No.2
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23pt
( 1/4 -1/4)(x)=Ｏ・・・① (-1/4 1/4)(y)
①から、行列をはずして連立方程式で表すと、
1/4ｘ-1/4ｙ＝0・・・②
-1/4ｘ+1/4ｙ＝0・・・③
連立方程式②③は、不定で、比しか求めることが出来ません。
よって、その比を求めると、
②から、
ｘ＝ｙ・・・④
③からも、同じ結果を得ます。これから、値は決まらずｘとｙの比だけがわかります。
④から、
ｘ/1＝ｙ/1
∴ｘ：ｙ＝1：1・・・⑤
特に大きさ|X1|=1となるものを選ぶとは、
ｘ^2+ｙ^2＝1・・・⑥
ということ。
連立方程式④⑥から、
2ｘ^2=1
∴ｘ＝±1/√[2]・・・⑦
で、どれか1つ好きな方を選べばいいので、＋を選んで
ｘ＝ｙ＝1/√[2]・・・⑧
ちなみに、⑤で、比が求まったら、ｘ：ｙ＝1：1
簡便法として、大きさ√[1^2+1^2]=√[2]で割ると簡単に⑧が得られます。
たとえば、もう一つ例題を出すと、ｘ：ｙ＝3：4が得られたとしたら、大きさ√[3^2+4^2]=5だから、
(x)=(3/5) (y) (4/5)
と簡単に求めることが出来ます。
No.1
20423pt
(i) の場合を説明します。
まず、(x, y) を求めると、(x, y) = (1, 1) t ( t :媒介変数） になります。ここまではOKでしょう。
で、|X1| = 1 なので、単位ベクトルを求めればよいので、
X1 = (x, y) / |(x, y)| = (1, 1) t / t√[1^2 + 1^2] = (1, 1) / √2 = (1 / √2, 1/√2)
となります。
(ii) も同じです。
「|X1| = 1」＝「単位ベクトルを求めよ」
という意味なのですか？
知らなかったです！ありがとうございます！
No.3
1022pt
リンク先はぜんぜん読んでません。
(i)k=1/2のときに関しては、
(A-kE)X_1=O
⇔
(1/4 -1/4)(x)=(0)
(-1/4 1/4)(y) (0)
⇔
( x/4-y/4)=(0)
(-x/4+y/4) (0)
⇔
x-y=0,-x+y=0
⇔
x=y
ですから、
X_1=(x)
(y)
をx=yを満たすように取りたいわけです。
（x=y=tと置けば、X_1を(t t)をとしたい。）
いま、|X_1|=1、すなわち√(x^2+y^2)=1、すなわちx^2+y^2=1という条件を考えると、
x=yとあわせて、x=y=1/√2またはx=y=-1/√2です。
すいません、「ですから、」の手前までは理解できたんですけど・・・
X_1=(x)
は、一体何なのでしょうか？アンダーバーは何を意味しているのでしょうか？
rsc
2010/07/28 14:58:12
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CoolDriver
すいません、対角化以前の、ものすごく初歩的な質問かもしれないんですけど。。。
「特に大きさ|X1|=1となるものを選ぶとは、ｘ^2+ｙ^2＝1・・・⑥」
という箇所で「えっ？」と、疑問に思ってしまいまして。
その当然の前提、の根拠は、いったい何なのでしょうか？
「|X1|=1」が、どうして「ｘ^2+ｙ^2＝1」に変換されるのか、疑問でして・・・(>_<)