解析幾何学の単元で出てきたのですが・・・


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問:楕円の互いに平行な弦の中点は中心を通る同一直線上にあることを示せ。
------------------------------

という問題で、頭を悩ませております。
あまりにもざっくりとした問題で、どう解けばよいのか・・・(>_<)
解き方をご指導いただければ幸いです。
よろしくお願いします<m(__)m>

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/07/13 08:17:15
  • 終了:2010/07/19 23:49:21

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4359ベストアンサー獲得回数3982010/07/13 20:09:58

ポイント100pt

 楕円の一般形は、x^2/a^2+y^2/b^2=1ですが、後の計算を楽にするために、両辺にb^2をかけて、

(b^2/a^2)x^2+y^2=b^2

A=b^2/a^2>0, B=b^2>0と置き換えて、楕円の一般形を次のようにおくことにします。

 Ax^2+y^2=B・・・①

 また、弦がy軸に平行なときは、中点はx軸となって明らかで、弦がx軸に平行なときも中点はy軸となって明らかだから、弦の直線を傾きm≠0、y切片tとして、

 y=mx+t・・・②

とおいて調べてみることにします。

①②から、yを消去して、

 Ax^2+(mx+t)^2=B

∴(A+m^2)x^2+2mtx+(t^2-B)=0・・・③

 2交点のx座標をα、βとすると、α、βは2次方程式③の2解であるから、

 α+β=-2mt/(A+m^2)

 中点Mの座標をM(X,Y)とすると、

 X=(α+β)/2=-mt/(A+m^2)・・・④

②④から、

 Y=mX+t=m{-mt/(A+m^2)}+t={-m^2*t+At+m^2*t}/(A+m^2)=At/(A+m^2)・・・⑤

④から、

 -X/m=t/(A+m^2)・・・⑥

⑤から、

 Y/A=t/(A+m^2)・・・⑦

⑥⑦から、

 Y=-(A/m)X

 したがって、中点M(X,Y)は、y切片tの値に関係なく常に定直線

 Y=-(A/m)X

上にある。

※参考URL

●楕円と直線の関係のちょっとした小手技

http://izumi-math.jp/F_Nakamura/kotewaza/ball/ball.htm

id:moon-fondu

すいません、すごく初歩的な質問かもしれず、申し訳ないのですが、rsc96074さんのご回答の中で、

--------------------

2交点のx座標をα、βとすると、α、βは2次方程式③の2解であるから、

 α+β=-2mt/(A+m^2)

--------------------

となっているのは、どうしてなのでしょうか?

③式を導いた段階で、αとβの解は、判明しているのでしょうか!?

2次方程式の解の公式とかと関係があるのでしょうか・・・お手数おかけしますが、もしよろしければ、再度ご回答いただければ幸いです(>_<)

よろしくお願いします<m(__)m>

2010/07/15 00:33:35

その他の回答(4件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4359ベストアンサー獲得回数3982010/07/13 20:09:58ここでベストアンサー

ポイント100pt

 楕円の一般形は、x^2/a^2+y^2/b^2=1ですが、後の計算を楽にするために、両辺にb^2をかけて、

(b^2/a^2)x^2+y^2=b^2

A=b^2/a^2>0, B=b^2>0と置き換えて、楕円の一般形を次のようにおくことにします。

 Ax^2+y^2=B・・・①

 また、弦がy軸に平行なときは、中点はx軸となって明らかで、弦がx軸に平行なときも中点はy軸となって明らかだから、弦の直線を傾きm≠0、y切片tとして、

 y=mx+t・・・②

とおいて調べてみることにします。

①②から、yを消去して、

 Ax^2+(mx+t)^2=B

∴(A+m^2)x^2+2mtx+(t^2-B)=0・・・③

 2交点のx座標をα、βとすると、α、βは2次方程式③の2解であるから、

 α+β=-2mt/(A+m^2)

 中点Mの座標をM(X,Y)とすると、

 X=(α+β)/2=-mt/(A+m^2)・・・④

②④から、

 Y=mX+t=m{-mt/(A+m^2)}+t={-m^2*t+At+m^2*t}/(A+m^2)=At/(A+m^2)・・・⑤

④から、

 -X/m=t/(A+m^2)・・・⑥

⑤から、

 Y/A=t/(A+m^2)・・・⑦

⑥⑦から、

 Y=-(A/m)X

 したがって、中点M(X,Y)は、y切片tの値に関係なく常に定直線

 Y=-(A/m)X

上にある。

※参考URL

●楕円と直線の関係のちょっとした小手技

http://izumi-math.jp/F_Nakamura/kotewaza/ball/ball.htm

id:moon-fondu

すいません、すごく初歩的な質問かもしれず、申し訳ないのですが、rsc96074さんのご回答の中で、

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2交点のx座標をα、βとすると、α、βは2次方程式③の2解であるから、

 α+β=-2mt/(A+m^2)

--------------------

となっているのは、どうしてなのでしょうか?

③式を導いた段階で、αとβの解は、判明しているのでしょうか!?

2次方程式の解の公式とかと関係があるのでしょうか・・・お手数おかけしますが、もしよろしければ、再度ご回答いただければ幸いです(>_<)

よろしくお願いします<m(__)m>

2010/07/15 00:33:35
id:yukimochiduki No.2

yukimochiduki回答回数15ベストアンサー獲得回数12010/07/14 20:46:03

わからないです・・・

私も迷ってます

id:imo758 No.3

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192010/07/13 09:16:58

ポイント5pt

私なら、楕円の短軸を長軸と同じ長さへ伸ばし、真円にする一次変換を考えます。

真円で考えれば簡単です。

id:moon-fondu

すいません、全然イメージできなくて・・・「楕円の短軸を長軸と同じ長さへ伸ばし、真円にする一次変換」を、数式でとう表せばよいのやら・・・(>_<)

2010/07/16 05:19:51
id:syntaxerror No.4

syntaxerror回答回数354ベストアンサー獲得回数562010/07/13 09:21:17

ポイント60pt

こんな感じではないでしょうか?


  • 楕円は原点を中心として、
  • その楕円と任意の直線が交わるかどうかの条件を確認し、
  • 交わった場合の交点が2個の場合はどんな場合で、(弦が存在するかどうか)
  • 互いに平行な弦(直線)は同じ傾きであることを利用して、もう一組の交点を定義して、
  • それぞれの弦(直線と楕円の交点)の中点を計算し、
  • その2個の中点を結ぶ直線は原点を通ることを示す。
id:moon-fondu

rsc96074さんのご回答のおかげで「その2個の中点を結ぶ直線は原点を通ることを示す。」の手前までは理解できたのですが・・・結論の、

Y=-(A/m)X

で、つまづいてしまったのですね。

Y=-(A/m)X

が、「常に原点を通る」とは考えられないのです・・・Xが0のときは、Yも0なので原点を通ると思うのですが、Xが1とか2のときは、Yは0を通らないので、常に原点を通るわけではないので、「その2個の中点を結ぶ直線は原点を通る」は成り立たないと思うのですが・・・

2010/07/16 05:25:52
id:pikuminnRABU3 No.5

アイルー回答回数9ベストアンサー獲得回数02010/07/19 16:34:14

そうゆうのは自分で考えるべきだ

  • id:rsc96074
     弦の中点といえば、2次方程式の解と係数の関係です。和の方だけを用いました。厳密には、判別式から、軌跡の限界も示しておくべきですが省略しました。ほぼズバリのURLを見つけましたのでどうぞ。
    ●2次曲線に関する問題(その1)
    >例1
    http://www.cfv21.com/math/quadcvprob1.htm
     それから、私の回答の最後の方の「y切片tの値に関係なく常に定直線・・・」は、「傾きmが一定(同じ)ならば、y切片tの値に関係なく常に定直線・・・」と補った方が分かりやすいかも知れません。

  • id:moon-fondu
    ズバリのリンクありがとうございます(>_<)
    なんか解き方も、今回、rsc96074さんが回答してくださった内容と似ていますね!
    しかし、

    2次方程式の解と係数の関係
    http://www.cfv21.com/math/solcoef2.htm

    は、完全に忘れておりました・・・昔、一度はたぶん習ったと思うのですけどね・・・(^_^;)
    2次方程式の2つの解の和は、次数1の項の係数に相当するんですね~。

    Y=mX+t=m{-mt/(A+m^2)}+t={-m^2*t+At+m^2*t}/(A+m^2)=At/(A+m^2)・・・⑤

    でちょっと「あれ?」と一瞬つまづきましたが、

    {-m^2*t+At+m^2*t}/(A+m^2)
    =-m^2t/(A+m^2)+t(A+m^2)/(A+m^2)

    であることがわかり、理解できました。

    そして結論ですが・・・楕円の中心および弦の中点を通る直線の方程式、

     Y=-(A/m)X

    を求めることが、どうして「楕円の弦の中点を通る直線は、楕円の中心を通る直線でもあり、同一直線である」ということとイコールなのか、ちょっとまだ理解しきれないのですが・・・「切片tの値と関係なく」とありますが、切片tの値が一定(この場合は0ですかね?)でないと、証明が成りたたくなるような問題があるのでしょうか?
  • id:syntaxerror
    >Y=-(A/m)X
    >が、「常に原点を通る」とは考えられないのです・・・

    その式そのものはX=0(かつY=0)の時以外は原点ではありません。

    問題が求めているのは平行な2つある弦の「中点同士を結ぶ直線が原点を通る」ことであり、その直線の式が

    >Y=-(A/m)X

    なのです。原点を通るということは、X=0かつY=0の時に解が存在する必要があり、上記の式は「原点を通る傾き-(A/m)の直線」であり、それを満たしているということです。
    別の言いかたをすると、切片tを変化させた時の中点の集合が

    >Y=-(A/m)X

    である、ということになります。
  • id:rsc96074
     「切片tの値と関係なく」というのは、「切片tの値が一定」という意味ではなく、「tがどんな値をとってもいい」という意味です。というのは、得られた軌跡の式Y=-(A/m)Xにtが含まれていない(tが0になっているのじゃなくて、そもそも式中に出てこない)からです。ちなみに、一定(同じ)なのは、傾きmの方です。
     「平行な弦の中点は、中心を通る同一直線上にある」は、「平行な弦の中点は、皆、楕円の中心を通る同じ直線Y=-(A/m)X上にのっている」です。
     「互いに平行な弦」とは、「y切片は異なるが、傾きが同じmの直線」と言い換えることが出来ます。また、問題は、「この直線と楕円の2交点の中点の軌跡を求めよ」という問題に言い換えることが出来ます。
     イメージ的にはこんな感じです。
    http://f.hatena.ne.jp/rsc96074/20100716072927
  • id:rsc96074
     上のグラフを見る分かるように、y切片は、-2,-1,0,1,2と変わっても、傾きmが同じ直線が楕円によって切り取られる線分(弦)の中点は、同じ直線y=-x/4上に乗っています。
  • id:moon-fondu
    返信が遅くなってしまいすいません(>_<)

    >syntaxerrorさん
    すいません勘違いしておりました!
    私は「互いに平行な2つの弦の中点を結ぶ直線は、常に、楕円の原点を通る直線と同じである」みたいに解釈し、混乱してしまったのだと思います。
    ではなく、「互いに平行な2つの弦の中点同士を結ぶ直線は、常に、楕円の原点を通る」ですよね。

    ありがとうございます<m(__)m>

    >rsc96074さん
    イメージ図まで作っていただきありがとうございます!
    「互いに平行な弦」を、「y切片は異なるが、傾きが同じmの直線」と解釈すると、すごくわかりやすくイメージできました(^_^;)

    また、「Y=-(A/m)X」を、「2つの弦の中点の軌跡」として捉える視点も教えていただき、ありがとうございます。
    この直線は確かに、rsc96074さんが作成してくださった図のように、切片がないので常に原点を通りますね!

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