1281954949 定義域が広がる時の最大値、最小値に関する問題について、質問があります。

問題は、添付画像をご覧いただければ幸いです。
aの値が大きくなると共に、定義域も広くなるみたいですが・・・aが変化する中で、最大値、最小値をどう求めればよいのかイメージできませんでして・・・よろしくお願いします(>_<)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/08/16 19:35:51
  • 終了:2010/08/19 13:32:02

ベストアンサー

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032010/08/16 23:00:57

ポイント100pt

 y=x^2-4x+5

∴y=(x-2)^2+1

 グラフは(2,1)を頂点とする放物線で、グラフを描くと次のようになります。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2-4x%2B5

(1)グラフから、x=aをスライドさせて調べると、

 0<a<4のとき、最大値 5  </p>

 a=4のとき、最大値 5 

 a>4のとき、最大値 f(a)=a^2-4a+5 

(2)グラフから、x=aをスライドさせて調べると、

 0<a<2のとき、最小値 a^2-4a+5  </p>

 a=2のとき、最小値 1 

 a>2のとき、最小値 1 

 裏技としては、「最大・最小値は、極値と端の値を比べる」から、

 f(0)=5

 f(2)=1

 f(a)=a^2-4a+5

 最大値を求める場合、f(a)とf(0)を比べて、f(a)がf(0)=5以上になる場合があるか調べてみます。

 a^2-4a+5≧5

∴a^2-4a≧0

∴a(a-4)≧0

∴a≦0,4≦a

 題意より、a>0だから、4≦a

 これをヒントにして、場合分けすればいいです。解答を書くときは、「グラフから、」求めたことにします。また、当然、x=aをスライドして確認してみることもお忘れなく。

 最小値を求める場合、f(a)とf(2)を比べて、f(a)がf(2)=1以下になる場合があるか調べてみます。

 a^2-4a+5≦1

∴a^2-4a+4≦0

∴(a-2)^2≦0

 実数なので等号だけが成り立ち、

∴a=2

 よって、a=2のときだけf(a)=f(2)となり、f(a)<f(2)となることはありません。それで、定義域に2が含まれるかどうかで場合分けすることになります。

※参考URL

●[PDF] 場合分けの考え方を定着させるためのコンピュータの活用 ? 定義域に ... ←4ページ目以降参照

http://www.tochigi-edu.ed.jp/center/cyosa/cyosakenkyu/kufukaizen...

id:moon-fondu

ありがとうございます!

すいません、でも待ってください。

0<a<4のときは、x=0およびx=4を含まないので、最大値は5に、ならないのではないでしょうか?</p>

2010/08/18 02:16:09

その他の回答(2件)

id:ratbeta No.1

ratbeta回答回数132ベストアンサー獲得回数92010/08/16 21:36:14

ポイント50pt

とりあえず関数y=x^2-4x+5全体のグラフを描いてみてください。

次にaに適当な値(例えばa=1/2,1,2,3)などを代入してみてください。

すると、aの値が変化する(つまり定義域が広くなる)につれて、どの点で最大となったり最小となったりするかが変化していきます。

後は、aの範囲によって変化する最大値をとる点や最小値をとる点を書きだしていけば、答えになります。


以下、簡単な回答です。あくまで概略ですし、間違っていたらすみません。

y=(x-2)^2+1より、yの値はx=2で最小となる。

従って、0<=x<=aの区間では、0<=a<2ならx=aのとき最小、a>=2ならx=2のとき最小。


また、この関数はx=2を軸として対称である。

x=2に対して定義域の端であるx=0と対称なのはx=4である。

0<=a<=4ならx=0のとき最大、a>=4ならx=aのとき最大。


後半の最大値の方についてはまどろっこしい説明をしましたが、わざわざ対称性を考えなくても、グラフを描けば即座に分かると思います。

id:moon-fondu

ありがとうございます!

どうしてa=4を基準にして考えるのか悩みましたが、グラフを描いて対称性を考えればよいのですね!

2010/08/18 00:55:26
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032010/08/16 23:00:57ここでベストアンサー

ポイント100pt

 y=x^2-4x+5

∴y=(x-2)^2+1

 グラフは(2,1)を頂点とする放物線で、グラフを描くと次のようになります。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2-4x%2B5

(1)グラフから、x=aをスライドさせて調べると、

 0<a<4のとき、最大値 5  </p>

 a=4のとき、最大値 5 

 a>4のとき、最大値 f(a)=a^2-4a+5 

(2)グラフから、x=aをスライドさせて調べると、

 0<a<2のとき、最小値 a^2-4a+5  </p>

 a=2のとき、最小値 1 

 a>2のとき、最小値 1 

 裏技としては、「最大・最小値は、極値と端の値を比べる」から、

 f(0)=5

 f(2)=1

 f(a)=a^2-4a+5

 最大値を求める場合、f(a)とf(0)を比べて、f(a)がf(0)=5以上になる場合があるか調べてみます。

 a^2-4a+5≧5

∴a^2-4a≧0

∴a(a-4)≧0

∴a≦0,4≦a

 題意より、a>0だから、4≦a

 これをヒントにして、場合分けすればいいです。解答を書くときは、「グラフから、」求めたことにします。また、当然、x=aをスライドして確認してみることもお忘れなく。

 最小値を求める場合、f(a)とf(2)を比べて、f(a)がf(2)=1以下になる場合があるか調べてみます。

 a^2-4a+5≦1

∴a^2-4a+4≦0

∴(a-2)^2≦0

 実数なので等号だけが成り立ち、

∴a=2

 よって、a=2のときだけf(a)=f(2)となり、f(a)<f(2)となることはありません。それで、定義域に2が含まれるかどうかで場合分けすることになります。

※参考URL

●[PDF] 場合分けの考え方を定着させるためのコンピュータの活用 ? 定義域に ... ←4ページ目以降参照

http://www.tochigi-edu.ed.jp/center/cyosa/cyosakenkyu/kufukaizen...

id:moon-fondu

ありがとうございます!

すいません、でも待ってください。

0<a<4のときは、x=0およびx=4を含まないので、最大値は5に、ならないのではないでしょうか?</p>

2010/08/18 02:16:09
id:miharuco No.3

miharuco回答回数23ベストアンサー獲得回数52010/08/16 22:25:05

ポイント100pt

このような最大値や最小値を考える問題の場合、グラフを書いてみるとわかりやすいと思います。

ペイントで手書きしたので結構いい加減ですが、実際にグラフを書いてみましたのでご覧ください。

[f:id:miharuco:20100816220737:image]

こちらを見ていただけるとわかるとおり、xの値に特に制限がなければ、

この数式の最小値は1、最大値はなし(無限大になるので)ですね。

ここで、xの値に制限を加えた場合、最小値と最大値はどのように変わるか、

というのが問題の趣旨だと思います。

「0≦x≦a」とのことですので、このグラフのy軸より左の部分は無視して構いません。

xの値をどこまでみるかによって、答えを場合わけしていくことになります。

  1. a<2の場合

 aが2より小さければ、この数式の最小値はx=aの時のy=a^2-4a+5になります。

 また、最大値はx=0のときのy=5ですね。

  1. 2≦a≦4の場合

 aが2~4の間なら、この数式の最小値はx=2の時のy=1になります。

 この場合も、最大値はx=0のときのy=5ですね。

  1. 4<aの場合

 aが4より大きい場合、この数式の最小値はx=2の時のy=1になります。

 この場合の最大値は、x=aの時のy=a^2-4a+5ですね。

以上の説明でわかりにくい点があれば、どこがわからなかったか教えてください。

id:moon-fondu

ありがとうございます!

ちょっとわからない部分がありまして・・・解答を作ってみました。

---------------------------

(1)グラフより、

0<a<4の場合、x=0のときに最大となり、最大値は5</p>

a=4の場合、x=0またはx=4のとき最大となり、最大値は5

a>4の場合、x=aのとき最大となり、最大値はa^2-4a+5 

(2)グラフより、

0<a<2の場合、x=aのとき最小となり、最小値はa^2-4a+5</p>

a=2の場合、x=2のとき最小となり、最小値は1

a>2の場合、x=2のとき最小となり、最小値は1

---------------------------

これで問題ないでしょうか?

(1)は「0<a<4の場合、x=0のときに最大となり、最大値は5」、(2)は「a>2の場合、x=2のとき最小となり、最小値は1」が、何か違和感があるのですが・・・

2010/08/18 02:24:03
  • id:rsc96074
     別のアプローチとして、「変域に制限があるときの2次関数の最大・最小」の場合分けは次のパターンが定石。
     2次関数f(x)=ax^2+bx+c (a>0)の定義域A≦x≦Bにおいて、軸x=p(=-b/2a)とすると、
    (1)軸が(定義域に含まれず、)定義域より左にある場合
     p≦A → 最大値 f(B)、最小値 f(A)
    (2)軸が定義域に含まれ、さらに軸が定義域の中央より左にある場合
     A≦p≦(A+B)/2 → 最大値 f(B)、最小値 f(p)
    (3)軸が定義域に含まれ、さらに軸が定義域の中央より右にある場合
     (A+B)/2≦p≦B → 最大値 f(A)、最小値 f(p)
    (4)軸が(定義域に含まれず、)定義域より右にある場合
     B≦p → 最大値 f(A)、最小値 f(B)
    ※参考URL
    ●xの範囲に指定がある場合の2次関数の最大最小
    http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/2jikansuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/kansuu/2jikansuu/saidaisaisyou-2.html
  • id:rsc96074
     そういえば、最大値・最小値を求めるときは、その時のxの値も求めておくのが定石でした。
    (1)
     0<a<4のとき、x=0のとき最大となり、最大値 5
     a=4のとき、x=0またはx=4のとき最大となり、最大値 5
     a>4のとき、x=aのとき最大となり、最大値 f(a)=a^2-4a+5

    (2)
     0<a<2のとき、x=aのとき最小となり、最小値 a^2-4a+5
     a=2のとき、x=2のとき最小となり、最小値 1
     a>2のとき、x=2のとき最小となり、最小値 1
  • id:miharuco
    わからなかった点があるということですので、補足説明させていただきます。
    恐らく、この問題における「a」の役割と「x」の役割をごっちゃにしてとらえていらっしゃると思います。

    この問題における「a」は、「xの値をどこまで大きく考えるか」という限度を示しています。
    xの値は、0からaまでのどんな数値もとり得ます。
    つまり、0<a<4とはどういうことかというと、xの範囲は0≦x≦0.01かもしれないし、0≦x≦1.5かもしれないし、
    0≦x≦3かもしれないし、0≦x≦3.9かもしれない、ということです。
    ですから、a>0であっても、x=0の場合を考慮することはなにも矛盾しません。
    同じことがa>2の場合にも言えます。

    解答案は大丈夫だと思いますが、(2)の「a=2の場合」と「a>2の場合」は「a≧2」の場合としてまとめてしまって構わないと思います。

    こんなかんじでご納得いただけたでしょうか。またわからない点があれば教えてください。
  • id:rsc96074
    >「0<a<4のときは、x=0およびx=4を含まない」は誤りです。正しくは、「0<a<4のときは、x=4を含まないがx=0は含む」です。「0≦x」の段階でx=0を含んでいます。
  • id:moon-fondu
    rsc96074さんすいません、私が誤解してました(>_<)
    miharucoさんとrsc96074さんのコメントでよくわかりました!
    ありがとうございます(^_^;)

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