ノートパソコンにアナログジャックの小型スピーカーを付けて音をならしたいと思っています。スピーカーの出力が足りるかどうかは別にして、どうしてもソースの出力が小さいためスピーカー側でアンプ機能がないと大きな音声出力ができません。

音声チャットの音声をあげたいと考えています。

実際に出てくる音自体はアナログであって、ソフトで上げられるのは限界があります。
あくまでアナログアンプの出力ワットで音量が決定します。
ノートPCに内蔵されているアンプは、せいぜいヘッドホンを駆動する程度です。
mp3ファイルなどで元の音量設定を一定まであげる事はできますが、オンラインで来るようなサウンドデータは、ボリュームコントロールで該当入力デバイス（waveとか）を最大にする以上はできません。
ボリュームコントロールや本体の音量を最大にする事が、本体のアンプを最大で駆動する事になるのでそれ以上は不可能です。
スピーカーを接続するコネクタは合っていますか？
line出力などはインピーダンスがスピーカーとは違いますので、アンプ無しのスピーカーへ繋いだ場合は音量が極端に落ちます。
また、ヘッドホン端子はあくまでヘッドホン用なので、そもそも出力が抑えられている可能性があります。
これは現物の抵抗などによるものなので、PCを解体して改造すれば、もしかしたら、、、
もっと音量が出るかも？しれません。
（可能性としては低いですけどね）

まあ、要するに無理なものは無理なのです。
10インチのネットブックで、画面が小さいからモニタそのものを14インチにしたいと言っているようなものなのです。
（絶対不可能じゃないですけどね、14インチの液晶パネルを買ってきて、ヒンジを改造したり配線を工夫すればできなくはないかと、、）

まずは、PCの音量設定と音声チャットに使用しているソフトの設定が適切か確認してみてはいかがでしょうか？
PCのOSとチャットソフトは何ですか？

音源のレベルに合わせてボリウムを自動調整するフリーソフトでいいのかな？