直交行列による対称行列の対角化

http://imasen.net/unitary-hermitian001.htm

について、質問があります。
上記リンク先において、「2.固有ベクトルを求める」という項目があるのですが、ここでどうして、

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

・・・ここから、特に|X1|=1となるものを選べば、X1=(1/√2 1/√2)
・・・ここから、特に|X2|=1となるものを選べば、X2=(- 1/√2 1/√2)

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

と、なるのでしょうか?
どのように行列を解いたら「X1=(1/√2 1/√2)」や「X2=(- 1/√2 1/√2)」が出てくるのか、その展開過程をご教授いただければ幸いです。
よろしくお願いします(>_<)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/07/28 00:57:15
  • 終了:2010/08/04 01:00:03

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4400ベストアンサー獲得回数4042010/07/28 01:28:58

ポイント23pt
 ( 1/4   -1/4)(x)=O・・・①
 (-1/4    1/4)(y)

①から、行列をはずして連立方程式で表すと、

1/4x-1/4y=0・・・②

-1/4x+1/4y=0・・・③

 連立方程式②③は、不定で、比しか求めることが出来ません。

よって、その比を求めると、

②から、

x=y・・・④

③からも、同じ結果を得ます。これから、値は決まらずxとyの比だけがわかります。

④から、

x/1=y/1

∴x:y=1:1・・・⑤

 特に大きさ|X1|=1となるものを選ぶとは、

x^2+y^2=1・・・⑥

ということ。

連立方程式④⑥から、

2x^2=1

∴x=±1/√[2]・・・⑦

で、どれか1つ好きな方を選べばいいので、+を選んで

x=y=1/√[2]・・・⑧

 ちなみに、⑤で、比が求まったら、x:y=1:1

 簡便法として、大きさ√[1^2+1^2]=√[2]で割ると簡単に⑧が得られます。

たとえば、もう一つ例題を出すと、x:y=3:4が得られたとしたら、大きさ√[3^2+4^2]=5だから、

 (x)=(3/5)
 (y) (4/5)

と簡単に求めることが出来ます。

id:moon-fondu

すいません、対角化以前の、ものすごく初歩的な質問かもしれないんですけど。。。

「特に大きさ|X1|=1となるものを選ぶとは、x^2+y^2=1・・・⑥」

という箇所で「えっ?」と、疑問に思ってしまいまして。

その当然の前提、の根拠は、いったい何なのでしょうか?

「|X1|=1」が、どうして「x^2+y^2=1」に変換されるのか、疑問でして・・・(>_<)

2010/07/28 23:12:41

その他の回答(3件)

id:CoolDriver No.1

CoolDriver回答回数20ベストアンサー獲得回数42010/07/28 01:25:32

ポイント23pt

(i) の場合を説明します。

まず、(x, y) を求めると、(x, y) = (1, 1) t ( t :媒介変数) になります。ここまではOKでしょう。


で、|X1| = 1 なので、単位ベクトルを求めればよいので、

X1 = (x, y) / |(x, y)| = (1, 1) t / t√[1^2 + 1^2] = (1, 1) / √2 = (1 / √2, 1/√2)


となります。

(ii) も同じです。

id:moon-fondu

「|X1| = 1」=「単位ベクトルを求めよ」

という意味なのですか?

知らなかったです!ありがとうございます!

2010/07/28 23:17:41
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4400ベストアンサー獲得回数4042010/07/28 01:28:58ここでベストアンサー

ポイント23pt
 ( 1/4   -1/4)(x)=O・・・①
 (-1/4    1/4)(y)

①から、行列をはずして連立方程式で表すと、

1/4x-1/4y=0・・・②

-1/4x+1/4y=0・・・③

 連立方程式②③は、不定で、比しか求めることが出来ません。

よって、その比を求めると、

②から、

x=y・・・④

③からも、同じ結果を得ます。これから、値は決まらずxとyの比だけがわかります。

④から、

x/1=y/1

∴x:y=1:1・・・⑤

 特に大きさ|X1|=1となるものを選ぶとは、

x^2+y^2=1・・・⑥

ということ。

連立方程式④⑥から、

2x^2=1

∴x=±1/√[2]・・・⑦

で、どれか1つ好きな方を選べばいいので、+を選んで

x=y=1/√[2]・・・⑧

 ちなみに、⑤で、比が求まったら、x:y=1:1

 簡便法として、大きさ√[1^2+1^2]=√[2]で割ると簡単に⑧が得られます。

たとえば、もう一つ例題を出すと、x:y=3:4が得られたとしたら、大きさ√[3^2+4^2]=5だから、

 (x)=(3/5)
 (y) (4/5)

と簡単に求めることが出来ます。

id:moon-fondu

すいません、対角化以前の、ものすごく初歩的な質問かもしれないんですけど。。。

「特に大きさ|X1|=1となるものを選ぶとは、x^2+y^2=1・・・⑥」

という箇所で「えっ?」と、疑問に思ってしまいまして。

その当然の前提、の根拠は、いったい何なのでしょうか?

「|X1|=1」が、どうして「x^2+y^2=1」に変換されるのか、疑問でして・・・(>_<)

2010/07/28 23:12:41
id:m-hinata No.3

m-hinata回答回数1ベストアンサー獲得回数02010/07/28 01:55:10

ポイント22pt

リンク先はぜんぜん読んでません。


(i)k=1/2のときに関しては、

(A-kE)X_1=O

(1/4 -1/4)(x)=(0)

(-1/4 1/4)(y) (0)

( x/4-y/4)=(0)

(-x/4+y/4) (0)

x-y=0,-x+y=0

x=y

ですから、

X_1=(x)

  (y)

をx=yを満たすように取りたいわけです。

(x=y=tと置けば、X_1を(t t)をとしたい。)

いま、|X_1|=1、すなわち√(x^2+y^2)=1、すなわちx^2+y^2=1という条件を考えると、

x=yとあわせて、x=y=1/√2またはx=y=-1/√2です。

id:moon-fondu

すいません、「ですから、」の手前までは理解できたんですけど・・・

X_1=(x)

は、一体何なのでしょうか?アンダーバーは何を意味しているのでしょうか?

2010/07/28 23:18:50
  • id:rsc96074
     いいURLを見つけました。どうぞ。
    ■固有値,固有ベクトルの定義
    http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/eigenvalue0.htm
    ■固有値,固有ベクトルの求め方 ←特に、これがズバリかも。
    http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/eigenvalue2.htm
    ※参考
    ■行列の対角化とは
    http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/diagonal1.htm
    ■行列を対角化するには
    http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/diagonal2.htm
    ■直交行列とは(定義,性質)
    http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/orthonormal1.htm
  • id:rsc96074
     固有ベクトルを求めるだけなら、比のところまででいいですが、直交行列を求めるために列ベクトルの大きさを1にしています。
  • id:CoolDriver
    あ、間違ってtを「媒介変数」って書いてしまった。「任意定数」が正しいです。

    rsc96074 さんのコメントのサイトがわかり易いですね。固有ベクトルは無数にあるので、任意変数 t を用いて表すという話。
    で、質問の 大きさ 1 というのは、あくまで直行化する準備だということ。
    その前提がわかってないと、いきなり |X| = 1 と言われても?ですわな。


    以下、質問とは関係ない蛇足。
    この辺の高校レベル数学だと、固有値が何かとかまでは教わらなかった気がするなーと。
    機械的に手順を覚えるのも(受験では)大事なんだろうけど、その先を知るともっと面白いのにね、と思うわけです。
  • id:rsc96074
     固有ベクトルって列ベクトルXになっていますよね。
    (x)=X ←画面が乱れるので左辺と右辺を逆に書いています。
    (y)
    ベクトルの大きさの公式を思い出して下さい。下記URLでは、行ベクトルになっていますが、列ベクトルの場合も同じ公式が使えます。ただ、両辺を2乗してルートを外して、x^2+y^2=1になっています。
    ●ベクトルの大きさ
    http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/vector/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/vector/vector-no-ookisa.html
  • id:moon-fondu
    思い出しました!ベクトルの大きさの公式ですね!
    リンク先すごく参考になりました。
    ありがとうございます(^_^;)

    「比が求まった段階(今回の場合は⑤)で、ベクトルの大きさで割る」→「固有ベクトルが出てくる」

    ということですね、覚えておきます!
  • id:CoolDriver
    横から失礼。
    >> 「比が求まった段階(今回の場合は⑤)で、ベクトルの大きさで割る」→「固有ベクトルが出てくる」
    違う。固有ベクトルは無数にある。

    rsc96074 さん紹介のリンク
    http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/eigenvalue2.htm の左側
    「■固有値,固有ベクトルを求めるには」
    を見るとわかるように、固有ベクトルは任意変数で表すのが正しい。なので、
    「固有ベクトルを求めよ」という問題に対して、「ベクトルの大きさで割る」ものを書くと、多分減点。
    「固有ベクトルのひとつを書け」なら、何でも良い。任意変数のt に何をいれてもいいので。(あ、0はダメだ)
    ベクトルの大きさで割ったものは、固有ベクトルのひとつであって、 t = 1 / |X| になっているだけ。

    質問のリンク先が大きさ1の固有ベクトルを求めているのは、あくまで直行行列を求めて対角化するため。
  • id:moon-fondu
    >CoolDriverさん
    ありがとうございます、「固有ベクトルは無数にあるゆえ、直交行列を求め、任意定数tを使って関数として表す」んですね!
    でも「任意定数」ってでも耳慣れない言葉ですね・・・高校生レベルですかね?
  • id:CoolDriver
    > 「固有ベクトルは無数にあるゆえ、直交行列を求め、任意定数tを使って関数として表す」
    なんか違うなぁ。

    「固有ベクトルは無数にあるゆえ、任意定数tを使って関数として表す」
    ならあってる。(関数かどうかは、偉いヒトにきかないと分からないけど)
    質問のリンク先でも、固有ベクトルを求めてから、直交行列をもとめているでしょ?
    固有ベクトルを求めるために、直交行列を求める必要はない、と。

    すでにこれは、日本語の問題ですね。数学関係ねー。


    で、
    > でも「任意定数」ってでも耳慣れない言葉ですね・・・高校生レベルですかね?

    正直なところ、自分は「高校」に通ったことがないので、「高校生レベル」というのを知らんのですね。
    なので、この問題が高校で習うのかどうかも知らないわけです。
    少なくとも、rsc96074 さんの紹介したリンク先では使われてますね。

  • id:rsc96074
     ちなみに、簡便法を一般的に導くと、x:y=m:nのとき、
    x=mk, y=nk (kは定数)・・・①とおける。
    これをx^2+y^2=1に代入すると、(m^2+n^2)k^2=1
    ∴k=±1/√[m^2+n^2]・・・②
    これを①に代入して、
    x=±m/√[m^2+n^2], y=±n/√[m^2+n^2]
     結局、それぞれを大きさで割ればよいことになります。
  • id:moon-fondu
    >CoolDriverさん
    ご指摘ありがとうございます!
    固有ベクトル、直行行列など、それぞれの意味をちゃんと把握できてないことを痛感しました(>_<)

    >rsc96074さん
    ありがとうございます!rsc96074さんの最初のご回答の、

    簡便法として、大きさ√[1^2+1^2]=√[2]で割ると簡単に⑧が得られます。

    を、一般化したものですね!

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