果のλの係数に名前を付けているだけです。
∴λ=1,2,4

 参考URLの(5.2)式から、求める標準形は
X^2+2Y^2+4Z^2+(-8)/8=0
∴X^2+2Y^2+4Z^2=1
∴X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1 (長円面(楕円面))

 問題の指定により、直交行列Tを求めるておくと、λは求めてあるので、 固有値λ=1,2,4
 λ=1のとき、
Δ(1)=( 2  1  1 )
     ( 1  1  0 )
     ( 1  0  1 )
∴
( 2  1  1 )(x) (0)
( 1  1  0 )(y)=(0)
( 1  0  1 )(z) (0)
∴
 2x+y+z=0
  x+y  =0
  x  +z=0
 これから、x:y:zの比を求めて、x:y:z=1:-1:1
∴x/1=y/-1=z/-1=t
と置いて、大きさが1になるものを求めると、
x^2+y^2+z^2=3t^2=1
∴t=±1/√[3]で、正の方をとって、
∴↑t1=(+1/√[3)
      (-1/√[3)
      (-1/√[3)
 λ=2のとき、
Δ(2)=( 1  1  1 )
     ( 1  0  0 )
     ( 1  0  0 )
∴
 x+y+z=0
 x    =0
 x    =0
∴x:y:z=0:1:-1
 大きさが1のものを求めるには、√[0^2+1^2+(-1)^2]で割ってもよい。
∴↑t2=(   0    )
      (+1/√[2])
      (-1/√[2])
 λ=4のとき、
Δ(4)=(-1  1  1 )
     ( 1 -2  0 )
     ( 1  0 -2 )
∴
 -x+ y+ z=0
  x-2y   =0
  x   -2z=0
∴x:y:z=2:1:1
∴↑t3=(2/√[6])
      (1/√[6])
      (1/√[6])
よって求める直交行列Tは、
T=(+1/√[3]     0     2/√[6])
  (-1/√[3]  +1/√[2]  1/√[6])
  (-1/√[3]  -1/√[2]  1/√[6])

(a)2x^2+4y^2+z^2+4xy-2xz-1=0

 まず、AとA'を求めます。参考URLで言うと、行列Aの行列式はΔ、行列A'の行列式はDになります。
A=( 2  2 -1 ), A'=( 2  2 -1  0 )
  ( 2  4  0 )     ( 2  4  0  0 )
  (-1  0  1 )     (-1  0  1  0 )
                  ( 0  0  0 -1 )
Δ=|A|=0, D=|A'|=0

 次に、Δ(λ)=0を求めると、
Δ(λ)=| 2-λ  2   -1   |=-λ^3+7λ^2-9λ=0
     |  2   4-λ  0   |
     | -1    0   1-λ |
∴Δ2=7,Δ1=9
∴λ=0,(7±√[13])/2
D(μ)=| 2-μ  2   -1   0 |=μ^3-7μ^2+9μ=0
     | 2    4-μ  0   0 |
     |-1     0   1-μ 0 |
     | 0     0    0 -1 |
∴D2=-7,D1=-9

 参考URLの(5.2)式から、求める標準形は
λ1=(7+√[13])/2,λ2=(7-√[13])/2とおくと、
λ1X^2+λ2Y^2+(-9)/9=0
∴λ1X^2+λ2Y^2=1
∴X^2/(1/λ1)+Y^2/(1/λ2)=1 (長円柱(楕円柱))

 問題の指定により、直交行列Tも求めておかなければなりませんが、√が入って来て、さすがに滅入ってしまいました。他の方にお任せします。

■この方程式は、2次曲線の時の問題と似たような2次方程式なのに、曲面を示す方程式になるのでしょうか?

 次元が一つ増えるからじゃないでしょうか。たとえば、xy平面で、ax+by+c=0は直線を表しますが、空間では平面を表します。

xy平面上では、xy平面z=0が暗黙の大前提となっています。つまり、空間から見ると、平面ax+by+c=0とxy平面z=0との交線になっています。

※参考URL

●二次曲面の分類

http://ir.iwate-u.ac.jp/dspace/bitstream/10140/881/1/erar-v16n2p...

id:moon-fondu

なるほどです!リンク先を読み、

《2次曲面の方程式》

[a11]x^3+[a22]y^2+[a33]z^2+2[a12]xy+2[a13]xz+2[a23]yz+2[a1]x+2[a2]y+2[a3]z+[a0]=0

があることがわかりました、ありがとうございます!

「-λ^3+7λ^2-14λ+8=0」は、リンク先(二次曲面の分類)の「(0.2)」に相当するのですね~。

確かに、rsc96074さんに以前教わった

サラスの方法

http://q.hatena.ne.jp/1269275132

で計算してみると、

(b)3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2xz-1=0

Δ(λ)=

| 3-λ 1 1 |

| 1 2-λ 0 |

| 1 0 2-λ |

=(3-λ)*(2-λ)*(2-λ)+1*0*1+1*1*0-1*(2-λ)*1-1*1*(2-λ)-(3-λ)*0*0

=(6-5λ+λ^2)*(2-λ)-(2-λ)-(2-λ)・・・(★)

=12-6λ-10λ+5λ^2+2λ^2-λ^3-2+λ-2+λ

=-λ^3+7λ^2+14λ+8

(0.2)の形になりました!

★から、

=(2-λ){(6-5λ+λ^2)-1-1}

=(2-λ)(λ^2-5λ+4)・・・(◆)

=2λ^2-10λ+8-λ^3+5λ^2-4λ

=-λ^3+7λ^2-14λ+8

という風に計算してもいいですよね!

そしてこの式から、

Δ[2]=7、Δ[1]=14、Δ=8

であることが、

《2次曲面の「行列式」》

-λ^3+Δ[2]λ^2-Δ[1]λ+Δ=0 ・・・(0.2)

からわかるということですね!

λ=1,2,4

は、「(2-λ)(λ^2-5λ+4)・・・◆」を、「(2-λ)(λ-1)(λ-4)」に因数分解すれば、出てきますね。

因数分解できないときは、何か対応策ありましたね、高校の時だったような・・・忘れたので本題に戻りますと、λとΔが出たので、次はDですよね。

rsc96074さんのリンクを参考にすると、Dは「二次曲面の母線の有無を判別する」そうですね、「母線」という名称は初めて聞いたので、あまりイメージが湧きませんが・・・(^_^;)

で、「D=-8<0」なので、(b)は、虚なる相交二母線をもつ「虚線織面」を備えた二次曲面だと。

こんな感じで、λ、Δ、Dを求めてようやく、2次曲面の標準形があらわになるのですね。

(5.2)によると、

《2次曲面の「標準形」》

λ[1]X^2+λ[2]Y^2+λ[3]Z^3+(D/Δ)=0

なので、これにλ、Δ、Dの値を当てはめると、rsc96074さんが解答してくださったように、

X^2+2Y^2+4Z^2+(-8)/8=0

∴X^2+2Y^2+4Z^2=1・・・♪

になりますね。しかしここから、いきなり、

∴X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1 (長円面(楕円面))

という結論になった時点で、躓きました(>_<)

なぜいきなり、2Y^2が「Y^2/(1/√[2])^2」になり、4Z^2が「Z^2/(1/2)^2」に変形しているのでしょうか?

なんとなく、この変形のために直交行列を求める必要があるような気はするのですが・・・rsc96074さんが求めてくださった直交行列Tの、3行目の2列目に「-1/√[2]」がありますし・・・しかし、そもそも「♪」の時点で、標準形が求まり、「D<0」「Δ[1]>0、Δ*Δ[2]>0」であることもわかっているので、リンク先の第4表を参考にすると、「♪」まで到達した時点で

∴X^2+2Y^2+4Z^2=1 (長円柱(楕円柱))

と、結論付けては、いけないのでしょうか?

お手数おかけして申し訳ないのですが、なぜ「∴X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1 (長円面(楕円面))」という一行が必要なのか、再度教えていただけないでしょうか?

よろしくお願いします<m(__)m>

2010/05/29 11:31:09

その他の回答(3件)

id:Loopy No.1

Loopy回答回数95ベストアンサー獲得回数112010/05/27 07:53:47

ポイント30pt

http://q.hatena.ne.jp/images/question/1274900/1274900796.jpg

曲線ではなく、どうして(a)と(b)は、曲"面"を示す方程式になるのか疑問です・・・よろしくお願いします(>_<)

式にx,y,zの3次元の変数があるので式は3次元空間の点を示すことになります。

x,y,zのうちどれは一つを決めると変数が二つの式になり、これは曲線をあらわします。

つまりzを決めるとx-y平面状の曲線になり、zを連続的に変化させるとx-y平面の曲線が連続して変化し、曲面を形成します。

id:moon-fondu

ありがとうございます、なんとなくイメージが掴めました!

2010/05/29 11:28:10
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4380ベストアンサー獲得回数3982010/05/27 15:15:27ここでベストアンサー

ポイント100pt

【問】次の2次曲面の標準形を求めよ。(3×3行列Aと、4×4行列A'を求め、Aを対角化する直行行列Tを求めること)

 (b)の方が解きやすいから、(b)から求めます。

(b)3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2xz-1=0

 まず、AとA'を求めます。参考URLで言うと、行列Aの行列式はΔ、行列A'の行列式はDになります。

A=( 3  1  1 ), A'=( 3  1  1  0 )
  ( 1  2  0 )     ( 1  2  0  0 )
  ( 1  0  2 )     ( 1  0  2  0 )
                  ( 0  0  0 -1 )
Δ=|A|=8, D=|A'|=-8

 次に、Δ(λ)=0を求めると、
Δ(λ)=| 3-λ  1    1   |=-λ^3+7λ^2-14λ+8=0
     |  1   2-λ  0   |
     |  1    0   2-λ |
∴Δ2=7,Δ1=14 ←Δ1,Δ2は、上の計算結果のλの係数に名前を付けているだけです。
∴λ=1,2,4

 参考URLの(5.2)式から、求める標準形は
X^2+2Y^2+4Z^2+(-8)/8=0
∴X^2+2Y^2+4Z^2=1
∴X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1 (長円面(楕円面))

 問題の指定により、直交行列Tを求めるておくと、λは求めてあるので、 固有値λ=1,2,4
 λ=1のとき、
Δ(1)=( 2  1  1 )
     ( 1  1  0 )
     ( 1  0  1 )
∴
( 2  1  1 )(x) (0)
( 1  1  0 )(y)=(0)
( 1  0  1 )(z) (0)
∴
 2x+y+z=0
  x+y  =0
  x  +z=0
 これから、x:y:zの比を求めて、x:y:z=1:-1:1
∴x/1=y/-1=z/-1=t
と置いて、大きさが1になるものを求めると、
x^2+y^2+z^2=3t^2=1
∴t=±1/√[3]で、正の方をとって、
∴↑t1=(+1/√[3)
      (-1/√[3)
      (-1/√[3)
 λ=2のとき、
Δ(2)=( 1  1  1 )
     ( 1  0  0 )
     ( 1  0  0 )
∴
 x+y+z=0
 x    =0
 x    =0
∴x:y:z=0:1:-1
 大きさが1のものを求めるには、√[0^2+1^2+(-1)^2]で割ってもよい。
∴↑t2=(   0    )
      (+1/√[2])
      (-1/√[2])
 λ=4のとき、
Δ(4)=(-1  1  1 )
     ( 1 -2  0 )
     ( 1  0 -2 )
∴
 -x+ y+ z=0
  x-2y   =0
  x   -2z=0
∴x:y:z=2:1:1
∴↑t3=(2/√[6])
      (1/√[6])
      (1/√[6])
よって求める直交行列Tは、
T=(+1/√[3]     0     2/√[6])
  (-1/√[3]  +1/√[2]  1/√[6])
  (-1/√[3]  -1/√[2]  1/√[6])

(a)2x^2+4y^2+z^2+4xy-2xz-1=0

 まず、AとA'を求めます。参考URLで言うと、行列Aの行列式はΔ、行列A'の行列式はDになります。
A=( 2  2 -1 ), A'=( 2  2 -1  0 )
  ( 2  4  0 )     ( 2  4  0  0 )
  (-1  0  1 )     (-1  0  1  0 )
                  ( 0  0  0 -1 )
Δ=|A|=0, D=|A'|=0

 次に、Δ(λ)=0を求めると、
Δ(λ)=| 2-λ  2   -1   |=-λ^3+7λ^2-9λ=0
     |  2   4-λ  0   |
     | -1    0   1-λ |
∴Δ2=7,Δ1=9
∴λ=0,(7±√[13])/2
D(μ)=| 2-μ  2   -1   0 |=μ^3-7μ^2+9μ=0
     | 2    4-μ  0   0 |
     |-1     0   1-μ 0 |
     | 0     0    0 -1 |
∴D2=-7,D1=-9

 参考URLの(5.2)式から、求める標準形は
λ1=(7+√[13])/2,λ2=(7-√[13])/2とおくと、
λ1X^2+λ2Y^2+(-9)/9=0
∴λ1X^2+λ2Y^2=1
∴X^2/(1/λ1)+Y^2/(1/λ2)=1 (長円柱(楕円柱))

 問題の指定により、直交行列Tも求めておかなければなりませんが、√が入って来て、さすがに滅入ってしまいました。他の方にお任せします。

■この方程式は、2次曲線の時の問題と似たような2次方程式なのに、曲面を示す方程式になるのでしょうか?

 次元が一つ増えるからじゃないでしょうか。たとえば、xy平面で、ax+by+c=0は直線を表しますが、空間では平面を表します。

xy平面上では、xy平面z=0が暗黙の大前提となっています。つまり、空間から見ると、平面ax+by+c=0とxy平面z=0との交線になっています。

※参考URL

●二次曲面の分類

http://ir.iwate-u.ac.jp/dspace/bitstream/10140/881/1/erar-v16n2p...

id:moon-fondu

なるほどです!リンク先を読み、

《2次曲面の方程式》

[a11]x^3+[a22]y^2+[a33]z^2+2[a12]xy+2[a13]xz+2[a23]yz+2[a1]x+2[a2]y+2[a3]z+[a0]=0

があることがわかりました、ありがとうございます!

「-λ^3+7λ^2-14λ+8=0」は、リンク先(二次曲面の分類)の「(0.2)」に相当するのですね~。

確かに、rsc96074さんに以前教わった

サラスの方法

http://q.hatena.ne.jp/1269275132

で計算してみると、

(b)3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2xz-1=0

Δ(λ)=

| 3-λ 1 1 |

| 1 2-λ 0 |

| 1 0 2-λ |

=(3-λ)*(2-λ)*(2-λ)+1*0*1+1*1*0-1*(2-λ)*1-1*1*(2-λ)-(3-λ)*0*0

=(6-5λ+λ^2)*(2-λ)-(2-λ)-(2-λ)・・・(★)

=12-6λ-10λ+5λ^2+2λ^2-λ^3-2+λ-2+λ

=-λ^3+7λ^2+14λ+8

(0.2)の形になりました!

★から、

=(2-λ){(6-5λ+λ^2)-1-1}

=(2-λ)(λ^2-5λ+4)・・・(◆)

=2λ^2-10λ+8-λ^3+5λ^2-4λ

=-λ^3+7λ^2-14λ+8

という風に計算してもいいですよね!

そしてこの式から、

Δ[2]=7、Δ[1]=14、Δ=8

であることが、

《2次曲面の「行列式」》

-λ^3+Δ[2]λ^2-Δ[1]λ+Δ=0 ・・・(0.2)

からわかるということですね!

λ=1,2,4

は、「(2-λ)(λ^2-5λ+4)・・・◆」を、「(2-λ)(λ-1)(λ-4)」に因数分解すれば、出てきますね。

因数分解できないときは、何か対応策ありましたね、高校の時だったような・・・忘れたので本題に戻りますと、λとΔが出たので、次はDですよね。

rsc96074さんのリンクを参考にすると、Dは「二次曲面の母線の有無を判別する」そうですね、「母線」という名称は初めて聞いたので、あまりイメージが湧きませんが・・・(^_^;)

で、「D=-8<0」なので、(b)は、虚なる相交二母線をもつ「虚線織面」を備えた二次曲面だと。

こんな感じで、λ、Δ、Dを求めてようやく、2次曲面の標準形があらわになるのですね。

(5.2)によると、

《2次曲面の「標準形」》

λ[1]X^2+λ[2]Y^2+λ[3]Z^3+(D/Δ)=0

なので、これにλ、Δ、Dの値を当てはめると、rsc96074さんが解答してくださったように、

X^2+2Y^2+4Z^2+(-8)/8=0

∴X^2+2Y^2+4Z^2=1・・・♪

になりますね。しかしここから、いきなり、

∴X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1 (長円面(楕円面))

という結論になった時点で、躓きました(>_<)

なぜいきなり、2Y^2が「Y^2/(1/√[2])^2」になり、4Z^2が「Z^2/(1/2)^2」に変形しているのでしょうか?

なんとなく、この変形のために直交行列を求める必要があるような気はするのですが・・・rsc96074さんが求めてくださった直交行列Tの、3行目の2列目に「-1/√[2]」がありますし・・・しかし、そもそも「♪」の時点で、標準形が求まり、「D<0」「Δ[1]>0、Δ*Δ[2]>0」であることもわかっているので、リンク先の第4表を参考にすると、「♪」まで到達した時点で

∴X^2+2Y^2+4Z^2=1 (長円柱(楕円柱))

と、結論付けては、いけないのでしょうか?

お手数おかけして申し訳ないのですが、なぜ「∴X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1 (長円面(楕円面))」という一行が必要なのか、再度教えていただけないでしょうか?

よろしくお願いします<m(__)m>

2010/05/29 11:31:09
id:moon551 No.3

moon回答回数7ベストアンサー獲得回数02010/05/27 17:07:48

やってみましたが、

わかりませんでした((え

id:yohohoho No.4

yohohoho回答回数8ベストアンサー獲得回数02010/05/31 02:57:01

ポイント25pt

X^2+2Y^2+4Z^2=1と同値の

X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1の式が意味することについて。

X^2+Y^2+Z^2=1は、原点中心、半径1の球体の式になりますが

この球体をy軸方向に1/√[2]、z軸方向に1/2倍拡大したことを明確にする式が、変形後の式です。

id:moon-fondu

すいません、ちょっと疑問に思ったのですが、どうして

X^2+2Y^2+4Z^2=1

と、

X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1

が出てきたのでしょうか?

問題の(a)式や(b)式との関連が見えないのですが・・・(>_<)

2010/06/01 04:48:48
  • id:moon-fondu
    すみません記述を間違えました、「直行行列」ではなく「直交行列」です(>_<)
  • id:rsc96074
     回答の参考URLの判別法を使って、そのままの形でもいいと思いますが、
    x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1の形にしたかっただけです。(^_^;
    ●楕円体
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E4%BD%93

  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/05/29 14:34:27
    Loopyの回答は質問者の「曲線ではなく、どうして(a)と(b)は、曲"面"を示す方程式になるのか」の疑問に簡単明瞭に答えていると思いました。端的に言えば、「3変数(3元)の2次式」だから一般的には「2次曲面」を表すと言えます(3変数でも平面や直線・曲線を表す事はできますが)、1変数を定数(固定した)場合だけでなく、3元1次方程式で表される平面での断面(交点の連続)でも、3元2次方程式で表される曲面での断面(交点の連続)でも曲線(直線を含む)になりますよ。
    rsc96074さんの回答はレベルが高いと思いますが、かなり理解力が必要だと思いました。(数学者にとっては非常に分かり易く、完璧と言う利点がありますが)
  • id:rsc96074
     すみません。よく見直したら、(a)の
    「参考URLの(5.2)式から、」は、「参考URLの(7.4)式から、」の間違いでした。

  • id:moon-fondu
    >YAMADAMAYさん
    なるほどです、一般的に「3変数(3元)の2次式」が曲面を示す式であり、「3変数(3元)の1次式」でも曲面を表すことができるということですね!
    rsc96074さんの回答は、文系出身の私でも理解できるぐらい丁寧に解説してくれているので、数学者以外の方々にとっても分かり易いですよ゜∀゜!!

    >rsc96074さん
    (7.4)式ということは、「二次柱面」ですか?
    でもrsc96074さんが貼り付けてくださったリンク先の資料の1ページ目にある第1表(二次曲面の分類)には、二次柱面は「Δ=0」(無心二次曲面)であることが条件みたいなのですが・・・でも、Δは、rsc96074さんが求めてくださったように、

    Δ=|A|=8

    なので、Δ≠O(有心二次曲面)であり、第1表(二次曲面の分類)に基づくと、二次柱面以外の6つ(「長円面」「虚長円面」「点長円面(虚錐面)」「二葉双曲画」「一葉双曲面」「二次錐面」)のうちのどれかだと思うのですが・・・そして、

    Δ[2]=7、Δ[1]=14、Δ=8

    であり、

    D=|A'|=-8

    なので、「長円面」になるという結論だったと思うのですが・・・これは間違いなのですか!?

    >yohohohoさん
    すいません、自分が書いてました(>_<)
    X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1の式が意味することについて!
    申し訳ないです<m(__)m>
    でも、

    X^2+2Y^2+4Z^2=1

    からの、

    X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1

    への変形過程を、まだ具体的に把握していないので、じっくり取り組んでみようと思います・・・
  • id:rsc96074
    >(7.4)式ということは、「二次柱面」ですか?
    そうです。(a)の問題です。Δ=8は、(b)の問題の方です。
    順番を変えたので混乱させてしまったかもしれませんが、
    (a)は、(7.4)式から、楕円柱⊆二次柱面
    (b)は、(5.2)式から、楕円面
    です。
    それから、たとえば、
    Y^2/(1/2)=2Y^2
    のように、順方向から変形が難しい時は、逆方向から変形するといいです。
    その後、一般化して公式として覚えておくのもいいです。
    aX^2=X^2/(1/a)など。
  • id:moon-fondu
    あっ、そうですよね、(a)についてはしっかり考えていませんでした・・・(b)もまだ直交行列Tの吟味が不十分なので、(b)をしっかり理解した後、(a)に挑戦したいと思います!
    ありがとうございました<m(__)m>

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