1279932398 解析幾何学の単元で悩んでおります。

添付ファイルの問題なのですが・・・(a)~(e)と、問題が多いので、一つだけでも構いません。
解き方をお教えいただければ幸いです。
よろしくお願いします(>_<)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 13歳以上
  • 登録:2010/07/24 09:46:38
  • 終了:2010/07/31 09:50:03

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4391ベストアンサー獲得回数4022010/07/24 21:46:52

ポイント60pt

(a)

●[PDF] 4.4 2次曲線と2次曲面 2次曲線と2次曲面 ( , ) 2 F xy ax bxy cy ...

>一般の2次曲線 F(x, y) = ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2 fy + c = 0 に対して ←3ページ目(右上のページ数で、137)

http://www.c-able.ne.jp/~kjk/la44.pdf

 上記PDFのまとめから、

a=9, b=16, c=-34

2h=24∴h=12, 2g=-26∴g=-13, 2f=7∴f=7/2

よって、

 _ (  9  12  -13)
 A=( 12  16  7/2)
   (-13  7/2 -34)

(b)

 (a)の結果から、
 A=( 9  12)
   (12  16)
よって、固有方程式は、
 |9-λ   12 |=0
 | 12  16-λ|
∴(9-λ)(16-λ)-12^2=0
∴λ=0,25
 それぞれに対する固有ベクトルは、
固有値0に対しては、
 ( 9  12)(x)=(0)より、3x+4y=0∴x/4=-y/3∴tを実数としてt( 4)。
 (12  16)(y) (0)                                    (-3)
一つに決めたいので、大きさが1の単位固有ベクトルを求めると、(1/5)( 4)
                                                         (-3)
固有値25に対しては、同様にして、
 (-16  12)(x)=(0)より、4x-3y=0∴x/3=y/4∴(1/5)(3)
 ( 12  -9)(y) (0)                           (4)
 よって、T=(1/5)( 4  3)とすると、
                  (-3  4)
t
 TAT=(0  0)
     (0 25)
 ちなみに、検算してみると、
t
 TAT=(1/5)(4  -3)( 9 12)(1/5)( 4  3)=(1/25)( 0   0 )( 4  3)=(1/25)(0  0 )=(0  0)
          (3   4)(12 16)     (-3  4)       (75  100)(-3  4)       (0 625) (0 25)

●直交行列による対称行列の対角化(その1)

http://imasen.net/unitary-hermitian001.htm

●固有値と固有ベクトル

http://www16.ocn.ne.jp/~suuri/lecture-seniorbasic/lecturenotes-3...

(c)?

(d)?

※参考URL

http://q.hatena.ne.jp/1271179449

 上の参考URLから、

 D=| 9  12|=9*16-12*12=0
   |12  16|
 Δ=|  9  12  -13|=-15625/4=-25^3/4≠0
   | 12  16  7/2|
   |-13  7/2 -34|
 D=0で、Δ≠0だから、放物線でy^2={(2/|a+b|)√[-Δ/(a+b)]}xから、
 y^2={2/|9+16|*√[(25^3/4)/(9+16)]}x
∴y^2=x

※参考URL ←WolframAlphaによるΔの計算結果

http://www.wolframalpha.com/input/?i=det%5B%7B%7B9%2C12%2C-13%7D...

(e)

( 9  12)
(12  16) 
---↓---
( 3   4) ←(9  12)÷3
( 3   4) ←(12  16)÷4
---↓---
( 3   4)
( 0   0) ←(3  4)-(3  4)

∴rank(A)=1

(  9   12     -13 )
( 12   16     7/2 )
(-13   7/2    -34 )
---------↓---------
(  9   12     -13 )
(  0    0    125/6) ←( 24  32    7)-(  9  12  -13)*4/3
(  0  125/6 -475/9) ←(-13  7/2 -34)+(  9  12  -13)*13/9
---------↓---------
(  9   12     -13 )
(  0  125/6 -475/9) ←2行と3行を交換
(  0    0    125/6)
      _
∴rank(A)=3

 2次曲線では、DとΔによる分類はよく見ますが、rankによる分類は、(a)の参考URLぐらいしか見つかりませんでした。

※参考URL ←WolframAlphaによる計算結果

http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrixrank%5B%7B%7B9%2C12%7...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrixrank%5B%7B%7B9%2C12%2...

id:moon-fondu

すごく丁寧に1問ずつお答えてくださり、ありがとうございます(>_<)

(a)は、添付のpdfファイルの公式を使えば解けるのですね。

(b)は、「左上の」と指定されているので、

A=( 9 12)

(12 16)

の場合だけを考えればいいようで。

添付のpdfファイルがすごく参考になりました、「固有値の求め方」「固有ベクトルの求め方」が、詳しく書かれておりました。

そして「直交行列による対称行列の対角化(その1)」を拝見すると、固有値、固有ベクトルを求めてからの「対角化」について説明してあったので、理解できると思ったのですが・・・「固有ベクトル」を求める所で、躓いてしまいまして(;_;)

以前も、

固有値や固有ベクトルの話題

http://q.hatena.ne.jp/1272917770

について学習したはずなのですが・・・なぜでしょうか、上記リンクの、rsc96074さんが「2010-05-05 16:19:41」時に回答してくださった対角化の仕方と、全然違うような印象を持ってしまいまして・・・すいません、全然応用ができなくて。

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

・・・

tを実数としてt( 4)。

       (-3)

一つに決めたいので、大きさが1の単位固有ベクトルを求めると、(1/5)( 4)

                                 (-3)

・・・

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

という箇所では、何が起きているのでしょうか?どうしてtが出てきて、1/5が出てきてるのでしょうか?

すいません、(b)の段階で躓いてしまって・・・

2010/07/27 00:30:04
  • id:rsc96074
    (e)すみません。
    「←( 24 32 7)-( 9 12 -13)*4/3」は、「←( 12 16 7/2)-( 9 12 -13)*4/3」の間違いでした。
     それから、rankによる2次曲線の分類はWebでは、見つかりませんでしたが、参考書で見つかりました。
    rankA|rank^A|detA| 名 称  | 標準形  
    -----------------------------------------------
    2  | 3 | >0 | 楕 円  | ax^2+by^2=1
    2 有| 3 | <0 | 双曲線  | ax^2-by^2=1
    2  | 3 | >0 | 虚楕円  |-ax^2-by^2=1
    2 心| 2 | <0 | 相交2直線| ax-2-by^2=0
    2  | 2 | >0 |虚相交2直線|-ax^2-by^2=0
    -----------------------------------------------
    1  | 3 | =0 | 放物線  | y^2=4ax
    1 無| 2 | =0 | 平行2直線| y^2=a
    1 心| 2 | =0 |虚平行2直線| y^2=-a
    1  | 1 | =0 | 2重1直線| y^2=0
  • id:rsc96074
     途中でくじけてしまいましたが、もう一回チャレンジしてみました。計算間違いしていたらすみません。
    http://f.hatena.ne.jp/rsc96074/20100726095305
    http://f.hatena.ne.jp/rsc96074/20100726095203

    ※参考URL ←WolframAlphaによる検算
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B4%2F5%2C-3%2F5%2C0%7D%2C%7B3%2F5%2C4%2F5%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C1%7D%7D.%7B%7B9%2C12%2C-13%7D%2C%7B12%2C16%2C7%2F2%7D%2C%7B-13%2C7%2F2%2C-34%7D%7D
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B0%2C0%2C-25%2F2%7D%2C%7B15%2C20%2C-5%7D%2C%7B-13%2C7%2F2%2C-34%7D%7D.%7B%7B4%2F5%2C3%2F5%2C0%7D%2C%7B-3%2F5%2C4%2F5%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C1%7D%7D
    ●一般の2次曲線の分類
    http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:Jl3dQlkYtzcJ:members.jcom.home.ne.jp/dslender/math/2jibunrui.pdf+2%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E3%81%AE%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%8C%96&hl=ja&gl=jp&pid=bl&srcid=ADGEEShGAm98vJgr9SgQovbE8XM44psttD4oGAa_vEAGxBkNWsaXED6anhbsjG81uz07No6dlj39ndrBvQ92Mmg5Z8rl6S4KB_n39w6GI6d2ndXxqq4grLPvaa1EfkfQpz5QWZhHGX9T&sig=AHIEtbTXp1j0SfPFylhqD5jsWOqkYhF2Yg
    ●2次曲線の分類
    http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:NDac5-m2s_MJ:www.math.sie.dendai.ac.jp/hiroyasu/2009/im3/im3-1202-slide.pdf+2%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E3%81%AE%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%8C%96&hl=ja&gl=jp&pid=bl&srcid=ADGEESh7US5O-_vmf22stEAi8AJ9HzfuljPRaoYQ2NresC_2jsGb5CK2Ag0ERy_9vOZphN-3XV-mRjttWxPCV57V8Yl0sZvd1k9Xrap4jv7VKaDitwGxiDk7ue2X3qbdk1vF9r9A7POi&sig=AHIEtbRxorfnzm6Ax5Qt79A1qBGewJqIRw
  • id:rsc96074
     そこのところは、次の参考URLのところの表現がいいと思います。固有ベクトルは実数倍なら何でもいいのですが、直交行列を求めるために大きさが1のものを選んでいるみたいです。
    ●直交行列による対称行列の対角化(その1)
    >>
    Step1 行列Aの対角化
    2. 固有ベクトルを求める
    ここから、特にとなるものを選べば・・・
    <<
    http://imasen.net/unitary-hermitian001.htm
    ●直交行列とは(定義,性質)
    >>
    直交行列の逆行列は転置行列に等しい
    <<
    http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/orthonormal1.htm

  • id:moon-fondu
    rsc96074さん、何度もご回答いただき、ありがとうございます。

    「大きさが1の固有ベクトルを求める」ことが、対角化において重要なことなのですね!
    リンク先では、確かに、

    ----------------
    2. 固有ベクトルを求める
    ここから、特にとなるものを選べば・・・
    ----------------

    の箇所で、大きさ1の固有ベクトルを求めているようで。

    rsc96074さんがtを設定したのは、それ以前の段階ですよね。
    「固有ベクトルは実数倍であれば何でもいい」ゆえに、任意の値としてのtをとりあえず定めておいて、そこから、大きさが1の固有ベクトルの場合のときのtの値を出す・・・ということですかね・・・実数tの存在意義はまだピンとこないのですが・・・すいません、ちょっと視点を変えて、

    別の質問↓
    http://q.hatena.ne.jp/1280246231

    を立ち上げました。同時並行で考えることで、何か理解の糸口がつかめるのではないかと思いまして・・・(^_^;)
    もしよろしければ、リンク先の方の質問にもお答えいただければ幸いです。
    よろしくお願いします(>_<)
  • id:moon-fondu
    rsc96074さん、別の質問で「固有ベクトルの求め方」を教えていただき、ありがとうございます!
    そのおかげで、(b)の問題の理解も、少しだけ進展しました。
    1/5で割る理由は、ベクトルの大きさ、√3^2+4^2=√25=5が出てくるからですね。
    そして、

    ◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇
    よって、T=(1/5)( 4 3)とすると、
    (-3 4)
    t
    TAT=(0 0)
    (0 25)
    ◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

    の段階が、

    直交行列による対称行列の対角化(その1)
    http://imasen.net/unitary-hermitian001.htm

    のリンク先における「3.対角化する」の話だと思うのですが・・・

    ■行列を対角化するには
    http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/diagonal2.htm

    を参考に、やってみようと思ったのですが、ちょっと疑問に思いまして。
    rsc96074さんが記載してくださった、

    TAT

    というのは、厳密には「T^(-1)AT」ではないでしょうか?
    また、この問題において"T"と"A"に相当するのは、一体何なのでしょうか?

    度々すいません。今回の質問において、せめて(b)までは理解しておきたいので・・・もしよろしければ、コメントよろしくお願いします(>_<)
  • id:rsc96074
    >というのは、厳密には「T^(-1)AT」ではないでしょうか?
    直交行列では、転置行列が逆行列になってくれるので、そういうことだと思います。
    TとAについては、2番目のコメントの1番目のはてなフォトライフの画像が見やすいと思います。
    (+4/5 3/5)=T
    (-3/5 4/5)
    http://f.hatena.ne.jp/rsc96074/20100726095305 ←こちら

  • id:rsc96074
     こちらの演習書が分かりやすくておすすめです。
    ●基本演習 線形代数 (基本演習ライブラリ) [-]  寺田 文行 (著), 木村 宣昭 (著)
    http://www.amazon.co.jp/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E6%BC%94%E7%BF%92-%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0-%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E6%BC%94%E7%BF%92%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA-%E5%AF%BA%E7%94%B0-%E6%96%87%E8%A1%8C/dp/4781905803/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1280596498&sr=8-1
  • id:moon-fondu
    ありがとうございます!
    おすすめの参考書も教えていただき、参考になります!!

    T=(1/5)( 4 3)
        (-3 4)

    からと、rsc96074さんの2番目のコメントの1番目のはてなフォトライフの画像を見ると、理解できました!
    (c)の問題の解き方に関しても記載されておりましたが、ちょっと理解できない所があったので、また別の質問↓
    http://q.hatena.ne.jp/1280764128
    を立ち上げました。
    本当は先に、rsc96074さんが教えてくださった参考書で勉強した方がいいと思うんですが、(d)と(e)を無視したままこの問題を終えるのは、スッキリしない所もありまして。
    もしよろしければ、お助けいただければ幸いです。
    よろしくお願いします。

この質問への反応(ブックマークコメント)

トラックバック

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません