【数学】いつもお世話になっています。次の数学の問題を計算過程も含めて答えを教えてください。


あるゲームをお金をかけて行うケースを仮定します。
ゲームに勝つとその時の倍率x(x>1)に投資額を掛けた分の配当が得られ、負けると投資額は0になります。
ゲームに勝つ確率は80%であり、現在100万円の所持金があり、100円単位で投資することができるとします。

例えばゲームを1回行うにあたり、100万のうち13,200円を投資し、x=1.5の場合で、ゲームに勝った場合、結果として所持金は1,006,600円に増えます。

このとき、ゲームをy回(y=1,2,・・・)行う場合、y回目に所持金が最大になるようにするには、毎回投資すべき額は、xとyを使うとどのようになるか。


いろいろな方々からのご意見募集します。面白い答えの導き方を教えていただければ幸いです。

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  • 登録:2010/07/19 00:22:10
  • 終了:2010/07/26 00:25:03

ベストアンサー

id:ita No.2

ita回答回数203ベストアンサー獲得回数472010/07/20 18:22:22

ポイント27pt

投資として考える場合、リターンとリスクの両方を考える必要があります。

リスクをコントロールする戦略として、毎回所持金の一定割合Cを賭ける、というのを考えます。C=0なら0リスク0リターン、C=1なら毎回全額賭けのハイリスクハイリターンとなります。

一回のゲームで勝つ確率をp, 配当をr とします。

全部でN回ゲームをやるとすると、n勝N-n負となる確率は単純な二項分布で計算可能。その時のリターンは、勝敗の順番に関係なく元手の (1-c)^(N-n) * (1-c+r*c)^n 倍となります。平均のリターンは (1+c (p*r-1))^N となり、明らかにC=1の場合に最大となります。

リスクの評価として、元本割れする確率を考えます。これは二項分布の確率を加算することで数値的に計算します。N=100, p=0.8, r=1.5 の場合に、Cを0から1まで変化させて元本割れする確率をプロットすると以下のようになります。

f:id:ita:20100720181740p:image

またリスクに対してリターンをプロットすると以下のようになります。

f:id:ita:20100720181739p:image

たとえば元本割れリスクを1%以下にしたいなら C=0.25程度となり、ことときのパフォーマンスは平均で元本の100倍程度となります。

http://a

id:blue-sea

素晴らしいご回答をありがとうございました!!

2つ目の表は、どこかで見たことがあると思ったら、経済でいう限界効用曲線と似たようなものなんですね。

大変勉強になるご回答ありがとうございました。

ちなみに、このようなグラフはどうやって作成されたのでしょうか?

2010/07/24 00:38:38

その他の回答(2件)

id:windofjuly No.1

うぃんど回答回数2625ベストアンサー獲得回数11492010/07/19 01:48:50

ポイント27pt

投資しないことによって100万が保持される


80%という期待値は、勝ち負けの順番を保証するものではないため1万回連続で負けた後に4万回連続勝ちという最悪のパターンも含みます

100円の投資でスタートから連続1万回負ければ所持金ゼロとなり投資の継続は不可能となりゲームに参加することはできなくなるという事です

投資額を大きくすれば、危険性はさらに高まり、1000円投資ならば千回連続負けで終わり、10000円投資なら百回連続で終わりとなりますし、

負ければ増額という方式も負けが連続してしまえば1.5倍程度の倍率では原資の減少を加速度的に増大させるだけとなります


競馬や競輪などのギャンブルでも、百回連続で勝てないということはそうそう無いでしょうけど、

勝ち負けの順番が決まってない以上、原資がなくなってしまう可能性は否定できません

生きている間、勝ちのほうが偶然多ければ、生涯トータルでプラスになる可能性はありますが、

生きている間中どちらが多いかを求めることは出来ず、人はそれを運や運命などと呼んだりしますね


スタートの所持金が最低投資額からみて無限のようなものであり、期間も無限であるならば、上記のような心配はありませんが、

現実はいずれも有限であるため、所持金が最大になる可能性が一番高いのは投資しないこととなります


参考URLはありません

http://q.hatena.ne.jp/answer

id:blue-sea

早速のご回答ありがとうございます!

全くおっしゃるとおりですね。。 

現実的にも理論的にも、投資はリスクを伴う事実は否定できませんね。

2010/07/23 23:30:58
id:ita No.2

ita回答回数203ベストアンサー獲得回数472010/07/20 18:22:22ここでベストアンサー

ポイント27pt

投資として考える場合、リターンとリスクの両方を考える必要があります。

リスクをコントロールする戦略として、毎回所持金の一定割合Cを賭ける、というのを考えます。C=0なら0リスク0リターン、C=1なら毎回全額賭けのハイリスクハイリターンとなります。

一回のゲームで勝つ確率をp, 配当をr とします。

全部でN回ゲームをやるとすると、n勝N-n負となる確率は単純な二項分布で計算可能。その時のリターンは、勝敗の順番に関係なく元手の (1-c)^(N-n) * (1-c+r*c)^n 倍となります。平均のリターンは (1+c (p*r-1))^N となり、明らかにC=1の場合に最大となります。

リスクの評価として、元本割れする確率を考えます。これは二項分布の確率を加算することで数値的に計算します。N=100, p=0.8, r=1.5 の場合に、Cを0から1まで変化させて元本割れする確率をプロットすると以下のようになります。

f:id:ita:20100720181740p:image

またリスクに対してリターンをプロットすると以下のようになります。

f:id:ita:20100720181739p:image

たとえば元本割れリスクを1%以下にしたいなら C=0.25程度となり、ことときのパフォーマンスは平均で元本の100倍程度となります。

http://a

id:blue-sea

素晴らしいご回答をありがとうございました!!

2つ目の表は、どこかで見たことがあると思ったら、経済でいう限界効用曲線と似たようなものなんですね。

大変勉強になるご回答ありがとうございました。

ちなみに、このようなグラフはどうやって作成されたのでしょうか?

2010/07/24 00:38:38
id:NAPORIN No.3

なぽりん回答回数4612ベストアンサー獲得回数8462010/07/21 00:10:52

ポイント26pt

こういうお金の計算は、実はRPGの戦闘計算であると考えれば楽しいですね。

ほほう、この戦闘での魔術師は、ターンごとに1回自分のHPをベットして回復魔法をかけられ、うまくいけば(8割方うまくいくのだが)ベットした分の1.5倍のHPが回復されるのか、みたいな。 閑話休題。

期待値の考え方でいえば、大量にベットを行ったときのグラフはx×y-1が傾きを決めます。すなわちy×x-1が正の値なら右肩あがり。負の値なら右肩下がりの直線に近似することになります。

この場合は計算結果が0.2ですから、微増になります。

マイナスならばやはり減るばかりになるでしょうね。

<ケース1 上記計算結果がプラス>

こういうときの勝利条件は、ジャックポット狙いな掛け方より着実にターンをつづけて稼げばよろしいです。ただ、実際は好条件がいつまでも続くとは限りません。胴元が、だれかが確実に得をしており、自分が確実に損をするということにきづいたら賭け事自体が中止される可能性が高いので、好条件のうちにすばやく稼ぎたいということで、全額を、平均的にマイナスが出てもカバーできる回数に分割して速度高く掛けていくことになるとおもいます。

y×xが1.2だから、5回チャンスがあれば1回マイナスがあっても手持ちが全くつきてしまうことはないだろう。したがって20万ずつ掛けます(強気のギャンブラーなら、2回不運に会うことはないと期待して1/3の33万くらいでやってしまうかもしれませんね)。それでも賭け事ですから、最初に5回ともまけてそののち20回勝ち(でも勝ちが連続するときまでには資金が尽きていて参加できない)ということもあるかもしれません。できれば今までのゲーム結果の「分散」をチェックしましょう。賭場が荒れているときは参加しないが勝ちです。

<ケース2 計算結果がマイナス>

こういうときは、ジャックポットをねらって、稼いだらやめます。小額から掛け始めて、負けたら(負ける可能性は高いですから)その負けた額の倍額かけるという手がよく知られています。二回負けることはないだろうという考えです。少しでも手持ちがプラスになったら、「もう二度とこういう状態はこない。ちょっと得をしただけでも満足しよう」と考えてそこで賭け事をやめるべきです。

なお、最初にいきなり勝ったら、その勝った金額だけもう一度かけてみるのもいいかもしれませんね。(上記の賭場が荒れているときの逆の期待です)手持ちが100万円を切りそうになったらやめます。

マルドゥック・スクランブル―The First Compression 圧縮 (ハヤカワ文庫JA)

マルドゥック・スクランブル―The First Compression 圧縮 (ハヤカワ文庫JA)

  • 作者: 冲方 丁
  • 出版社/メーカー: 早川書房
  • メディア: 文庫

賭け事をくわしく描写したSF小説。

id:blue-sea

素晴らしいご回答ありがとうございました!!

まさかこんなことを描いた小説があるとは・・

是非参考にしてみます!!

2010/07/24 00:39:27
  • id:ita
    自分の回答は一見直感に反しますが、その裏にはこれがあります
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%9A%E3%83%86%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
  • id:windofjuly
    うぃんど 2010/07/21 02:45:11
    m-hinata さんからご指摘いただきました
    「80%という期待値」ではなく「80%という確率」です
  • id:ita
    回答に補足です。
    毎回全額ベットする場合、勝つ確率は0.8^Nで指数的に減少していきますが、勝った時の配当は1.5^Nとそれ以上に指数的に増大します。平均リターンは計算上、勝つ確率*配当となるので (0.8*1.5)^N = 1.2^N となりこれも指数的に増大します。しかしこのような極端に偏ったゲームでは平均リターンは意志決定にあまり参考にならないというのがサンクトペテルブルグのパラドクスの示唆するところです。
  • id:blue-sea
    ita windofjuly さん、コメントありがとうございます。
    理論上の数字と現実の感覚を見事に示唆した部分は感動しました。
  • id:ita
    いるかありがとうございます。
    グラフはCを0から1まで100段階に変化させてリスクとリターンをCのプログラムを書いて計算しプロットツールで描画しました。後ほどコードをアップロードいたします。
  • id:ita
    計算用C言語のコードです。
    http://d.hatena.ne.jp/ita/00010419/p1
  • id:blue-sea
    ita様、ご丁寧な回答誠にありがとうございます。
    ご自身のHPも教養が高く素晴らしい日記ですね。
    またこの質問を記事にしていただきありがとうございました。

    上の私のコメント欄でita様への敬称を付け忘れていました。
    申し訳ございませんm(__)m

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  • サンクトペテルブルグ(ぽい)パラドクス wikipedia:サンクトペテルブルクのパラドックス http://q.hatena.ne.jp/1279466527 確率0.8で勝って配当1.5倍、負ければ0というゲームがある。N回繰り返す場合
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