任意の角度をN(任意の整数)等分する方法を考えてください。

但し分度器や高度な機器は使わない、紙、鉛筆(=筆記具)、(特殊でない)定規
簡単な方法に限定します。
不可能と考える方はその理由を書いてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2010/07/06 19:42:09
  • 終了:2010/07/11 14:19:36

ベストアンサー

id:TREEG No.1

TREEG回答回数255ベストアンサー獲得回数342010/07/06 19:49:48

ポイント100pt

質問を取り間違えていたらすみません。

何を当分するのか分かりませんが、例えば、折り紙、

この角を1回折り曲げれば45度、2回でその半分と、当分出来ると思います。

コンクリートなどの角を当分したければ、その形を紙で型どり、上記のように折り曲げたものの線を上からなぞれば等分できると思います。

id:YAMADAMAY

素早い回答、ありがとうございます。

「コンクリートなどの角を当分したければ、その形を紙で型どり、上記のように折り曲げたものの線を上からなぞれば等分できると思います。」・・・方法の考え方は正しいです。この方法を応用すれば(糸や、紙を使って)任意の角は当分できますね。(当然、コンパスや直定規は使っても良いです)

2010/07/11 13:25:12

その他の回答(5件)

id:TREEG No.1

TREEG回答回数255ベストアンサー獲得回数342010/07/06 19:49:48ここでベストアンサー

ポイント100pt

質問を取り間違えていたらすみません。

何を当分するのか分かりませんが、例えば、折り紙、

この角を1回折り曲げれば45度、2回でその半分と、当分出来ると思います。

コンクリートなどの角を当分したければ、その形を紙で型どり、上記のように折り曲げたものの線を上からなぞれば等分できると思います。

id:YAMADAMAY

素早い回答、ありがとうございます。

「コンクリートなどの角を当分したければ、その形を紙で型どり、上記のように折り曲げたものの線を上からなぞれば等分できると思います。」・・・方法の考え方は正しいです。この方法を応用すれば(糸や、紙を使って)任意の角は当分できますね。(当然、コンパスや直定規は使っても良いです)

2010/07/11 13:25:12
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4392ベストアンサー獲得回数4022010/07/06 20:30:55

ポイント18pt

 できません。理由は、特殊でない定規とコンパスだけでは、任意の角の三等分が出来ないからです。

 でも、特殊な定規(たとえば、目盛り付き定規)を用いれば角の三等分は出来ます。

※参考URL

●[PDF] 角の三等分 (05卒論kurano.pdf) - 2005 年度蔵野ゼミ卒業論文

http://www.math.meiji.ac.jp/new/images/05kurano.pdf

●[PDF] こんなのです - 作図不能問題?任意角の三等分について y = 1 3 x

http://blog.pahko.jp/inner_link/3divide.pdf

●角の3等分線 PDF - SCORE

http://www2.score.cs.tsukuba.ac.jp/8b1b6f148cc76599/4eac90fd5927...

id:YAMADAMAY

ありがとうございます。頭、固いですね。入社試験に出れば点は得られないと思います。

数学は、既存の理論などを理解する事が大事ですが、それだけではだめです。本質を見際得て応用できる力を持たなければ。

2010/07/11 13:30:00
id:seble No.3

seble回答回数4675ベストアンサー獲得回数6172010/07/06 21:05:17

ポイント17pt

図面上なのか現場なのかで多少変わってくると思いますが、

その特定の角度の円周上(つまり中心からは同じ長さ)の2点間に直線を引き、その長さを等分した点と中心を結べば、等分でも不等分でも作れます。

id:YAMADAMAY

ありがとうございます。直線を等分しても、目的の角の等分にならないことはご存知無かったですか。

その角度二相当する円周の長さを等分する方法がポイントです。

2010/07/11 13:34:08
id:taknt No.4

きゃづみぃ回答回数13539ベストアンサー獲得回数11982010/07/06 22:07:34

ポイント10pt

不可能です。

理由は、Nに制限がないからです。

たとえば Nが 1000だったりした場合、1度以下で 等分することになります。

これは、実質的に無理です。

id:YAMADAMAY

ありがとうございます。頭、固いですね。『たとえば Nが 1000だったりした場合、1度以下で 等分することになります。』とありますが

Nの大きさは関係ないでしょう。例えばNが7ならば出来る方法をご存知ですか?、

またまたもとの角の大きさも関係ないでしょう、小さければ2^M(Mは正整数)倍にして、N等分してから再度1/(2^M)すれば良いでしょう。

2010/07/11 13:44:21
id:kurupira No.5

kurupira回答回数2369ベストアンサー獲得回数102010/07/07 11:52:44

ポイント15pt

180度以内なら同じ長さの両側どうしを直線で結び、その線をN等分して中心と結びいます。

id:YAMADAMAY

seibleさんと同じコメントで申し訳ありませんが。

ありがとうございます。直線(円弧)を等分しても、目的の角の等分にならないことはご存知無かったですか。

その角度に相当する円周の長さを等分する方法がポイントです。

2010/07/11 14:15:00
id:MrA No.6

鍋うどん回答回数28ベストアンサー獲得回数02010/07/08 13:00:40

ポイント20pt

任意の角をN等分するには分度器を使用するなどの何か基準となるものが必要だと思います

紙や筆記用具では基準になりませんし普通の定規でも角の基準とはなりません

ですが紙を折ればある程度何とかなるのではないでしょうか

正確性には欠けますがある程度はこれで対応できるかと

id:YAMADAMAY

回答ありがとうございます。TREEGさんの回答を参照ください。

要はその角度に相当する円周の長さを等分する方法がポイントです。

(任意の長さを任意等分できる方法を知っているとして)

1・角度分の円弧長さを紙や糸に写し取る。

2・その長さを等分する。印をつける。

3・その印を元の図形に写す。勿論、1で円弧の長さを写し取った時と同じく、正確に円弧に沿うこと。

2010/07/11 13:56:28
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/07/06 19:52:39
    使用器具(道具)の記述を「紙、鉛筆(=筆記具)、(特殊でない)定規」できってしまいましたが「紙、鉛筆(=筆記具)、(特殊でない)定規等」です。勿論、ハサミや糸、接着剤、金槌、鋸、鉋、ドライバー、照明などもOKです。(使うかどうかは勝手です)
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/07/06 20:05:21
    TREEGさん、瞬間的な回答を頂いてありがとう御座います。私の訂正コメントより早いとは驚きました。
    恐らく素晴らしい考えだと思いますが、ここで開いては後の方が回答する気を無くしても良くないし、もう少しいろいろな方のアイデアを見てみたいので、開けるのは少し待ってください。
  • id:seble
    もしかして子供限定だった?
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/07/07 13:04:34
    sebleさん、子ども限定では有りません。しかし、「頭の固い大人」より『柔軟な頭の人」の方が良い考えが出るでしょうね。
    答えは厳密性を要求しますが、その手法は厳密性を要求しません。
    (例えば「線」は太さの無いモノとしますが、太さの無い線を引ける技術が有るかどうかは問題にしません。・・・「引けるものと仮定する」ですます。)
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/07/11 14:11:35
    大体、思った通りの回答が多かったみたいです。
    「いるか」を沢山獲得している方が多かった割には「頭の固い人」が多かったことにはガッカリしました。
    回答が6ですので送るべきポイントの平均点は18点ですが、18点が0点と考えてください。
    参考になるURLを沢山ちけていただきました。感謝します。
    数学は、定理や理論の鵜呑みだけでなく、もう少し現実に即した応用力を付けてください。
  • id:MrA
    鍋うどん 2010/07/11 14:23:10
    う~んそういうやり方があったのか...
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/07/11 14:34:26
    sebleさん、kurupiroさん なぜ、貴方たちの回答では正しく角の等分が出来ないかはrsc96074さんがw分かり易いURLを付けていただいていますので、そちらを参照されることをお勧めいたします。
  • id:seble
    あああ、
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/07/11 16:33:43
    最初にお詫び、前コメント中[kurupira]さんの名を[kurupiro]さんと謝ってしまいました。
    「任意角のN等分」問題についてはrsc96074さんが付けていただいたURLの様な論文などの「誤解」よって広がったモノかとおもいます。
    この論文の表題の様に「角の三等分の作図が不可能であることを、
    高校生にもわかるように解説する試み」を内容を理解せず、表題をそのまま理解しているのではないでしょうか?
    内容には
    『そして定木とコンパスだけで体積が2倍の立方体を作図する問題が、未解決問
    題として残ったのです。この問題は、デロス問題とも呼ばれています。ギリシアの
    人々はこのデロス問題を含めた次の3つの問題(ギリシアの三大作図問題) に興味
    を持っていたようです。

    1.立方体倍積問題=デロス問題与えられた立方体の丁度2倍の体積を有する立方体
    を作れ。
    2.円積問題与えられた円と同じ面積を有する正方形を作れ。
    3.角の三等分問題任意に与えられた角を三等分せよ。』の様にあり、作図条件として「定木とコンパスだけで」が落とすべきでないのです。
    実際、分度器やトランシットなどの精密測量機器を使えば、近似的に等分は出来るわけですから。(だから、今回の条件から外したのですが)
    分度器や精密測量機器を使うことが「数学的解決か」といわれれば、「そうでもあり、そうでない」と答える事になりますが、私がMrAさんへの返信に書いた「円弧の長さを他の(糸など自由に曲がる)道具に写し、線長を等分下の地、元の円弧に戻す」方法は簡単に考えられることです。sebleさんが『子ども限定』かとコメントされましたが、思考レベルはそれほどです。でも、殆どの方は答えられませんでした。誤った回答をされた方もいますが、(ギリシアの三大作図問題)と誤解されてた方もありました。私は『作図条件として「定木とコンパスだけで」』とは書きませんでした。恐らく高校や中学の数学の先生に同じ問題を出しても『「不可能」==>証明あり』がかなり有るとおもいます。数学の先生が数学的に考えなくなっているのです。
    上に書いた方法(円弧長さに転写)のほかに任意角のN等分の方法(道具)を紹介します。(元の角度が90度までですのでそれ以上は半角、1/4角などにして後で2倍、4倍などに直してください。また小さすぎる場合はその逆を行ってください。なお操作上に生じる誤差は無いことにします)
    1.上辺(A)と下辺(B)に長さが十分な真直ぐな直定規を用意。2つは角度が自由になるよう丁番(ねじなど)で留めます。
    2.Aに丁番位置からLの位置にLの長さの棒(a)を丁番で付けます。
    3.BでスライドするようLの長さの棒(b)と(a)の他端を丁番で付けます。
     3-1.次にAでスライドするよう(b)の他端を丁番で付けます。
     3-2.Bと(b)の角度を目的の角度に合わせます。・・・AとBの交差する角度が元の1/3の角度になります。
    4・次にAでスライドするようLの長さの棒(c)と(b)の他端を丁番で付けます。
    5.次BでスライドするようLの長さの棒(d)と(c)の他端を丁番で付けます。
     5-1.次にAでスライドするよう(d)の他端を丁番で付けます。
     5-2.Bと(d)の角度を目的の角度に合わせます。・・・AとBの交差する角度が元の1/5の角度になります。
    このように1,2,3で3等分、4,5で5等分、同じ操作を続ければ7等分、9等分、11等分が出来る道具が出来ます。


  • id:seble
    2等分なら俺の方法でOKだな(く、くるしい)
    半径を1パーセク以上にすればほぼ誤差の範囲でokだな(息できねぇ、w)
  • id:taknt
    厳密に考えたら無理なんだよなぁ。
    ま、テキトーにやるならば できるけど。

    たとえば 10度の角度を きちんと3等分できますか?

    できないでしょう。

    きちんとできるように見えるけど、実は 少しは 誤差が生じてしまうのです。

    また たとえば 8度の角度を 7等分するなら どうするんですか?
    これが 簡単にできるんですか?

  • id:kuro-yo
    今回の問は、実用上、無視できる程度の誤差で作図する方法を問うているのだと思いますよ。
    実のところ、製図では作図する方法があるようですし。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/07/12 09:11:45
    kuro-yoさん、『実用上、無視できる程度の誤差で作図する方法』でなく、理論上、誤差の無い方法です。実用上誤差を少なくするのに努力が要ります。
    kurupiraさん、再度訂正です。あなたの回答に対して『直線(円弧)を等分しても』でなく、『直線(弦)を等分しても』の誤りでした。
    下記のURLに「角の3等分」の方法の図がありました。
    1は私が角を等分する道具に使った方法と同じです。(7等分位まではスムーズに動くのですが、それ以上にはよっぽど精密に作らないと、動き難いです)つまり、二等辺三角形で構成されたトラス構造です。
    (1)http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/trisect.html
    2は折り紙を使う方法です。つまり紙は2次元空間だけでなく3次元空間を通る事ができる事を利用しています。
    (2)http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/angle.htm
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/07/12 11:32:43
    全くの「蛇足」ですので、読み流してください。
    『パーセク(parsec, 記号:pc)は天文学で使われる距離を表す単位である。1981年までは天文学の分野に限り国際単位系(SI)と併用して良い単位とされていた。

    年周視差が1秒角となる距離が1パーセクとなる。すなわち、1天文単位(AU)の長さが1秒角の角度を張るような距離を1パーセクと定義する。1パーセクは約3.26光年、約206,265AUになる。』と有りますので、『半径を1パーセク以上にすればほぼ誤差の範囲でokだな』でも、まだ苦しいです。角度の問題ですので「1秒角」ならば問題なくOKでしょうね。
    皆さん、お騒がせしました。良い案(面白い事)や、ご指摘があれば今後も宜しくお願いします。
  • id:rsc96074
     そういえば、この本のアルキメデスのところに(p.129)似たような方法が書いてありました。「ネウシス」というそうです。
    ●ブルーバックス 数学を築いた天才たち(上) ギリシア数学からニュートンへ
    http://shop.kodansha.jp/bc2_bc/search_view.jsp?b=1329898
    ※参考URL
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E8%A6%8F%E3%81%A8%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%B9%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E4%BD%9C%E5%9B%B3#.E7.9B.AE.E7.9B.9B.E3.82.8A.E4.BB.98.E3.81.8D.E5.AE.9A.E8.A6.8F.E3.81.AE.E4.BD.BF.E7.94.A8

  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/07/12 12:20:49
    kuro-yoさん、『実用上、無視できる程度の誤差で作図する方法』での正多角形の作図法を思い出しました。
    1.正三角形を描きます。(辺長をLとします)
    2.辺を6等分します。(L/6を作る)
    3.正三角形の頂角から(底辺に垂直に)まっすぐ上へ線を延ばす。
    4.2で作ったL/6を1単位(1a)として3の垂線に頂点から加えます。7ならば1a,9ならば3a(=つまり√3L/2+3aの高さ)
    5.延ばした点を中心に底辺の一端との距離を半径として円を描きます。(詳しくは計算してください)
    6.円周をLで(コンパス・ディバイダー)分割します。
    7.不思議な事に、ほぼ正多角形になります。
    8.誤差が大きい時は、脚の開き具合を調節して再度、挑戦。
    ・・・これが図学の授業で習った「簡易正多角形の作成方法」です。
    これで、正61角形や、正67角形を作っていた人がいました(大抵の人は正64角形)。課題はその中に「対角線」を描く事でしたので、歪んだ正多角形はその中心に歪が拡大されますので、一目瞭然。何度も一からやり直し。私も苦労しました。

  • id:seble
    そうですね。
    角度が大きくなると苦しくて息ができません。
    では、
    2等分を繰り返して小さな角度を作り、それを組み合わせる事で任意の分割ができます。
    端数は誤差として無視。
  • id:taknt
    問題を正確にとらえて 抜けがないように回答したのに 頭が固いとは ひどい話だ。

    誤差なんて 気にしないで テキトーに回答すれば 柔軟と言えるのか?

    不可能ならば不可能と言える要素を述べよというから ま、現実的に不可能な要素を述べたのに
    そんなの誤差だから いいんだよと言われても じゃ なんなんだ この問題は?
    となってしまう。

    ま、最初から 誤差は 気にしないでいいですと書いてあれば、誤差による不可能は 考えないんだけどな。
    どう見ても 誤差とか 現実的に難しい要素が あるから それ以上は 考慮しなかっただけの話。

    >Nの大きさは関係ないでしょう。例えばNが7ならば出来る方法をご存知ですか?、
    Nが1000とか一万、一億など 大きな数の場合、正しく等分できのたかみるにはどうするのか?ということなのに
    なぜ 7?

    まず、このNの数が かなり大きい場合に対して きちんと等分できたのかを表示してみせられないだろうから こういう指摘をしただけなのだ。

    とりあえず 誤差は 気にしない問題のようでしたので、そんなことは 関係ないみたいでしたけどね。






  • id:kuro-yo
    > kuro-yoさん、『実用上、無視できる程度の誤差で作図する方法』でなく、
    > 理論上、誤差の無い方法です。実用上誤差を少なくするのに努力が要ります。

    負け惜しみのようで恐縮ですが(笑)
    計算上の(この場合はこの言い方が適当かと)誤差があったら、
    いくら努力しても実用上の誤差が発生すると思います。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/07/12 18:42:31
    kuro-yoさん、計算上や理論上は「誤差」を生じないはずです。円弧長を他の物に写して、正確に分割し、再度元の対象に写す作業ですから。
    只、実作業上で線の太さ(この場合線の幅の中心=幅が無い=を線と見なす)、視差、慣れ等がありますので、そこで誤差は生じます。だから、「実用・実行上の誤差」を少なくする努力と言っているのです。
    例えば、計算上10cmのところに点を打つと言っても面積の無い点は打てないでしょう。しかし点は存在はあるが大きさが無いものです(数学上の規定)。ならば大きさの無い点は、その存在が認められないのかと言えばそうではありません。まず、白い紙に赤の絵の絵の具で太い線を引きます。絵の具が乾いた頃に、それに交差するよう、今度は青い絵の具で太い線を引きます。赤と白い紙の境が数学的な幅の無い線(A)です。また、青と白い紙の境が数学的な幅の無い線(B)です。AとBの交差する所が存在はあるが大きさがない数学的な点です。プロフィールを見ましたが、数学科を卒業なさっているのならば、それくらいは判断できると思いますが。知識の応用が無ければ、ただの「数学屋」になりますよ。「論語読みの論語知らず」にならない事を祈ります。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/07/12 20:26:16
    kuro-yoさん、理論上の「誤差」を生じない理由は前のコメントに書いた通り(理論と言える部分が殆ど無い)ですが、「計算上の誤差があったら」の語句がきになりました。計算する必要がないのに計算上の誤差が生じる訳が無いのに。もしかしたら、線分の長さを等分する操作で目盛り付きの定規を使い、計算機・筆算などで割り算を使おうとしてませんか?。等分にする時は直定規で平行線を引くとかで直接等分する方法等を行ってください。例えば10√2を10等分するときに物差しの目盛りを使っては正確に等分しにくい事はわかるでしょう。
    前記のコメント内、「点の定義=位置が有るが、大きさが無い」の方が分かり易いでしょうか?
  • id:kuro-yo
    私は、YAMADAMAYさんの主張に対しては、何も否定していませんけど。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/07/13 08:37:31
    kuro-yoさん、不愉快な思いをさせてしまってすみませんでした。否定されているとは感じていません。小さなことでも根本問題だと思ったとき、自分では議論を深めているつもりになって、相手の状況や気持ちを考えずに、徹底的に意見を押し付けるのが、私の悪い癖です。自重をしているつもりですが、時々その正確が出てしまいます。改めてお詫びいたします。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/07/13 12:02:31
    訂正、①
    先に送ったコメント中、最終行 「正確が」は「性格が」です、誤変換です。
    訂正② 折り紙を使った方法を紹介した下記のURLは私の作図ミスかもしれませんが、3等分はできませんでした。皆さんで確認いただければ幸いです。
    2)http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/angle.htm
    ∠PCFを3等分する図なのですが、∠A’CB’と∠B’CC’は等しいが∠C’CFはEの高さで決まるので3等分にはならない。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2010/07/13 13:45:24
    rsc96074さん、ありがとうございます。7月12日12時前に戴いたコメントをみました。有用なURL参考にさせて、勉強させていただきます。質問の仕方が悪かったので、誤解をされた方が有った事を皆さんにお詫びしなければなりません。しつこいのですが、私の趣旨としましては、「分度器系(簡易角度測定器・精密測量器等)を使わないで、任意角度の、N(正整数)等分を考えて」と言う事で、かなり有ると思ったのです。私が最初に示した「円弧の転写・分割・再転写」の方法は、幼稚すぎると感じられたかもしれません、sebleさんの最初のコメントも「いくらなんでも、それは無いだろう(小学生レベルでは)」言う疑問だと思います。kuro-yoさんの「誤差」の懸念も理解できます。しかし、紙を2等分するには「端を正確に重ね合わしておる」と言う考えに誤差はありませんが、手を使っても機械を使っても誤差が出ることを考えなければなりません。また4折、8折・・とすると紙厚、堅さ等まで考慮する必要が有ります、また、トランシット(精密測量機器)を使っても任意角(例えば100度)を11等分しようとしても、度分秒では正確に表せません、角度はアナログ値を取れますが、表示はデジタル値やメモリになり、近似値を表すからです。また、操作者の体重で機器の支持体が歪んだり、重力が及ぼす機器自体の重量の影響が有ります。しかし、数学の理論的には考慮してないとおもいます。ではどこで(できるだけ)正確に紙の実物を4等分、8等分するかと言えば、手順や、工法、機械の特性、慣れを解析して改良をしていくのだと思います。。そこが「理論上の誤差」と「操作・工程上の誤差」を区別しなければならないと思います。私が余談でkuro-yoさんのコメントにかいた、正N角形の作図法は(正6角形を除いて)理論的にも「誤差」があります。

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  • メモ question:1278412927 のコメントを伸ばすのもどうかと思ったので、こっちに。 もともとは、takntさんのコメントに対して、そんな状況はとりあえず考えなくていいのじゃないか、くらいの
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