ｍを正の整数とします。ｍと互いに素な任意の正整数ｋを定めた時、
（ｍ＾ｎ－１）がｋで割り切れるような正の整数ｎが必ず存在する…、と予想しました。
※「ｍ＾ｎ」とは、ｍのｎ乗の事とします。
これは正しいですか？
自分でも証明してみたんですが、いまいち信じられないので…
・もし正しければ（この予想が定理ならば）、
イ． 勉強不足でお恥ずかしいですが、この定理はありふれたものですか？
もしそうなら定理の名称や証明した人の名前を教えてください。
ロ． 私の証明は除算の余りに鳩の巣原理を適用したものですが、
それ以外の証明法があれば、教えてください。
・もし正しくなければ、
ハ． 反例を教えてください。
No.4
143
13
60pt
オイラーの定理
http://www2.cc.niigata-u.ac.jp/~takeuchi/tbasic/BackGround/Euler...
オイラーは n がオイラー関数で表せることまで示してますね。
しかも証明も簡単。
オイラーすげえ。マジぱねえ。
No.1
10
10pt
おそらく、「ハ」 なのではないかと思います。
m = 2 のとき、成り立たなそうです。
m = 2 のとき
m と互いに素な任意の数 k は必ず奇数である。
n = 1 のとき m ^ (n - 1) = 2 ^ (1 - 1) = 1 である。
これは 1 のみで割り切れるが、 k > 1 なのでNG
n > 2 のとき、m ^ (n - 1) は 2以外の素因数を含まない。
k は必ず奇数なので、k では割り切れないためNG
※ k に何を掛けても、2以外の素因数を含んでしまう
m = 2 のとき、全ての n において条件を満たす k は存在しない。
つまり、どのように k を選んでも条件を満たす n は存在しない。
となります。
自信ないですが、多分間違っていないと思います。。
ごめんなさい、勘違いされているようですが、
「m^(n-1)」
ではなく、
「m^n-1」
ですよ。
No.3
4503437
20pt
m^n-1=(m-1){m^(n-1)+m^(n-2)+・・・+m+1}と因数分解できるから割り切れる、じゃ駄目でしょうか。(^_^;
ｍをｘに変えると、x^n－1。これなら、見覚えあるはず。(^_^;
●TETRA'S MATH | 因数分解から等比数列へ
本質的には、その右側の因数がｋで割り切れるようにｎを決定できるかという問題なのですが…
できれば、コメント欄で補足していただけないでしょうか。
No.4
14313
ここでベストアンサー
60pt
オイラーの定理
http://www2.cc.niigata-u.ac.jp/~takeuchi/tbasic/BackGround/Euler...
オイラーは n がオイラー関数で表せることまで示してますね。
しかも証明も簡単。
オイラーすげえ。マジぱねえ。
ありがとうございます。
まさしくこれです。
（…俺、不勉強すぎるorz）
くろょ
2010/06/10 21:06:33
180
172
rsc
T_SKG
1
1
1
ありがとうございます。
まさしくこれです。
（…俺、不勉強すぎるorz）