外積について質問があります。

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ベクトルi,j,kをx,y,z軸方向の単位ベクトルとするとき、外積の定義から、
i×i=0   i×j=k   i×k=-j
j×i=( ) j×j=( ) j×k=( )
k×i=( ) k×j=( ) k×k=( )
------------------------------------
という問題で、カッコ内の答えと、理由について、知りたいです。
そもそも、

i×i=0
i×j=k
i×k=-j

になる理由もわからず、イメージできませんでして・・・(ToT)
何か空間的にイメージができる例などがありましたら、その点についてもご教授いただければ幸いです。
よろしくお願いします<m(__)m>

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/06/14 21:46:10
  • 終了:2010/06/20 02:23:34

ベストアンサー

id:showyou No.6

showyou回答回数96ベストアンサー獲得回数102010/06/18 00:54:09

ポイント100pt

ちょっと分かりにくかったと思いますので(まだ分かりにくいとは思いますが)補足説明をします。


まず右ねじは右利きが回しやすい方向(=時計回り)に回すと奥に進むようになってます。


それを踏まえた上で。

showyou's fotolife - 20100618004721

まず、i x j の場合、iの方からjの方に向かってネジを回すと、原点に置かれたネジは奥(図でいうと上)のほう、つまりkの方向に進んでいきます。よって答えはkになることがわかります。

一方で j x i の場合は、この図でjからi方向に向かってネジを回す、つまり緩める方に回すので、ネジは手前(図で言うと下)の方、つまり-kの方に向かって進んでいきます。よって答えは-kになります。


>i=(1, 0, 0)、j=(0, 1, 0)、k=(0, 0, 1)

これはtaka-hr の答えにもある通り、

軸方向の単位ベクトルということなので

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

ということで定義みたいなものです。

id:moon-fondu

ありがとうございます、わざわざ添付ファイルも作っていただけるなんて(>_<)

作っていただいたファイルと、showyouさんの解説を読むと、すごく空間的なイメージが掴めました!

jからiは、確かに「ねじを緩めて」いますね!ねじを締めるのではなく緩める、だからマイナスなのですね~(^_^;)

2010/06/20 02:18:55

その他の回答(6件)

id:showyou No.1

showyou回答回数96ベストアンサー獲得回数102010/06/14 22:55:44

ポイント20pt

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/sendaipub/node11.h...

合ってるかどうか怪しいので詳しくは教科書でも確認してください。


基本的にベクトルAからベクトルBに近い方に向かって右ネジを回したときに、ネジが進む方向が外積の向きとなるかと思います。

なので、ixj = k, ixk = -jとなります。このあたりはi,j,kをそれぞれの辺とした立方体でも用意するとわかるかもしれません。


同様に、jxi = -k, jxk = i, kxi = j, kxj = -i となるかと思います。

また、定義より ixi = 0, jxj = 0, kxk = 0となります。



数式で表すならば、(a1, a2, a3) x (b1, b2, b3) = ( a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-b1a2 )が定義の式です。

ここでiなら(1, 0, 0), jなら(0,1,0)となります。

a1,a2,a3にiの値を、b1,b2,b3にjの値を入れてあげると、


i x j = ( 1, 0, 0 ) x ( 0, 1, 0) = ( 0*0-0*1, 0*0-1*0, 1*1-0*0 ) = ( 0, 0, 1 )

となります。


kのときでも同様に値を代入していけば求まるかと思います。

id:moon-fondu

なるほどです、「外積の向き」は、「右ネジが進む方向」ですね。

いやはやでも、ここから「ixj = k」「ixk = -j」と、showyouさんのように導くには、かなり鍛錬が必要そうですね・・・(^_^;)

立方体をイメージすればいいのですか・・・う~ん、ちょっとまだうまくイメージできないですね(>_<)

i=(1, 0, 0)、j=(0, 1, 0)、k=(0, 0, 1)

になる理由は、rsc96074さんが貼り付けてくださった

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/vector/henkan.cgi?tar...

を読んで理解できました。

成分を使ったものは、

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch03/senkeikika/nod...

を読んで、なんとなくわかりました(@_@;)

2010/06/17 22:03:28
id:taka-hr No.2

taka-hr回答回数57ベストアンサー獲得回数42010/06/15 03:57:55

ポイント30pt

外積の定義を元にして計算してみればカッコ内は普通に埋めることもできると思います。

まず、軸方向の単位ベクトルということなので

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

で、外積の成分は

(a1, a2, a3) × (b1, b2, b3) = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1)

なので、

i × i = (0 * 0 - 0 * 0, 0 * 1 - 1 * 0, 1 * 0 - 0 * 1) = (0, 0, 0)

i × j = (0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0) = (0, 0, 1) = k

i × k = (0 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 1 * 1, 1 * 0 - 0 * 0) = (0, -1, 0) = -j

になってます。あとは同じように計算するだけ。


図形的な意味としては、

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/vector/henkan.cgi?tar...

ここの図がわかりやすいと思います。今回の問題ではすべて直交する

ベクトルなので sinθ = 1, |i| = |j| = |k| = 1 になります。

このため、ベクトルの大きさ(絶対値)はどの組合せも 1 になります。


ベクトルの方向については、以下の記述をもとに考えます。

ベクトルの向きは、 a→ と b→ に垂直で,a→と b→ の始点を重ね

a→ を180°より小さい角度で b→ に重ねるために始点を回転の中心として

回転させる方向に右ネジを回した時に右ネジが進む方向である


図の青いベクトルを x軸方向と考えて i, 緑のベクトルを y軸と考えて j,赤いベクトルを z軸方向と考えて k におくと i × j = k になることもわかります。


同様にして、i × k を考えると、青いベクトルから赤いベクトルまで右ねじで回すためには、緑のベクトルと逆向きのベクトルになります。つまり、i × k = -j ということになります。


また、同じベクトルどうしの外積(i×i, j×j, etc..)の場合には、sinθ = 0 になるので、必ず 0 ベクトルになることも図形的に説明できます。

id:moon-fondu

ありがとうございます。

リンク先の図とtaka-hrさんの説明を参考に、空間的なイメージを把握しようとしたのですが・・・まだちょっとイメージがつかみきれませんでして・・・(>_<)

「a×b=|a||b|sinθ」という定義から、「ixj = k」になるのは理解できるのですが・・・あっ、でも定義が大事ですよね、「直感的に理解できない」という個人的なわがままは、数学の世界では通用しませんよね・・・(^_^;)

「i×k=-j」になるのは、「青いベクトルから赤いベクトルまで右ねじで回すためには、緑のベクトルと逆向きのベクトルになる」というのをイメージすればよいみたいで。

つまり、kを12時(の方向)のベクトル、iを4時のベクトル、jを2時のベクトルとすると、「-j」になるということは、右向きに考えると、i(12時)とk(4時)のあいだ、8時のベクトルとなるということであり、ちょうど8時のベクトルが位置するところは、2時の真向かい、「-b→」である・・・という感じでしょうか?

でもちょっと待ってください。右向きで考えたとしても、4時のi、12時のk、これらを掛け合わせたものは2時のjに、なるのではないでしょうか?どうして、8時の-jに、なるのでしょうか?

すいません、自分勝手な時計の喩えをしてしまったのですが、「どうしてi×jは、jではなく-jになるのか」について、よろしければ再度アドバイスいただけないでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)

2010/06/17 22:02:36
id:rsc96074 No.3

rsc回答回数4391ベストアンサー獲得回数4022010/06/15 06:55:50

ポイント50pt

 答えは、こちらです。

------------------------------------

i×i=0   i×j=k   i×k=-j

j×i=(-k) j×j=(0) j×k=(i)

k×i=(j) k×j=(-i) k×k=(0)

------------------------------------

 理由は、こちらに図入りで空間的に説明されています。ただし、↑e1=i、↑e2=j、↑e3=k。

●基本ベクトルにおける外積

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/vector/henkan-tex.cgi...

 それから、i=[1,0,0],j=[0,1,0],k=[0,0,1]として、

代数的な定義↑a×↑b=[a1,a2,a3]×[b1,b2,b3]≡[a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]を使って、成分で表しても出来ます。

●外積 [物理のかぎしっぽ]

http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/restudyVector2/#id13

 憶え方は、

・同じものは、0

・異なるものは、ij、jk、kiのように、輪環の順になっているものは「+」残りのもの、なっていなければ、「-」

●中学数学 高校数学 式の計算 式の展開

「輪環の順」とは、a→b→c→a→b→c→‥のように回転していく方向に文字を並べることです。

上の例では、a→b→c→a→b‥という具合です。

http://math.mathabi.com/Mmhbk/Vol047/Vol047.htm

※参考URL

●外積

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/vector/henkan-tex.cgi...

●外積の定義と基本性質

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch03/senkeikika/nod...

●[PDF] 第4章 外積の定義と計算

http://www16.ocn.ne.jp/~suuri/lecture-seniorbasic/lecturenotes-2...

id:moon-fondu

ありがとうございます。

成分を使う方法は、なんとなく理解できました!

参考リンクもすごく参考になりました。

「外積は右手系しか使わない」というのも、はじめて知りました。

添付していただいたpdfファイルによると、x軸が中指、y軸が親指、z軸が人差し指ですね。

2010/06/17 22:02:43
id:showyou No.6

showyou回答回数96ベストアンサー獲得回数102010/06/18 00:54:09ここでベストアンサー

ポイント100pt

ちょっと分かりにくかったと思いますので(まだ分かりにくいとは思いますが)補足説明をします。


まず右ねじは右利きが回しやすい方向(=時計回り)に回すと奥に進むようになってます。


それを踏まえた上で。

showyou's fotolife - 20100618004721

まず、i x j の場合、iの方からjの方に向かってネジを回すと、原点に置かれたネジは奥(図でいうと上)のほう、つまりkの方向に進んでいきます。よって答えはkになることがわかります。

一方で j x i の場合は、この図でjからi方向に向かってネジを回す、つまり緩める方に回すので、ネジは手前(図で言うと下)の方、つまり-kの方に向かって進んでいきます。よって答えは-kになります。


>i=(1, 0, 0)、j=(0, 1, 0)、k=(0, 0, 1)

これはtaka-hr の答えにもある通り、

軸方向の単位ベクトルということなので

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

ということで定義みたいなものです。

id:moon-fondu

ありがとうございます、わざわざ添付ファイルも作っていただけるなんて(>_<)

作っていただいたファイルと、showyouさんの解説を読むと、すごく空間的なイメージが掴めました!

jからiは、確かに「ねじを緩めて」いますね!ねじを締めるのではなく緩める、だからマイナスなのですね~(^_^;)

2010/06/20 02:18:55
id:taka-hr No.7

taka-hr回答回数57ベストアンサー獲得回数42010/06/19 10:41:59

ポイント30pt

2時とか4時とかという表現からちょっと気になったのですが、紹介したURLについても立体をイメージしてくださいね。

青いベクトルが手前に伸びている立方体を想像してください。青赤、青緑、赤緑はそれぞれ立方体の面なので直交しています。

この立体を、青いベクトルが赤いベクトルに重なるように回すのです。サイコロだと思うならば緑のベクトルを軸にして手前をもちあげて奥に倒せばいいことになります。

これは、右側のほう(緑の矢印の先のほう)からねじをさしこんで緑の矢印の根元を向く方向に置いて、そのねじを右のほうからドライバーで回すと、青いベクトルは手前から奥に回って、赤いベクトルに重なったということになります。

これを反対側からみても、左回りになってしまうのです。もちろん右回りでも遠回り(サイコロを3回倒す)すればたどりつくのですが、「180°より小さい角度で」という条件に反することになります。

アニメーションつくったほうがいいんでしょうかw 3D液晶の出番かもww

id:moon-fondu

そうですね、私が言ってる時計は二次元の世界ですよね・・・3D液晶は問題なかったです(^_^;)

showyouさんの解説で、なんとなくイメージが掴めました!

2010/06/20 02:20:26
  • id:rsc96074
    >添付していただいたpdfファイルによると、x軸が中指、y軸が親指、z軸が人差し指ですね。
    これは、次の順じゃなかったでしょうか。
    x軸、y軸、z軸→親指、人差し指、中指
    つまり、
    x軸が親指、y軸が人差し指、z軸が中指
    じゃないでしょうか。(^_^;
  • id:moon-fondu
    言われてみれば・・・そうですよね・・・(^_^;)
    空間的なイメージがまだまだ未熟ですね・・・アドバイスいただき、ありがとうございます!
  • id:showyou
    taka-hr「さん」が抜けてました。ごめんなさい。

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